A proposito di aree

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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karl
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A proposito di aree

Messaggio da karl » 30 apr 2005, 14:04

Immagine
I punti M,N e P sono rispettivamenti situati sui lati AB,BC,CA
del triangolo ABC ,in modo che sia:
AB/AM=BC/BN=CA/CP=3.
I segmenti AN,BP e CM formino il triangolo A'B'C'.
Dimostrare che e': [ABC]=7*[A'B'C'] dove [XYZ] e'
l'estensione (piana) del triangolo XYZ.

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Messaggio da info » 30 apr 2005, 19:47

Simpatico anche questo... si capisce quà cosa ti ha "sviato" nell'altro problema, karl! :lol:

Si aspettano sol dai cesenaticensi :wink:

Anzi no! Ne dico una io! Considerando una affinità si possono mandare A,B e C in A', B' e C' di modo che A', B', C' sia, che sò, un triangolo rettangolo isoscele? Si trovano in quel caso particolare tutti i rapporti fra i vari segmenti e si conclude dato che le affinità mantengono i rapporti tra le lunghezze... Comodo e utile stò trucchetto :twisted: ... ma quella euclidea è più bella! (è solo un giudizio estetico naturalmente)

ma_go
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Messaggio da ma_go » 30 apr 2005, 20:46

uhm... a suo tempo ho fatto questo problemino, smanettando allegramente con la trigonometria... ora, col senno di poi, dico che non è la soluzione più breve, e che non è neppure il modo più facile per ridurlo ad un problema di algebra... quindi, lancio l'invito a qualche incapace di geometria (tipo me) a trovarsi un'ingegnosa viuzza tutt'altro che geometrica, per risolvere questo problema...
almeno, mi pare che sia abbastanza semplice, per come l'ho abbozzata io.
ps. lo so, geometri, lo so: siete liberi di ammazzarmi e di darmi del barbaro, però io la geometria nun la so fare :D a meno che non mi diate qualcosa da invertire...

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Messaggio da Boll » 01 mag 2005, 09:55

info ha scritto:Le affinità mantengono i rapporti tra le lunghezze...
Sure??? :D:D Mantengono sicuramente il rapporto fra aree e anche i rapporti tra lunghezze di segmenti paralleli o appartenenti alla stessa retta, ma "Gobbino docet" non si conservano i rapporti tra lunghezze di segmenti appartenenti a rette incidenti.

Per il problema non ci sono problemi comunque e la soluzione "affine" secondo me è più breve e quindi migliore che stare li a cercare 2 ore la via euclidea (sono solo opinioni comunque) :D:D:D

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Messaggio da info » 01 mag 2005, 10:08

Grazie per la precisazione. Vorrei proprio incontrarlo questo Gobbino. Magari mi dà qualche consiglio per questa estate! :lol: ... In ogni caso, come hai osservato quà ci interessano rapporti di linee che giaciono sulla stessa retta...
cmq avevo detto una cosa poco precisa dato che se tutte le lunghezze fossero mantenute, verrebbe meno l'unica cosa che sò sulle affinità e cioè che 3 punti qualsiasi non allineati possono essere mandati in altri 3 punti qualsiasi non allineati...

Cmq la sol euclidea è brevissima... basta tracciare un SINGOLO segmento..

Sinceramente ho trovato moooolto più in fretta quella che la via trigonometrica di ma_go (che devo ancora trovare e non sò se troverò, per ora non ho trovato metodi "veloci"!)....

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Messaggio da Boll » 01 mag 2005, 10:13

info ha scritto:Grazie per la precisazione. Vorrei proprio incontrarlo questo Gobbino. Magari mi dà qualche consiglio per questa estate! :lol: ...

In ogni caso, come hai osservato quà ci interessano rapporti di linee che giaciono sulla stessa retta...
Ovviamente neanche io l'ho mai incontrato :P. Comprati "Schede Olimpiche", è tipo un bigino dove ci sono scritte le cose fondamentali di mate olimpica e non.

Riguardo al problema, ma non ci interessano i rapporti tra aree :?: :!: :shock:

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Messaggio da info » 01 mag 2005, 10:18

Beh... mi pare utile ridurre i rapporti tra aree a rapporti tra segmenti e non mi pare un grosso problema... anche perchè altrimenti la geometria euclidea avrebbe qualche difficioltà a svolgere il suo corso...
Immagino che tu abbia usato l'affinità direttamente con le aree... I'm sorry ma mi manca la teoria per applicare queste cosa con "tranquillità"... se vuoi scrivi la tua sol...

ps: comprare? A fine matura fotocopio tutto...

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Messaggio da Boll » 01 mag 2005, 11:03

Beh, formalizzando tutto non è poi così corta... Posta anche la tua euclidea poi che sono curioso :D:D:D

Mettiamo tutto in un piano cartesiano, ora, utilizzando un'affinità mandiamo
$ A\rightarrow(0,0) $
$ B\rightarrow(3,0) $
$ C\rightarrow(0,3) $
Ne consegue che
$ M\rightarrow(1,0) $
$ P\rightarrow(0,2) $
$ N\rightarrow(2,1) $
Per l'ultima affermazione uso Talete, tanto l'affinità mantiene il parallelismo.

