SOMMATORIA

[AlessandroSfigato]

se ho una successione di numeri che parte da x e finisce in y tale che ogni numero è 1 in più del precedente ( tipo 5,6,7,8,9 dove 5 = x e 9 = y) conoscendo x e y e il numero di elementi della successione (nel caso di prima 5) come faccio a calcolare la somma dei quadrati di tutti gli elementi della successione?

[EvaristeG]

Insomma, tu vuoi calcolare
$ x^2+(x+1)^2+(x+2)^2+\ldots+(x+h-1)^2+(x+h)^2 $
per generici x,h.
(Un dubbio : stiamo parlando di numeri interi, vero? Se la risposta è no, quel che segue è inutile.)
Beh, per utilizzare il tuo esempio:
$ 5^2+6^2+7^2+8^2+9^2= \\ (1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2)-(1^2+2^2+3^2+4^2) $
Quindi, ti basta sapere come calcolare la somma dei quadrati dei numeri da 1 a n.

[Igor]

Innanzitutto se conosci x e y, il numero di elementi della successione è già determinato.

Per risolvere il tuo problema è utile la formula che restituisce le somma dei primi n quadrati:

$ \sum_{i=1}^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $

Allora

$ \sum_{i=x}^y i^2=\sum_{i=1}^y i^2-\sum_{i=1}^{x-1} i^2 $=

$ \displaystyle \frac{y(y+1)(2y+1)-x(x-1)(2x-1)}{6}\displaystyle $

[AlessandroSfigato]

come si dimostra che la somma dei quadrati dei primi n numeri è uguale a quela formula che hai detto?

[karl]

Puoi procedere per induzione semplice.La formula e' ovviamente vera
per n=1;suppostola vera per un n generico, verifica che la formula sussiste
anche per n+1 (cosa abbastanza facile:e' sufficiente sommare (n+1)^2 alla formula e verificare che l'espressione cosi' avuta coincide con quella
che si ottiene sostituendo n+1 ad n nella formula da dimostrare).
Esiste anche una dimostrazione algebrica piu' semplice da un certo punto di vista.

[mattilgale]

per induzione...
dunque....
considera 0
quella formula vale sicuramente per 0... infatti 0*1*1/6=0
che è la somma dei quadrati da 0 a 0

considera ora un intero n per cui vale la stessa formula ( che esiste sicuramente perchè, come abbiamo osservato, c'è almeno un intero per cui la formula è verificata)

quindi

$ \displaystyle\sum_{i=0}^{i=n}i^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6} $

allora

$ \displaystyle\sum_{i=0}^{i=n+1}i^2=\sum_{i=0}^{i=n}i^2 + \left(n+1\right)^2 = $

$ \displaystyle= \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6} + \left(n+1\right)^2= $

$ \displaystyle=\left(n+1\right) \frac{n\left(2n+1\right)+6\left(n+1\right)}{6}= $

$ \displaystyle=\left(n+1\right) \frac{2n^2+7n+6}{6}= $

$ \displaystyle=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(2n+3\right)}{6} $

cioè la stessa formula vale anche per la sommatoria dei quadrati da 0 a n+1

quindi sappiamo che se la sommatoria vale per n vale anche per n+1
quindi se vale per 0 vale anche per 1
se vale per 1 vale anche per 2
e così via vale per tutti i naturali

[karl]

La questione e' cosi' nota che non varrebbe la pena di discuterne ancora ma, se
avevo dubbi nel cominciare l'induzione con n=1 ( ha senso una somma con un
solo termine ?), figurariamoci con n=0 come afferma l'amico mattilgale.
Si tratta indubbiamente di dettagli ma ,come si afferma in un altro post,sono
proprio i casi particolari che fanno rovinare le migliori dimostrazioni!
Che ne pensate?

[AlessandroSfigato]

si ma.... l'induzione permette di verificare che per il caso considerato la legge non è falsa, non esiste una dimostrazione che parta dal caso generale per arrivare alla legge?

