circonferenze.

[carro bestiame]

Una circonferenza di centro O e raggio a è tangente ai lati dell’angolo rVs nei punti A e B. Si conosca la distanza VO=2a. Condurre una retta r parallela alla corda AB tale che, indicati con H e K i punti di intersezione di r con la circonferenza e con P e T i punti di intersezione con i lati dell’angolo, risulti HK^2+PT^2=kAB^2

[HumanTorch]

Ma $ k $ rappresenta un numero intero? In questo caso direi che la parallela ad $ AB $ tangente alla circonferenza possa andare bene.

[HumanTorch]

Difatti: essendo $ VA $ e $ VB $ tangenti la circonferenza, i triangoli $ OAV $ e $ OBV $ sono rettangoli, e dato che in ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa è pari alla metà dell'ipotenusa stessa, tale mediana è pari a $ r=a $, e quindi l'angolo $ VOB=60° $.
Sia $ L $ il punto medio di $ AB $, che ovviamente giacerà su $ OV $ per il teorema delle tangenti a una circ. condotte da un punto esterno.
Ora, la parallela di prima farà si che $ k=4 $, quindi dobbiamo esaminare solo se è possibile ottenere un $ k\in\mathbb{D} $, con $ 1,2,3\in\mathbb{D} $, con tenuto conto che, tracciando una parallela distante $ t $ dal centro, $ PT=AB*\frac{t+2a}{1,5a} $ e, applicando semplice conti goniometrici, si può trovare l'angolo che ha per lati $ t $ e $ OK $ e quindi la metà di $ HK $.

[Melkon]

si, credo che il problema sia un tipico problema di secondo grado con dimostrazione, da terza liceo scientifico. Chiede cioè di determinare il numero di soluzioni per ogni k al variare di r entro i limiti posti. Adesso te lo risolvo (se ci riesco...)

[Melkon]

mmh, mi pareva di averlo già visto... matematica 1 edizione etas, pagina 671 numero 40. Carro, non è, per caso, che ci conosciamo?...
L'ho risolto a scuola, se vuoi ti posto la soluzione ma, a parte una tecnica di base che va conosciuta, sono conti e un po' di geometria analitica.