Partizioni e verifiche di primalità

[HiTLeuLeR]

Siccome la Geometria non mi piace granché, altro non fosse per il fatto che noi due non ci si intende proprio, e dacché viceversa sono irresistibilmente attratto, per quanto mi sforzi di nasconderlo (coff coff...), dagli studi di Teoria dei Numeri, ho deciso che cercherò in futuro di conciliare questi miei sentimenti contrastanti e darmi con passione alla Teoria Geometrica dei Numeri! Ahi voi, cos'altro vi toccherà sopportare...

Problema: essendo $ n $ un intero $ \geq 5 $, mostrare che $ n $ è primo in $ \mathbb{N} $ sse, per ogni 4-upla d'interi positivi $ (x_1, x_2, x_3, x_4) $ t.c. $ n = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 $, e per ogni permutazione $ (p,q,r,s) $ di $ (1, 2, 3, 4) $: $ x_p x_q \neq x_r x_s $.

[Pixel]

Ciao Salvo!

Lo so che sono OT, ma mi chiedevo se potessi descrivermi l'oggetto dello studio della teoria geometrica dei numeri, insomma qual è il genere d'approccio e qualche risultato notevole.

Grazie

P.S: forse era meglio metterla nel glossario, boh!.. parola ai mods

Ancora ciao

[HiTLeuLeR]

Semplificando un po' la cosa, si può dire che la Teoria Geometrica dei Numeri (per il seguito, TGN) si occupa dei problemi di carattere additivo che attengono agli interi e alla loro rappresentazione. Fra gli altri, dedicarono i proprio sforzi a quest'ambito di ricerca alcuni fra i Matematici più prolifici della storia. Penso a Erdos, Ramanujan, Eulero. L'esempio classico di un problema della TGN si ritrova nella celeberrima congettura di Goldbach, cui si riferiscono di fatto due fra i risultati più importanti della disciplina: il teorema di Vinogradov, oggi perfezionato nel teorema di Bombieri-Vinogradov, e il mirabilissimo teorema di Chen. Una menzione merita pure un risultato elementare legato al nome del maestro Eulero e relativo alla rappresentazione mediante le serie di Bell, e le funzioni generatrici, della mappa $ r(\cdot): \mathbb{N}_0 \mapsto \mathbb{N}_0 $ che ad ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $ associa la cardinalità dell'insieme $ \{k\in\mathbb{N}_0: \exists^{\mbox{no}} x_1, x_2, \ldots, x_k\in\mathbb{N}_0\mbox{ t.c.: } $ $ x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_k\mbox{ }\wedge\mbox{ } n = x_1 + x_2 + \ldots + x_k\} $.

[Pixel]

Ciao!

Un'implicazione viene abbastanza agevolmente...se n è primo allora...
Per quanto riguarda l'altra sei sicuro di non aver omesso ipotesi aggiuntive?
Cioè prendendo n=20 e come quadrupla (2,4,8,6) mi pare che funzioni, ma 20 è ben lungi dall'essere primo.
Boh..magari ho frainteso!

P.S: Qual è il testo di riferimento per lo studio della TGN??

Ciao e grazie

[HiTLeuLeR]

[...] prendendo n=20 e come quadrupla (2,4,8,6) mi pare che funzioni, ma 20 è ben lungi dall'essere primo.

Sì, forse hai frainteso, Andre'! Infatti, di tutto tenuto conto, si tratta di dimostrare che il generico intero $ n \geq 5 $ è composto sse esiste una qualche 4-upla $ (x_1, x_2, x_3, x_4) $ di interi tale che $ n = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 $ ed $ x_1 x_2 = x_3 x_4 $. Questo è presto garantito se $ n = 4k $, per qualche intero $ k > 1 $, pur di prendere $ x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = k $. Nel caso dell'esempio che tu proponi, risulta $ k = 5 $. Non vedo cosa ci sia che non ti torni, caro...

P.S: Qual è il testo di riferimento per lo studio della TGN??

Hardy&Wright, per la teoria di base! Per approfondire il tutto, siccome ormai IL tomo è un po' datato, consiglio poi di spigolare qua e là per la rete dispensuole dai vari corsi tenuti presso questa o quell'altra facoltosa facoltà americana...

[Igor]

Riscriviamo innanzitutto la tesi in questo modo:

dimostrare che n è primo in N se per ogni quadrupla ordinata di interi $ (x_1,x_2,x_3,x_4) $,tali che $ x_1+x_2+x_3+x_4=n $, abbiamo che $ x_1*x_4\neq x_2*x_3 $.

Per fare questo, dimostreremo separatamente due lemmi:

#1: Se esiste una quadrupla ordinata di interi $ (x_1,x_2,x_3,x_4) $ tale che $ x_1*x_4 = x_2*x_3 $ e che $ x_1+x_2+x_3+x_4=n $ , allora n è composto.

