Simpatiche intersezioni.

[elianto84]

Sia a[1] il più piccolo numero reale positivo tale che a[1]=tan(a[1])
Sia a[2] il secondo più piccolo numero reale positivo tale che a[2]=tan(a[2])
and so on.
(per intenderci, a[1] è poco più piccolo di 3pi/2 e a[2] è poco più piccolo di 5pi/2)

Dimostrare che

sum[j=1..+inf] 1/a[j]^2 = 1/10

(incredibile, vero?)

[__Cu_Jo__]

Ma come si fa a risolvere l'equazione tanx=x ?

[MindFlyer]

Ma come si fa a risolvere l'equazione tanx=x ?

x è positivo, quindi lo puoi cancellare da entrambi i membri, ricavando tan=1. Ed il minimo x positivo la cui tangente sia 1 è $ \pi/4 $.
Quindi la soluzione è $ \pi/4 $.

Con lo stesso criterio puoi dimostrare che $ \displaystyle\frac{\sin x}{n}=6 $.
Occhio che n dev'essere diverso da 0, altrimenti non ha senso!

Per altri chiarimenti, chiedi pure.

[Singollo]

Mind, hai bevuto?

[Marco]

x è positivo, quindi lo puoi cancellare da entrambi i membri, ricavando tan=1. Ed il minimo x positivo la cui tangente sia 1 è $ \pi/4 $.
Quindi la soluzione è $ \pi/4 $.

Ah, sì. Giusto!

E' un po' come dimostrare che
$ $ \frac{16}{64} = \frac{1 \!\!\!\not 6}{\!\!\not 6 4} = \frac{1}{4} $...

[Singollo]

Giusto??? Allora sono proprio ottuso...

[__Cu_Jo__]

Ma come si fa a risolvere l'equazione tanx=x ?

x è positivo, quindi lo puoi cancellare da entrambi i membri, ricavando tan=1. Ed il minimo x positivo la cui tangente sia 1 è $ \pi/4 $.
Quindi la soluzione è $ \pi/4 $.

Con lo stesso criterio puoi dimostrare che $ \displaystyle\frac{\sin x}{n}=6 $.
Occhio che n dev'essere diverso da 0, altrimenti non ha senso!

Per altri chiarimenti, chiedi pure.

Ah,come ho fatto a non pensarci prima !Quindi il risultato è 16/pi^2(tanto la sommatoria non serve a nulla)?

[Singollo]

Ragazzi, ditemi che è uno scherzo! O siete matti voi, o sono matto io...

[__Cu_Jo__]

A me come risultato viene 2/5,ma è probabile che abbia fatto un errore di calcolo.
Per lo sviluppo in serie di tanx abbiamo:
$ \displaymatch x + \frac{{x^3 }}{3} + \frac{{2x^5 }}{{15}} + e_5 (x) = x \Rightarrow \frac{{x^3 }}{3} + \frac{{2x^5 }}{{15}} + e_5 (x) = 0 $
da cui si ricava dividendo ambo i membri per x^3:
$ \displaymatch \frac{1}{3} + \frac{2}{{15}}x^2 + \frac{{e_5 }}{{x^3 }} = 0 $.
Indichiamo con $ x_i $ ,dove i=1,2,..inf ,le radici di questo polinomio.
Siccome il polinomio è pari è facile verificare che
$ \displaymatch \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}{{x_i }} = 0} $
ovvero
$ \displaymatch \left( {\sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}{{x_i }}} } \right)^2 = \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}{{x_i^2 }} + 2\sum\limits_{1 \le i < j} {\frac{1}{{x_i x_j }}} } = 0 $
Utilizzando le formule di Viete si arriva finalmente al risultato
$ \displaymatch \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{1}{{x_i^2 }} = 2\frac{{\frac{2}{{15}}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{4}{5} \Rightarrow \sum\limits_{j = 1}^\infty {\frac{1}{{a_j }} = \frac{2}{5}} } $

[Singollo]

Ma porcomè, sono l'unico idiota che non capisce il ragionamento di Mindflyer???

[Marco]

@Singollo. Prova a partire dal secondo suo lemma:

sin x / n = 6 , per ogni n diverso da 0.

Se risolvi questo, allora puoi risolvere anche il primo.

[Singollo]

Ma x non è l'argomento della tangente?? Come fa a semplificarlo?

[Marco]

Indichiamo con $ x_i $ ,dove i=1,2,..inf ,le radici di questo polinomio.
Siccome il polinomio è pari è facile verificare che[...]

Mah, mi sembra un po' sportiva, come dimostrazione. Forse (non so, non ho la più pallida idea di come si possa risolverlo), l'idea dello sviluppo in serie potrebbe anche fruttare, ma non certo così.

M.

[Marco]

@Singollo: Guarda, stava scherzando e io gli ho retto il gioco.

Anche i "6" di 16/64 non si possono semplificare (e, non so se l'hai notato, la semplificazione risulta corretta ). E la "n" in sin x / n = six = 6.

[Pixel]

Singollo, ti stanno solo prendendo in giro