Disuguaglianza Fibonaccica

[Boll]

Eccoti la tua disuguaglianza, Biagio

Sia $ \{F_n\} $ la successione di Fibonacci, provare che:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\frac{F_n}{2^n}<2 $
comunque preso $ n\in\mathbb{N}_0 $

P.S. La successione di Fibonacci è definita come:
$ F_1=1 $
$ F_2=1 $
$ F_n=F_{n-1}+F_{n-2} $ per $ n\ge 3 $

[Poliwhirl]

Boll, per favore, definisci i primi $ \displaystyle F_n $ della successione di Fibonacci? E' come segue?
$ \displaystyle F_0=1 $
$ \displaystyle F_1=1 $
$ \displaystyle F_2=2 $
Ecc...

Bye,
#Poliwhirl#

[Biagio]

la sommatoria si riduce a due sommatorie geometriche, una volta che uno si scrive l'n-esimo termine di Fibonacci come espressione esplicita.
a questo punto ci si calcola il valore esatto di convergenza che sarà <2 in base a come definisci $ $F_1$ $

[HumanTorch]

$ 2^1>1 $ e il primo membro della disuguaglianza raddoppia, mentre il secondo non può mai raddoppiare se $ n>4 $ (e pertanto è vero, per induzione, che $ F_n<2^n $).
A questo punto: si è dimostrato che $ 2^n $ cresce più rapidamente di $ F_n $. La serie è convergente; prendiamo ora un'altra serie convergente, ovvero $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^n} $, che avrà limite
$ $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=1 $.
Il limite della serie iniziale invece, è pari a $ $\lim_{n\to\infty}\frac{F_n}{2^n}=l>1 $, poichè, avendo il numeratore maggiore di $ 1 $, ogni termine di tale successione è maggiore del corrispondente nella seconda, ma minore del suo doppio (per ciò che è stato detto in precedenza): quindi al somma di tutte i termini sarà $ >2*1 $, ovvero minore (ma tendente) di $ 2 $.

[__Cu_Jo__]

Scusa Humman,ma potresti spiegare meglio perchè il limite è minore di 2?

[__Cu_Jo__]

Io ho utilizzato lo stesso procedimento di biagio(almeno credo).E' un po' contoso ma piuttosto semplice da applicare.Scrivo i conti per chiarezza:
Per la formula di Binet
$ \displaymatch \frac{{F_n }}{{2^n }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left( {\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{4}} \right)^n - \left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{4}} \right)^n } \right) $
quindi
$ \displaymatch \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{F_n }}{{2^n }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{4}} \right)^n - \left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{4}} \right)^n } \right)} $
Applicando la serie geometrica alla somma di prima si ricava
$ \displaymatch \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{F_n }}{{2^n }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \left( {x\frac{{\left( {x^n - 1} \right)}}{{x - 1}} - y\frac{{\left( {y^n - 1} \right)}}{{y - 1}}} \right) $
dove $ \displaymatch x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{4} < 1\,\,;\,\,\,y = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{4}\,\, > -1 $
Infine passando al limite si trova che la serie converge a 2:
$ \displaymatch \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{F_n }}{{2^n }} = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \left( {\frac{x}{{x - 1}} - \frac{y}{{y - 1}}} \right) = 2 $

[HumanTorch]

Innanzitutto la serie in questione è non decrescente, quindi monotona, quindi regolare. Presa la seconda serie (la somma delle potenze di $ \frac{1}{2} $ da $ 0 $ a $ n $), essa tende a $ 2 $.
Per il resto ho considerato il fatto che massimo tre termini (passando poi a due)consecutivi possono essere maggiori o uguali di $ \frac{1}{2^k} $, dimostrato per induzione, e qualche proprietà sui limiti e le funzioni in questione, in particolare sulla convergenza dei loro termini.

Chiedo venia per la confusione, ma a quest'ora sclero.

[ma_go]

uhm... io credo che ci sia anche qualche modo più elegante.. credo..
invito quindi molti a riflessioni in materia
se volete qualche hint (anche se spero non ce ne sia bisogno), provate a chiedere...
io intanto ricontrollo che funzioni
ciau!

