Simpatiche intersezioni.
Simpatiche intersezioni.
Sia a[1] il più piccolo numero reale positivo tale che a[1]=tan(a[1])
Sia a[2] il secondo più piccolo numero reale positivo tale che a[2]=tan(a[2])
and so on.
(per intenderci, a[1] è poco più piccolo di 3pi/2 e a[2] è poco più piccolo di 5pi/2)
Dimostrare che
sum[j=1..+inf] 1/a[j]^2 = 1/10
(incredibile, vero?)
Sia a[2] il secondo più piccolo numero reale positivo tale che a[2]=tan(a[2])
and so on.
(per intenderci, a[1] è poco più piccolo di 3pi/2 e a[2] è poco più piccolo di 5pi/2)
Dimostrare che
sum[j=1..+inf] 1/a[j]^2 = 1/10
(incredibile, vero?)
Jack alias elianto84 alias jack202
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
x è positivo, quindi lo puoi cancellare da entrambi i membri, ricavando tan=1. Ed il minimo x positivo la cui tangente sia 1 è $ \pi/4 $.__Cu_Jo__ ha scritto:Ma come si fa a risolvere l'equazione tanx=x ?
Quindi la soluzione è $ \pi/4 $.
Con lo stesso criterio puoi dimostrare che $ \displaystyle\frac{\sin x}{n}=6 $.
Occhio che n dev'essere diverso da 0, altrimenti non ha senso!
Per altri chiarimenti, chiedi pure.
Ah, sì. Giusto!MindFlyer ha scritto: x è positivo, quindi lo puoi cancellare da entrambi i membri, ricavando tan=1. Ed il minimo x positivo la cui tangente sia 1 è $ \pi/4 $.
Quindi la soluzione è $ \pi/4 $.
E' un po' come dimostrare che
$ $ \frac{16}{64} = \frac{1 \!\!\!\not 6}{\!\!\not 6 4} = \frac{1}{4} $...
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
Ah,come ho fatto a non pensarci prima !Quindi il risultato è 16/pi^2(tanto la sommatoria non serve a nulla)?MindFlyer ha scritto:x è positivo, quindi lo puoi cancellare da entrambi i membri, ricavando tan=1. Ed il minimo x positivo la cui tangente sia 1 è $ \pi/4 $.__Cu_Jo__ ha scritto:Ma come si fa a risolvere l'equazione tanx=x ?
Quindi la soluzione è $ \pi/4 $.
Con lo stesso criterio puoi dimostrare che $ \displaystyle\frac{\sin x}{n}=6 $.
Occhio che n dev'essere diverso da 0, altrimenti non ha senso!
Per altri chiarimenti, chiedi pure.
A me come risultato viene 2/5,ma è probabile che abbia fatto un errore di calcolo.
Per lo sviluppo in serie di tanx abbiamo:
$ \displaymatch x + \frac{{x^3 }}{3} + \frac{{2x^5 }}{{15}} + e_5 (x) = x \Rightarrow \frac{{x^3 }}{3} + \frac{{2x^5 }}{{15}} + e_5 (x) = 0 $
da cui si ricava dividendo ambo i membri per x^3:
$ \displaymatch \frac{1}{3} + \frac{2}{{15}}x^2 + \frac{{e_5 }}{{x^3 }} = 0 $.
Indichiamo con $ x_i $ ,dove i=1,2,..inf ,le radici di questo polinomio.
Siccome il polinomio è pari è facile verificare che
$ \displaymatch \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}{{x_i }} = 0} $
ovvero
$ \displaymatch \left( {\sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}{{x_i }}} } \right)^2 = \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}{{x_i^2 }} + 2\sum\limits_{1 \le i < j} {\frac{1}{{x_i x_j }}} } = 0 $
Utilizzando le formule di Viete si arriva finalmente al risultato
$ \displaymatch \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}{{x_i^2 }} = 2\frac{{\frac{2}{{15}}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{4}{5} \Rightarrow \sum\limits_{j = 1}^\infty {\frac{1}{{a_j }} = \frac{2}{5}} } $
Per lo sviluppo in serie di tanx abbiamo:
$ \displaymatch x + \frac{{x^3 }}{3} + \frac{{2x^5 }}{{15}} + e_5 (x) = x \Rightarrow \frac{{x^3 }}{3} + \frac{{2x^5 }}{{15}} + e_5 (x) = 0 $
da cui si ricava dividendo ambo i membri per x^3:
$ \displaymatch \frac{1}{3} + \frac{2}{{15}}x^2 + \frac{{e_5 }}{{x^3 }} = 0 $.
Indichiamo con $ x_i $ ,dove i=1,2,..inf ,le radici di questo polinomio.
Siccome il polinomio è pari è facile verificare che
$ \displaymatch \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}{{x_i }} = 0} $
ovvero
$ \displaymatch \left( {\sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}{{x_i }}} } \right)^2 = \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}{{x_i^2 }} + 2\sum\limits_{1 \le i < j} {\frac{1}{{x_i x_j }}} } = 0 $
Utilizzando le formule di Viete si arriva finalmente al risultato
$ \displaymatch \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}{{x_i^2 }} = 2\frac{{\frac{2}{{15}}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{4}{5} \Rightarrow \sum\limits_{j = 1}^\infty {\frac{1}{{a_j }} = \frac{2}{5}} } $
Mah, mi sembra un po' sportiva, come dimostrazione. Forse (non so, non ho la più pallida idea di come si possa risolverlo), l'idea dello sviluppo in serie potrebbe anche fruttare, ma non certo così.__Cu_Jo__ ha scritto: Indichiamo con $ x_i $ ,dove i=1,2,..inf ,le radici di questo polinomio.
Siccome il polinomio è pari è facile verificare che[...]
M.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
@Singollo: Guarda, stava scherzando e io gli ho retto il gioco.
Anche i "6" di 16/64 non si possono semplificare (e, non so se l'hai notato, la semplificazione risulta corretta ). E la "n" in sin x / n = six = 6.
Anche i "6" di 16/64 non si possono semplificare (e, non so se l'hai notato, la semplificazione risulta corretta ). E la "n" in sin x / n = six = 6.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."