Somme potenti

[psion_metacreativo]

Stavo per proporlo nella sezione del problem solving perchè penso che sia o famoso o importante,( non so perchè ho questa sensazione potrebbe essere anche del tutto immotivata ), poi ho pensato che 10 mesi fa, prima che fossi sverginato alla matematica più maliziosa, avrei apprezzato solo l'estetica di questo problema senza capire cosa chiedesse, così per risparmiare lavoro agli infaticabili e munifici mods posto direttamente qui:

Calcolare $ \displaystyle1+\sum^{k}_{j=0}\sum^{n}_{i=1}\binom{k+1}{j}i^{j} $.

P.S. In questo topic mi sono arrangiato alla meno peggio, ma vi sarei grato se mi spiegaste come si scrive con il latex il coefficente binomiale.

Grazie 1000 Hit. (P.S. lascia questo problema almeno per mezzora prima di risolverlo...)

[HiTLeuLeR]

[...] come si scrive con il latex il coefficente binomiale.

Prova con il tag "\binom{m}{n}".

[HiTLeuLeR]

Ok, mi pare che la mezz'ora sia trascorsa già da un po'... Dunque, dunque, dunque...

Calcolare $ \displaystyle 1+\sum^{k}_{j=0}\sum^{n}_{i=0}\binom{k+1}{j}i^{j} $.

Dopo aver perfezionato qualche (!!!) conto e applicato all'occorrenza l'identità di Stiefel, si scopre che, per ogni $ n, k \in\mathbb{N} $: $ \displaystyle \sum^{k}_{j=0}\sum^{n}_{i=0}\binom{k+1}{j}i^{j} = (n+1)^{k+1} $. Fissato $ n\in\mathbb{N} $, basta procedere per induzione su $ k $.

[psion_metacreativo]

Uffa .... Ora per punizione dopo esserti inflitto 100 "località di provenienza MindFlyer" posti per punizione tutti i calcoli. ...

[psion_metacreativo]

UH UH che vedo posso riprenderti un'imprecisione:

per ogni $ n, k \in\mathbb{N} $: $ \displaystyle \sum^{k}_{j=0}\sum^{n}_{i=0}\binom{k+1}{j}i^{j} = (n+1)^{k+1} $. Fissato $ n\in\mathbb{N} $, basta procedere per induzione su $ k $.

mi spiace ma è: $ \displaystyle \sum^{k}_{j=0}\sum^{n}_{i=0}\binom{k+1}{j}i^{j} = (n+1)^{k+1}-1 $.
Dimenticanza veniale e probabilmente dovuta alla pallosità di scrivere le formule in latex ma che soddisfazione....

[HiTLeuLeR]

UH UH che vedo posso riprenderti un'imprecisione[...] mi spiace ma è: $ \displaystyle \sum^{k}_{j=0}\sum^{n}_{i=0}\binom{k+1}{j}i^{j} = (n+1)^{k+1}-1 $.

E invece t'inganni, Psion... Prendiamo la base di induzione (k=0). In tutta evidenza, qual che sia $ n\in\mathbb{N} $: $ \displaystyle\left[ \sum^{k}_{j=0}\sum^{n}_{i=0}\binom{k+1}{j}i^{j}\right]_{k=0} = $ $ \displaystyle\sum^{n}_{i=0}\binom{1}{0} i^{0} =\sum^{n}_{i=0}1 = n+1 = \left[(n+1)^{k+1}\right]_{k=0} $. Come la mettiamo?!?

[psion_metacreativo]

Hit dai oggi vuoi proprio darmi soddisfazione:

E invece t'inganni, Psion... Prendiamo la base di induzione (k=0). In tutta evidenza, qual che sia $ n\in\mathbb{N} $: $ \displaystyle\left[ \sum^{k}_{j=0}\sum^{n}_{i=0}\binom{k+1}{j}i^{j}\right]_{k=0} = $ $ \sum^{n}_{i=0}\binom{1}{0}i^{0} =\sum^{n}_{i=0}1 = n+1 = \left[(n+1)^{k+1}\right]_{k=0} $. Dunque che mi dici?!?

definiscimi cosa vuol dire $ 1\cdot0^{0} $ primo addendo della sommatoria per $ k=0 $. Ok sono stato impreciso anch'io nel formulare il testo del problema, ma era ovvio che mi riferissi di calcolare quelle somme per i termini per cui esistono e per i=0 esiste da K=1 in poi e viene 0, quindi l'indice i poteva anche partire da 1.

[HiTLeuLeR]

Ah, ecco l'equivoco! Bene, noi si assume per convenzione $ 0^0 := 1 $.

[carro bestiame]

$ 0^0 := 1 $

$ 0^0 = 1 $ non ha significato (per convenzione?) . i due punti che stanno a significare?

[psion_metacreativo]

ok quindi $ 1=0^{0}=0^{1-1}=\frac{0^{1}}{0^{1}} $ è definito, fa piacere poter finalmente dividere per $ 0 $.

[HiTLeuLeR]

E' naturale che al simbolo $ 0^0 $ non si applicano le ordinarie proprietà delle potenze, Psion! Che argomenti sofistici vai mai usando, uh?!?

[HiTLeuLeR]

D'altro canto, se al simbolo $ 0^0 $ non avessi dato un qualche significato Matematico, e qui la soluzione più conveniente mi è parsa appunto di assumere $ 0^0 := 1 $, il problema (nella sua formulazione) sarebbe risultato ben più che mal posto.

[HiTLeuLeR]

[...] i due punti che stanno a significare?

Indicano semplicemente che il simbolo a sinistra dell'uguale è definito dalla quantità posta alla sua destra.

[psion_metacreativo]

E' naturale che al simbolo $ 0^0 $ non si applicano le ordinarie proprietà delle potenze, Psion! Che argomenti sofistici vai mai usando, uh?!?

Ma stai scherzando o sei serio? Cioè vuoi veramente definire $ 0^{0} $?

[HiTLeuLeR]

Psion, non allargare gli orizzonti, mo'... Non ho mai detto di voler dare dignità assoluta al simbolo $ 0^0 $. Semplicemente ho inteso dire che, nel caso contestuale del tuo problema, assumere $ 0^0 := 1 $, e garantire quindi significato alla sua formulazione originale, ove di fatto il simbolo $ 0^0 $ fa la sua comparsa, non mi risulta per niente complicato. In caso contrario, sappi che dovresti essere tu semmai a fornire spiegazioni, non io...