[karl]

E' meglio utilizzare con parsimonia il supporto latex : ogni formula è un'immagine e non è necessario scrivere anche il testo in latex.
EvaristeG

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La dimostrazione per induzione e' perfettamente valida ,ma se ne vuoi una
diretta (se ho capito bene) vedi questa:
$ (x + 1)^3 - x^3 = 3x^2 + 3x + 1 $
Ponendo, in successione, x = 1,2,3,......,n si ha:
$ 2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1 \\ 3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1 \\ 4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1 \\ ..................................... \\ (n + 1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3*n + 1 \\ $
Sommando membro a membro:
$ (n + 1)^3 -1^3 = 3(1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2) +3(1 + 2 + 3 + ... + n) +n $
Da cui:
$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + .... + n^2 = \frac{{n^3 + 3n^2 + 3n}}{3} - \frac{{n(n + 1)}}{2} - \frac{n}{3} $
ovvero (con qualche calcolo):
$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + .... + n^2 = \frac{{2n^3 + 3n^2 + n}}{6} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6} \\ $

[EvaristeG]

Karl, la somma di un solo termine è definita e non vedo perchè non dovrebbe, anzi, è definita anche la somma vuota che vale 0 (come il prodotto vuoto vale 1).
Cmq, mattilgale ha ragione : le sue sommatorie vanno da 0 a n, quindi nel suo caso il passo base n=0 ha senso anche senza andare a parlare di somma vuota.

[karl]

@Evariste.
Per quanto riguarda la somma ed il prodotto vuoti (.. o quasi) sara' come dici tu.
Tuttavia mi riesce difficile adattare le proprieta' di tali operazioni (ad es.
quella commutativa) ad operazioni con un sol termine o addirittura
senza. A meno di non considerare la materia in pura astrazione,cosa che
in matematica succede spesso.
Quanto al testo in LaTex ce n'e' appena un rigo [precisamente laddove
dice "ovvero (con qualche calcolo)"]:deve essermi sfuggito...

[EvaristeG]

Non vorrei trasformare questo thread in una discussione su sommatorie e produttorie, ma ti posso assicurare che non c'è alcun problema di definizione ... se poi ti ripugna considerare siffatte sommatorie o produttorie, è un altro discorso, ma dal punto di vista delle proprietà di quelle operazioni non c'è nessun problema sul definire $ \displaystyle{\sum_{i=i_0}^{i_0}x_i=x_{i_0}} $ e $ \displaystyle{\prod_{i=i_0}^{i_0}x_i=x_{i_0}} $.
Sulle sommatorie e produttorie vuote, è invece pura convenzione porle a 0 e 1 rispettivamente.
Del resto nessuno si fa problemi quando scrive 1!=1 (prod con 1 solo el) oppure 0!=1 (prod vuota).
Cmq, formalmente è pienamente corretto e funzionale l'utilizzare sommatorie con una qualsiasi cardinalità di addendi.

PS : scusa per il latex, ma le frasi erano 2 o 3, cmq non è un rimprovero, solo mi è sembrato opportuno giustificare la modifica.

PPS: se vuoi proseguire su sommatorie e produttorie, apriamo un thread in "Glossario e Teoria di Base".

[AlessandroSfigato]

no scusatemi ma spiegatemi come ha fatto karl a trovare quella soluzione! l'ha letta da qualke parte? ci ha perso 3 mesi della sua vita? è stato ispirato da un dio celeste? non riesco a capire come abbia potuto prevedere che partendo da una cosa che non centrava niente è riuscito a domistrare la forumla, boh.

[Franchifis]

Esiste un metodo abbastanza semplice per trovare la formula per sommare le potenze dei primi n numeri naturali, per poi dimostrarla per induzione. Per prima cosa ipotizzi che tale formula sia un polinomio. Poi ti calcoli le somme per alcuni n e infine risolvi un sistema per trovare i coefficienti della polinomio. (Il grado del polinomio lo puoi prendere per ipotesi uguale a m+1 se m e' la potenza dei numeri da sommare, tanto poi una volta trovata la formula la dimostri e finisce la storia)

Per esempio coi quadrati ipotizzi che la formula per la sommatoria sia un polinomio di terzo grado:

$ \displaystyle\sum_{i=0}^{i=x}i^2=ax^3+bx^2+cx+d $

Per trovare i coefficienti sostituisci nella formula i numeri 0,1,2,3 al posto di x e eguagli il polinomio rispettivamente a 0,1,5,14 che sono le corrispettive somme dei quadrati. Cosi' facendo ottieni quattro equazioni che metti a sistema e trovi i 4 coefficienti a,b,c,d.
Per finire dimostri la formula cosi' trovata per induzione.
Questo sistema puo' essere usato per trovare la formula della somma delle p-esime potenze dei primi n numeri naturali qualunque sia p!

@karl: carina quella dimostrazione, non la conoscevo!

[AlessandroSfigato]

ad esempio, però, anke il fatto che tu ipotizzi che il polinomio sia di grado m+1 ti è stato ispirato da un dio celeste