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da EvaristeG » 15 mag 2005, 15:55
Ok, nel disinteresse generale, passo al problema 3; la scelta è caduta sul sesto esercizio di cesenatico di quest'anno. Forse, a posteriori, questo è più facile del teorema della farfalla, ma mi è sembrato meglio risolverlo solo ora, per motivi che forse saranno chiari in seguito (o forse no).
Basta chiacchiere.
Problema 3 (esercizio n°6 - Gara Individuale, Cesenatico 2005)
Si considerino due circonferenze secantisi di centri A,B, di modo che il centro dell'una sia esterno all'altra e viceversa. Siano C,D i punti di secanza; si conduca una terza circonferenza per A,C,B e siano E,F le sue ulteriori intersezioni con le due circonferenze precedenti. Dimostrare che la retta CD biseca l'arco EF (non contenente C).
1) Come abbiamo già fatto nei precedenti due, cerchiamo di trovare forme equivalenti della tesi.
Chiamiamo M il punto in cui la retta CD incontra l'arco EF; la tesi dice che gli archi EM e FM sono congruenti, ovvero che i segmenti EM e MF sono congruenti, quindi possiamo riportarci al discorso svolto per il precedente problema.
Grazie al teorema degli angoli alla circonferenza, possiamo tradurre la tesi in $ \measuredangle ECM=\measuredangle MCF $ oppure $ \measuredangle EAM=\measuredangle MAF $ oppure ancora $ \measuredangle EBM=\measuredangle MBF $, sfruttando il fatto che A, B, C stanno sulla circonferenza di cui EM e MF sono corde.
Con un po' più di fantasia, si potrebbe pensare di introdurre il punto O, centro della circonferenza per C,A,B e chiedere come condizione equivalente alla tesi che $ \measuredangle EOM=\measuredangle FOM $, sfruttando stavolta il teorema degli angoli al centro (o equivalentemente quello che lega angoli al centro e alla circonferenza).
Fermiamoci un attimo a considerare quest'ultima trovata : all'apparenza non ha niente di diverso dalle precedenti, si chiede come equivalente alla tesi l'uguaglianza di due angoli che insistono sui due archi che dobbiamo provare essere uguali; in realtà ha due particolarità molto significative rispetto a quanto detto prima.
a) quest'uguaglianza è in qualche modo più generale delle altre, in quanto il centro è un punto particolare, mentre non c'è nessun motivo (se non magari di facilità di dimostrazione, ma comunque nessun motivo evidente a priori) per preferire il punto A al punto B o al punto C o a qualunque altro punto sulla circonferenza;
b) il centro O non era tra i punti dati nella costruzione, quindi possiamo aspettarci due cose : o che sia tutto più semplice considerando il centro e che quindi il testo del problema non lo menzioni appositamente, o che questo non centri nulla e quindi la soluzione che lo utilizza sia inutilmente complicata e magari affetta da problemi di configurazione.
Tanto per fare un esempio che giustifichi l'ultima affermazione : il centro della terza circonferenza è interno o esterno alle prime due ? Se ad esempio si volesse sapere se la distanza tra A e O è maggiore o minore della distanza tra A e C, per un qualche passaggio dimostrativo, saremmo costretti a fermarci, perchè si possono presentare entrambi i casi e perfino l'uguaglianza.
Quando si introducono nuovi punti o nuove costruzioni, bisogna sempre prestare attenzione all'utilizzo che se ne fa. Non si devono mai fare assunzioni non giustificate dal testo (ma magari dal disegno) sulla posizione di punti e segmenti e quant'altro, soprattutto quando non sono dati dal testo o comunque suggeriti da esso, ma sono tracciati da noi ad hoc.
Dunque, le due caratteristiche dell'ultima affermazione equivalente alla tesi sono l'utilizzo di punti in qualche modo centrali o speciali e l'introduzione di elementi estranei alla costruzione originale.
2) Vediamo ora le conseguenze immediate delle ipotesi, il nostro punto di partenza.
Notiamo che vere e proprie ipotesi non ce n'è, ma dobbiamo cercare di ricavare informazioni dal disegno.
Visto che l'abbiamo usato per modificare la tesi, sfruttiamo ancora il teorema sugli angoli che insistono su archi uguali :
$ \measuredangle EAM=\measuredangle ECM=\measuredangle EBM=\measuredangle EFM=\frac{1}{2}\measuredangle EOM $
$ \measuredangle FAM=\measuredangle FCM=\measuredangle FBM=\measuredangle FEM=\frac{1}{2}\measuredangle FOM $
$ \measuredangle CAD=2\measuredangle CED $
$ \measuredangle CBD=2\measuredangle CFD $
e così via ... perdonatemi se non scrivo tutto, ma, almeno in questo caso, è molto meglio fare un po' di disegni che non scrivere, quindi segnate diligentemente sul vostro foglio tutti gli angoli uguali.
