Incentri ed excentri

[Boll]

Dimostrare che le circonferenze passanti per due vertici di un triangolo e l'excentro del vertice opposto concorrono nell'incentro del triangolo stesso.

[karl]

Forse non ho inteso bene il quesito ma quante circonferenze passano per
3 punti (non allineati)?
EDIT
A meno che non si debbano considerare le infinite circonferenze passanti per
un vertice,poi quelle (sempre infinite) passanti per un altro vertice ed infine
tutte quelle passanti per l'excentro relativo al terzo vertice.

[info]

Io l'ho inteso così: dimostrare che ciascuna delle circonferenze passanti per due vertici del triangolo e per l'excentro relativo al vertice rimanente passa anche per l'incentro... questa tesi è in ogni caso vera...

[Hammond]

Il problema è equivalente a dimostrare che per tutte le tre coppie di vertici il quadrilatero formato da incentro, excentro e i due vertici è ciclico.
Detti A e B i vertici, si ha che gli angoli in A e in B del quadrilatero sono retti, in quanto somma di bisettrici di angoli supplementari, e quindi segue la tesi.

[Boll]

Buona la tesi di info, Hammond, ti dispiacerebbe essere, un pochino meno, come dire, ermetico

[EvaristeG]

Ghgh, visto che già ad un altro problema si è risposto così, vorrei farti notare, Boll, che non hai fatto altro che riproporre il punto (ii) del primo problema nel thread "1-Angoli, angoli e ancora angoli".

[Boll]

Aaaaaah, è veroooo!!!! Scusa Evariste, ma non l'avevo visto, e sai da dove ho tratto lo spunto per questo problema :D

[Hammond]

Hammond, ti dispiacerebbe essere, un pochino meno, come dire, ermetico

Ehm... ok.

Devo dimostrare che ciascuna circonferenza che passi per due vertici e per l'excentro relativo al terzo vertice passa anche per l'incentro.
Prendiamo il caso relativo ai vertici $ A $ e $ B $, ed a $ E_C $, excentro relativo al vertice $ C $.
Sia $ I $ l'incentro del triangolo$ ABC $: $ I $ si trova dunque sulle bisettrici degli angoli interni in $ A $ e $ B $; inoltre, per la definizione di excentro, $ E_C $ si trova sulle bisettrici degli angoli esterni sempre in $ A $ e $ B $.
Allora gli angoli $ I \hat A E_C $ e $ I\hat B E_C $ sono retti, in quanto somma delle bisettrici di angoli supplementari. $ AIBE_C $ è quindi ciclico, poiché la somma di due suoi angoli opposti è 180°. Se è ciclico, $ I $ sta sulla stessa circonferenza dei due vertici e dell'excentro.
Ripetendo il ragionamento sulle altre due circonferenze si giunge alla tesi.


...era meglio ermetico...

[EvaristeG]

Hammond, cmq si capiva (ed era giusta) anche la prima versione. In effetti, però, ora è meglio!