[AlessandroSfigato]

scusate l'intervento poco inerente ma è normale che io, studente di quarta liceo scientifico, non abbia mai visto queste cose e non sappia da dove partire per risolverle?

[HumanTorch]

Credo che si studino in quinta. Tuttavia ci sono alcuni testi che trattano bene gli argomenti ("Matematica tre", ad esempio) e che siano notevolmente intellegibili.
Poffarbacco, li capisco pure io che sono uno studente farlocco di seconda...

[AlessandroSfigato]

come si fa a trovare l'ennesimo numero della sequenza in forma di espressione? e che significa serie convergente?

[HumanTorch]

come si fa a trovare l'ennesimo numero della sequenza in forma di espressione?

Parli di ogni termine (lo si trova sostituendo il numero desiderato a $ n $, o forse cerchi una funzione polinomiale o un'altra funzione che integri le due) o di un'espressione per il calcolo della sommatoria?

Per quanto riguarda la serie, essa si dice convergente se, al tendere a infinito di $ n $, $ a_n $ tende a un dato numero $ l $.
Oppure, se preferisci, una serie converge se, preso un qualsiasi intero $ m $, si ha, per ogni $ k \in \mathbb{N} $, $ a_{m+k}-l<m $.

Un esempio pratico: se si fissa un dato valore per lo spazio, velocità e tempo sono inversamente proporzionali; quindi, presa la velocità come variabile indipendente $ x $, se $ x $ tende a infinito, il tempo tende a $ 0 $. Ciò che vale per le funzioni lo puoi applicare alle serie.

[Boll]

Credo che Alessandro chiedesse come si arriva dalla successione di Fibonacci alla "formula più brutta del mondo" alias "formula che se non la provi non ci credi" alias "formula di Binet". Invero la dimostrazione è abbastanza semplice

Chiamo $ \{F_n\} $ la successione di Fibonacci.
Innanzitutto prendo l'equazione $ x^2=x+1 $, dette $ \alpha $ e $ \beta $ le sue radici avremo che:
$ {\alpha}^{n+2}={\alpha}^{n+1}+{\alpha}^n $, basta moltiplicare la precedente per $ \alpha^n $, e che
$ {\beta}^{n+2}={\beta}^{n+1}+{\beta}^n $
quindi le successioni $ \{F_n\},\{\alpha^n\},\{\beta^n\} $ ricorrono allo stesso modo. Moltiplicando per $ A $ e $ B $, reali arbitrari avremo che
$ A{\alpha}^{n+2}=A{\alpha}^{n+1}+A{\alpha}^n $,
$ B{\beta}^{n+2}=B{\beta}^{n+1}+B{\beta}^n $
e quindi anche le successioni $ \{A\alpha^n\},\{B\beta^n\} $ ricorrono come quelle sopra, sommando le due espressioni sopra si avrà che anche $ \{A\alpha^n+B\beta^n\} $ ricorre allo stesso modo.
A questo punto per eguagliare le due successioni ci basta prendere uguali i primi due termini, ciò equivale a risolvere il sistema
$ \displaystyle A\frac{1+\sqrt{5}}{2}+B\frac{1-\sqrt{5}}{2}=1 $
$ \displaystyle A\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2+B\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^2=1 $
si avrà quindi esattamente la formula di Binet

[AlessandroSfigato]

forse mi sono spiegato male o più probabilmente non ho capito la risposta di boll, io chiedevo la formula in funzione di n con la quale si ottiene l'ennesimo numero della sequenza di fibonacci.
la tua dimostrazione boll non ho capito cosa sia cioè cosa voglia dimostrare oltre ad alcuni passaggi che non mi sono chiari.

[Boll]

Ehm, esattamente quello che hai chiesto, Alessandro, la mia dimostrazione dimostra (scusate l'italiano) che, detta $ \{F_n\} $ la successione di Fibonacci si avrà:
$ \displaystyle F_n=\frac{1}{\sqrt5}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right) $
tale formula è detta appunto "formula di Binet"

Riguardo ai passaggi che non ti sono chiari, sarò felice di fugare i tuoi dubbi