Un problema stupido ma ugualmente irritante
Un problema stupido ma ugualmente irritante
Determinare il volume di un dodecaedro regolare nota la lunghezza dello spigolo.
Jack alias elianto84 alias jack202
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
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MindFlyer
Sia $ l $ lo spigolo del dodecaedro.
Possiamo vedere il dodecaedro come l'unione di un cubo di spigolo $ \varphi l $ (la diagonale di un pentagono regolare di lato $ l $) e 6 "tetti", uno sopra ogni faccia del cubo. Basta quindi trovare il volume di un tetto.
Ogni tetto può essere visto come l'unione di un prisma retto a base triangolare isoscele e 2 metà di una piramide retta a base rettangolare.
I lati di base del prisma misurano $ \varphi l $ e $ \sqrt{l^2-\left(\frac{l}{2\varphi}\right)^2} $, mentre l'altezza misura ovviamente $ l $. Quindi l'altezza del tetto rispetto al cubo è $ l\sqrt{1-\frac{1}{4\varphi^2}-\frac{\varphi^2}{4}}=\frac{l}{2} $, ed il volume del prisma è $ \frac{\varphi}{4} l^3 $.
L'altezza della piramide rispetto al cubo è la stessa del prisma, ed i lati della base misurano $ \varphi l $ e $ \frac{l}{\varphi} $. Quindi il suo volume è $ \frac{l^3}{6} $.
Mettendo tutto insieme, il volume del dodecaedro è $ \left(\varphi^3+\frac{3}{2}\varphi+1\right)l^3=\frac{\varphi^6-\varphi^2}{2}l^3 $.
Possiamo vedere il dodecaedro come l'unione di un cubo di spigolo $ \varphi l $ (la diagonale di un pentagono regolare di lato $ l $) e 6 "tetti", uno sopra ogni faccia del cubo. Basta quindi trovare il volume di un tetto.
Ogni tetto può essere visto come l'unione di un prisma retto a base triangolare isoscele e 2 metà di una piramide retta a base rettangolare.
I lati di base del prisma misurano $ \varphi l $ e $ \sqrt{l^2-\left(\frac{l}{2\varphi}\right)^2} $, mentre l'altezza misura ovviamente $ l $. Quindi l'altezza del tetto rispetto al cubo è $ l\sqrt{1-\frac{1}{4\varphi^2}-\frac{\varphi^2}{4}}=\frac{l}{2} $, ed il volume del prisma è $ \frac{\varphi}{4} l^3 $.
L'altezza della piramide rispetto al cubo è la stessa del prisma, ed i lati della base misurano $ \varphi l $ e $ \frac{l}{\varphi} $. Quindi il suo volume è $ \frac{l^3}{6} $.
Mettendo tutto insieme, il volume del dodecaedro è $ \left(\varphi^3+\frac{3}{2}\varphi+1\right)l^3=\frac{\varphi^6-\varphi^2}{2}l^3 $.
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MindFlyer
Bello!
Figo Mind!
Io consideravo i vertici come giacenti su 4 piani paralleli
(ogni piano contiene 5 vertici) alchè avevo la somma di un coso
strano (il pezzo di mezzo) e due tronchi di piramide a base pentagonale,
ma mi rendo conto che considere il dodecaedro come un cubo
e 6 tetti (un cuore e 6 capanne) rende forse più agevole la computazione...
Io consideravo i vertici come giacenti su 4 piani paralleli
(ogni piano contiene 5 vertici) alchè avevo la somma di un coso
strano (il pezzo di mezzo) e due tronchi di piramide a base pentagonale,
ma mi rendo conto che considere il dodecaedro come un cubo
e 6 tetti (un cuore e 6 capanne) rende forse più agevole la computazione...
Jack alias elianto84 alias jack202
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Uhm ... ma scomporlo in 12 piramidi no eh?
L'area di una faccia del dodecaedro è
$ A=\frac{1}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}} $
il raggio della sfera inscritta è
$ r=\frac{1}{20}\sqrt{250+110\sqrt{5}} $
da cui il volume è
$ V=12\frac{A\cdot r}{3}=\frac{1}{4}\sqrt{15+7\sqrt{5}} $
Per calcolare il raggio della sfera inscritta, basta sezionare lungo il piano ortogonale alla congiungente di due vertici e farsi un un sistemino di secondo grado con inraggio e circoraggio del pentagono regolare.
L'area di una faccia del dodecaedro è
$ A=\frac{1}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}} $
il raggio della sfera inscritta è
$ r=\frac{1}{20}\sqrt{250+110\sqrt{5}} $
da cui il volume è
$ V=12\frac{A\cdot r}{3}=\frac{1}{4}\sqrt{15+7\sqrt{5}} $
Per calcolare il raggio della sfera inscritta, basta sezionare lungo il piano ortogonale alla congiungente di due vertici e farsi un un sistemino di secondo grado con inraggio e circoraggio del pentagono regolare.