Ora si comincia beatamente a far di conto e si trova che:
$ CM: 3x+y-3=0 $
$ AN: x-2y=0 $
$ BP: 2x+3y-6=0 $

Intersecando...

$ A'\equiv CM\cap AN\equiv\left(\frac{6}{7},\frac{3}{7}\right) $
$ B'\equiv BP\cap AN\equiv\left(\frac{12}{7},\frac{6}{7}\right) $
$ C'\equiv CM\cap BP\equiv\left(\frac{3}{7},\frac{12}{7}\right) $

Quindi il segmento $ A'B' $ ha lunghezza:
$ \sqrt{\left(\frac{6}{7}\right)^2+\left(\frac{3}{7}\right)^2}=\frac{3\sqrt{5}}{7} $

la distanza del punto $ C' $ dalla retta $ AN $ è invece:
$ \left|\frac{3/7-24/7}{\sqrt{5}}\right|=\frac{3}{\sqrt{5}} $

Quindi
$ [A'B'C']=\frac{9}{14} $
per calcolo diretto
$ [ABC]=\frac{3*3}{2}=\frac{9}{2} $

Se ne deduce che nel nostro particolare triangolo la tesi è verificata e poichè l'inversa di un'affinità è un'affinità e le affinità mantengono i rapporti tra aree la tesi è verificata per qualsiasi triangolo.

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Messaggio da karl » 01 mag 2005, 13:13

Immagine
Aggiungo questa risoluzione che mi pare abbia una qualche
originalita'.
[per semplicita' di scrittura ho indicato il triangolo
A'B'C' con XYZ (vedi fig. allegata)]
Si ponga la massa 1 in A ,la massa 2 in B e la massa 4 in C.
Il baricentro tra B e C e' in N ( come e' facile verificare)
e quindi il baricentro G di tutte e 3 le masse e' su AN.
Analogamente il baricentro tra A e B e' in M;pertanto G e'
su CM ovvero G coincide con l'intersezione X tra AN e CM.
Ora in A c'e' la massa 4 e in N la massa 1+2=3 e dunque
deve essere AX:XN=3:4 da cui ,componendo AX=(3/7)AN.
Cio' posto ,siano T,R,S le proiezioni ortogonali su AB di
X,C,N rispettivamente.
Dalla similitudine di CRB ed NSB si trae:
CR:NS=CB:NB===>NS=(1/3)CR
Dalla similitudine di ANS e AXT si trae:
XT:NS=AX:AN===>XT=(3/7)NS=(1/7)CR.
Pertanto si ha:
[AXM]=(1/2)AM.XT=(1/2)(1/3)AB.(1/7)CR=(1/21)[ABC]
[ANB]=(1/2)AB.NS=(1/2)AB.(1/3)CR=(1/3)[ABC]
In maniera perfettamente analoga risulta:
[BNY]=[CPZ]=(1/21)[ABC]
Inoltre:
[XMBN]=[ANB]-2[AXM]=(5/21)[ABC] e similmente:[AXZP]=[CZYN]=(5/21)[ABC].
Infine:
[XYZ]=[ABC]-3[AXM]-3[XMBN]=[ABC]-(1/7)[ABC]-(5/7)[ABC] ovvero:
[XYZ]=(1/7)[ABC] C.V.D.

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Messaggio da info » 02 mag 2005, 13:10

Non ho molto tempo, quindi scrivo solo il proc per trovare l'area di PCZ. L'area totale è 1.

A[PBC]=1/3---> perchè ha l'altezza di ABC ma una base che è in rapporto 1/3 con la base di ABC.
Similmente:

A[PCZ]:A[ZCB]=PZ:ZB

conoscendo la somma delle due aree, ci manca una equazione. Vogliamo trovare il rapporto PZ:ZB.
Si tracci la parallela ad AB passante per P che incontra CZ in H. Ora

PH=AM/3=MB/6

dai triangoli PZH e ZMB si vede che PH/MB=PZ/ZB=1/6...

Quindi con i dati sopra si vede A[PZC]=1/21... e per gli altri triangolini ai vertici è uguale.

Con il principio di inclusione-esclusione (tanto per fare gli sboroni) l'area richiesta vale--->1 - 3*1/3 + 3*1/21 = 1/7

ora manca solo la trigonometri di ma_go..

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Messaggio da elianto84 » 20 mag 2005, 18:43

Cfr.1-) "Van Obel" Theorem [cavallo di battaglia!]
Cfr.2-) "Roth" Theorem

Hasta luego!
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Messaggio da Boll » 20 mag 2005, 19:43

Para che tutti i problemi affinabili siano "figli di Van Hobel" :D:D :lol: :lol: :wink: :wink:

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Messaggio da EvaristeG » 21 mag 2005, 20:06

Eh eh, non stai sbagliando di tanto ... tutti i problemi in cui importa solo dei rapporti tra le aree (e quindi affinizzabili) sono riconducibili ad uno dei teoremi di concorrenza dimostrati tramite le aree :
Ceva / Menelao
Van Obel
oppure tramite la loro "naturale" generalizzazione :
Roth.

Prima o poi devo postare una spiegazione delle coordinate baricentriche, così sarà tutto più chiaro...

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