#2: Se n è composto, allora esiste una quadrupla ordinata di interi $ (x_1,x_2,x_3,x_4) $ tale che $ x_1*x_4 = x_2*x_3 $ e che $ x_1+x_2+x_3+x_4=n $.

Infatti il primo lemma ci assicura che per tutti i numeri primi non esistono delle quadruple che verificano le condizioni poste.Inoltre il secondo ci assicura che solo i numeri primi hanno questa peculiarità.

Dimostriamo dunque i due lemmi:

#1

Poniamo $ a=gcd(x_1,x_2,x_3,x_4) $.
Dunque $ x_1=a*y_1 $,$ x_2=a*y_2 $,$ x_3=a*y_3 $,$ x_4=a*y_4 $

Ora abbiamo:

$ n=a(y_1+y_2+y_3+y_4) $

e quindi se a>1, n è composto.

Ammettiamo dunque che sia a = 1.

Riscriviamo la relazione $ x_1*x_4 = x_2*x_3 $ in questo modo:

$ \frac{x_3}{x_1}=\frac{x_4}{x_2} $

Dunque $ x_3=\frac{h}{k}*x_1 $ e $ x_4=\frac{h}{k}*x_2 $, con
$ h,k \in N $

Poichè $ x_1 $ e $ x_2 $ sono coprimi, allora deve necessariamente
essere K = 1.

Consideriamo ora l'altra relazione:

$ n=x_1+x_2+x_3+x_4=x_1+x_2+hx_1+hx_2=(h+1)(x_1+x_2). $

Dunque anche in questo caso n è composto.

#2

Se n è composto, allora abbiamo che $ n=a*b $, con $ a,b \in N $ e
$ a,b > 1 $.

Poniamo
$ x_1=1 $
$ x_2=a-1 $
$ x_3=b-1 $
$ x_4=(a-1)(b-1) $

Allora
$ x_1*x_4=x_2*x_3 $ e

$ 1+(a-1)+(b-1)+(a-1)(b-1)=ab=n $

Abbiamo dunque trovato la nostra quadrupla e questo conclude la dimostrazione.

[HiTLeuLeR]

Poichè $ x_1 $ e $ x_2 $ sono coprimi [...]

Ti spiacerebbe spiegarmi come e quando l'avresti stabilito?!?

[HiTLeuLeR]

Appunto, Igor, come suggerisce il tuo silenzio, non l'hai stabilito da nessuna parte... Comunque volevo segnalarvi che la traccia del problema originale conteneva una lacuna, adesso colmata! Oooh, se me ne dolgo...

[Pixel]

Beh mica era troppo piccola come svista
Comunque provo la prima implicazione:

Supponiamo dunque n numero primo, supponiamo per assurdo che esista $ (x_1,x_2,x_3,x_4) $ di interi positivi tali che $ n=x_1+x_2+x_3+x_4 $ e tale per cui vi sia una permutazione {p,q,r,s} di {1,2,3,4} tale che $ x_px_q=x_rx_s $ [1].
Da $ x_p=n-x_q-x_r-x_s $ [0] e dalla relazione [1] abbiamo che
$ x_qn=(x_q+x_s)(x_q+x_r) $
Essendo n primo abbiamo che necessariamente $ n|(x_q+x_s) $ o $ n|(x_q+x_r) $.
Supponiamo dunque che $ n|(x_q+x_r) $ dalla relazione [0] abbiamo allora che $ n|(x_p+x_s) $ ma allora esistono $ k_1 $ e $ k_2 $ interi positivi tali per cui:
$ x_q+x_r=k_1 n $
$ x_p+x_s=k_2 n $
e sempre dalla relazione [0] si ha che
$ k_1+k_2=1 $ cioè o, $ k_1=1 $ e $ k_2=0 $, o$ k_1=1 $ e $ k_2=0 $.
Da quanto detto sopra si ha subito l'assurdo in quanto risulterebbe che o $ x_q+x_r=0 $ o $ x_p+x_s=0 $ il che è impossibile essendo i vari $ x_i $ interi positivi.
Analogo discorso se $ n|(x_q+x_s) $.

Spero sia corretto ciao[/tex]

[HiTLeuLeR]

[...] e sempre dalla relazione [0] si ha che
$ k_1+k_2=1 $ cioè $ k_1=1 $ e $ k_2=0 $, o $ k_1=1 $ e $ k_2=0 $.

A parte questa svista, la soluzione è ok. In quanto alla mia disattenzione, ehmmm...

[HiTLeuLeR]

[...] Se n è composto, allora abbiamo che $ n=a*b $, con $ a,b \in N $ e $ a,b > 1 $. Poniamo $ x_1=1 $; $ x_2=a-1 $; $ x_3=b-1 $; $ x_4=(a-1)(b-1) $. Allora $ x_1*x_4=x_2*x_3 $ e $ 1+(a-1)+(b-1)+(a-1)(b-1)=ab=n $. Abbiamo dunque trovato la nostra quadrupla e questo conclude la dimostrazione.

...e la somma diretta dei risultati di Pixel e Igor completa la soluzione del problema!!!