Simpatiche intersezioni.

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elianto84
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Simpatiche intersezioni.

Messaggio da elianto84 » 25 mag 2005, 18:21

Sia a[1] il più piccolo numero reale positivo tale che a[1]=tan(a[1])
Sia a[2] il secondo più piccolo numero reale positivo tale che a[2]=tan(a[2])
and so on.
(per intenderci, a[1] è poco più piccolo di 3pi/2 e a[2] è poco più piccolo di 5pi/2)

Dimostrare che

sum[j=1..+inf] 1/a[j]^2 = 1/10

(incredibile, vero?)
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__Cu_Jo__
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Messaggio da __Cu_Jo__ » 27 mag 2005, 06:48

Ma come si fa a risolvere l'equazione tanx=x :? ?

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 27 mag 2005, 07:06

__Cu_Jo__ ha scritto:Ma come si fa a risolvere l'equazione tanx=x :? ?
x è positivo, quindi lo puoi cancellare da entrambi i membri, ricavando tan=1. Ed il minimo x positivo la cui tangente sia 1 è $ \pi/4 $.
Quindi la soluzione è $ \pi/4 $.

Con lo stesso criterio puoi dimostrare che $ \displaystyle\frac{\sin x}{n}=6 $.
Occhio che n dev'essere diverso da 0, altrimenti non ha senso!

Per altri chiarimenti, chiedi pure.

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Singollo
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Messaggio da Singollo » 27 mag 2005, 08:00

Mind, hai bevuto?

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Marco
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Messaggio da Marco » 27 mag 2005, 08:01

MindFlyer ha scritto: x è positivo, quindi lo puoi cancellare da entrambi i membri, ricavando tan=1. Ed il minimo x positivo la cui tangente sia 1 è $ \pi/4 $.
Quindi la soluzione è $ \pi/4 $.
Ah, sì. Giusto!

E' un po' come dimostrare che
$ $ \frac{16}{64} = \frac{1 \!\!\!\not 6}{\!\!\not 6 4} = \frac{1}{4} $...
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Singollo
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Messaggio da Singollo » 27 mag 2005, 08:02

Giusto??? Allora sono proprio ottuso...

__Cu_Jo__
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Messaggio da __Cu_Jo__ » 27 mag 2005, 12:42

MindFlyer ha scritto:
__Cu_Jo__ ha scritto:Ma come si fa a risolvere l'equazione tanx=x :? ?
x è positivo, quindi lo puoi cancellare da entrambi i membri, ricavando tan=1. Ed il minimo x positivo la cui tangente sia 1 è $ \pi/4 $.
Quindi la soluzione è $ \pi/4 $.

Con lo stesso criterio puoi dimostrare che $ \displaystyle\frac{\sin x}{n}=6 $.
Occhio che n dev'essere diverso da 0, altrimenti non ha senso!

Per altri chiarimenti, chiedi pure.
Ah,come ho fatto a non pensarci prima :shock: !Quindi il risultato è 16/pi^2(tanto la sommatoria non serve a nulla)?

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Singollo
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Messaggio da Singollo » 27 mag 2005, 14:11

Ragazzi, ditemi che è uno scherzo! O siete matti voi, o sono matto io...

__Cu_Jo__
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Messaggio da __Cu_Jo__ » 27 mag 2005, 14:19

A me come risultato viene 2/5,ma è probabile che abbia fatto un errore di calcolo.
Per lo sviluppo in serie di tanx abbiamo:
$ \displaymatch x + \frac{{x^3 }}{3} + \frac{{2x^5 }}{{15}} + e_5 (x) = x \Rightarrow \frac{{x^3 }}{3} + \frac{{2x^5 }}{{15}} + e_5 (x) = 0 $
da cui si ricava dividendo ambo i membri per x^3:
$ \displaymatch \frac{1}{3} + \frac{2}{{15}}x^2 + \frac{{e_5 }}{{x^3 }} = 0 $.
Indichiamo con $ x_i $ ,dove i=1,2,..inf ,le radici di questo polinomio.
Siccome il polinomio è pari è facile verificare che
$ \displaymatch \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}{{x_i }} = 0} $
ovvero
$ \displaymatch \left( {\sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}{{x_i }}} } \right)^2 = \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}{{x_i^2 }} + 2\sum\limits_{1 \le i < j} {\frac{1}{{x_i x_j }}} } = 0 $
Utilizzando le formule di Viete si arriva finalmente al risultato
$ \displaymatch \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}{{x_i^2 }} = 2\frac{{\frac{2}{{15}}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{4}{5} \Rightarrow \sum\limits_{j = 1}^\infty {\frac{1}{{a_j }} = \frac{2}{5}} } $

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Messaggio da Singollo » 27 mag 2005, 15:29

Ma porcomè, sono l'unico idiota che non capisce il ragionamento di Mindflyer???

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Messaggio da Marco » 27 mag 2005, 15:33

@Singollo. Prova a partire dal secondo suo lemma:

sin x / n = 6 , per ogni n diverso da 0.

Se risolvi questo, allora puoi risolvere anche il primo.
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Messaggio da Singollo » 27 mag 2005, 15:35

Ma x non è l'argomento della tangente?? Come fa a semplificarlo?

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Messaggio da Marco » 27 mag 2005, 15:36

__Cu_Jo__ ha scritto: Indichiamo con $ x_i $ ,dove i=1,2,..inf ,le radici di questo polinomio.
Siccome il polinomio è pari è facile verificare che[...]
Mah, mi sembra un po' sportiva, come dimostrazione. Forse (non so, non ho la più pallida idea di come si possa risolverlo), l'idea dello sviluppo in serie potrebbe anche fruttare, ma non certo così.

M.
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Messaggio da Marco » 27 mag 2005, 15:38

@Singollo: Guarda, stava scherzando e io gli ho retto il gioco.

Anche i "6" di 16/64 non si possono semplificare (e, non so se l'hai notato, la semplificazione risulta corretta :shock: ). E la "n" in sin x / n = six = 6.
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Pixel
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Messaggio da Pixel » 27 mag 2005, 15:38

Singollo, ti stanno solo prendendo in giro 8) :lol:
P. Andrea

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