3) Ora, come nel precedente problema, ricordiamo che i centri giocano spesso un ruolo ... "centrale" ... nelle costruzioni : ad esempio, date due circonferenze secantisi, esse sono simmetriche rispetto alla retta che congiunge i due centri; nel nostro caso, ad esempio, la circonferenza con centro in A e la circonferenza con centro in O sono simmetriche rispetto alla retta OA. Sotto tale simmetria, i punti comuni si scambiano, quindi E va in C e viceversa, ma nel nostro caso il centro dell'una (A) giace sull'altra e quindi è anche il punto medio dell'arco EC.
Come sottolineato prima, da simmetria viene simmetria e da un centro siamo passati ad un punto medio.
Similmente, B è il punto medio dell'arco CF.
Tutto questo segue dalle ipotesi senza particolare sforzo, se non forse un poco di attenzione al voler ricavare dai centri tutto quel che si può.
Ho separato quest'ultima deduzione dalle precedenti in quanto è un po' meno immediata e non è una semplice lettura delle ipotesi; in qualche modo così scegliamo già la strada per risolvere il problema.
A questo punto, resta solo da combinare tutto :
se A è il punto medio dell'arco EC, allora $ \measuredangle EBA=\measuredangle ABC=\measuredangle EFA=\measuredangle AFC=\measuredangle EMA=\measuredangle AMC $
e similmente per l'arco FC bisecato da B.
4) Ora, viene in aiuto l'aver fatto bene il disegno : a questo punto avrete tracciato almeno alcuni dei lati di questi angoli, tipo i segmenti EB, EF, FA, FC, MA, MC (riporto solo quelli che, plausibilmente, non erano già stati tracciati in precedenza). Se poi si rifà il giochino per gli equivalenti sugli archi CB e BF, si arriverà a notare che le rette FA e EB si incontrano in un punto pericolosamente vicino al punto D.
Quando qualcosa sembra vero nei disegni, prima di cercare di dimostrarlo bisogna cercare di dimostrare la testi assumendolo per vero; se questa dimostrazione non presenta difficoltà, si può tentare di dimostrare la verità suggerita dal disegno. Non bisogna mai buttarsi a capofitto nel verificare tutte le relazioni suggerite dal disegno; a volte ve ne saranno di vere e interessanti ma inutili per la dimostrazione. Del resto, non bisogna mai dimenticarsi che spesso l'evidenza dal disegno non ha un corrispettivo nella facilità di dimostrazione.
Pausa meditativa : se così fosse, saprei risolvere il problema ??
Vediamo un po' ... se FA e EB concorrono in D, D è l'incentro del triangolo EFC; quindi la retta CD è bisettrice dell'angolo $ \measuredangle ECF $ e quindi biseca l'arco EF.
So che quest'ultimo passaggio sembra una affermazione calata dal cielo ("E chi ci pensa agli incentri??!!"), ma è indispensabile, nell'affrontare problemi di geometria di un certo livello, essere pronti a buttare nella dimostrazione tutte le proprie conoscenze, evitando di ragionare per settori e lasciandosi aperte tutte le strade.
A questo punto possiamo con tranquillità lanciarci nel tenativo di dimostrare che EB e FA si incontrano in D, ovvero che E,B,D e F,A,D sono allineati.
5) Possiamo usare le stesse relazioni tra gli angoli i cui disegni ci hanno portati a supporre l'allineamento : noi sappiamo che $ \measuredangle CAB=\measuredangle BAF $, ci basterebbe sapere che anche l'angolo DAB è uguale ai precedenti; richiamando gli argomenti precedenti sulla simmetria di due circonferenze secantisi, ricordiamo che i punti C e D vengono mandati l'uno nell'altro dalla simmetria rispetto alla retta AB e quindi $ \measuredangle CAB=\measuredangle DAB $. Quindi abbiamo finito, poichè sappiamo che D sta tra E e B, se è allineato. Similmente si dimostra l'allineamento con A e F.
Piccola nota sull'alllineamento e la concorrenza
Per dimostrare che tre rette concorrono in un punto ci sono varie vie, tra cui il riconoscere una construzione notevole (ad es. l'incentro di un triangolo o i tre assi radiali di tre circonferenze a due a due secanti o simili) oppure il dimostrare l'allineamento tra gli estremi di due segmenti e un punto del terzo. Abbiamo usato entrambe le tecniche.
Altre possibilità sono il Teorema di Ceva per i triangoli oppure la classica (ma lunga) strada delle distanze : si prendono la prima e la seconda retta e si chiama X il loro punto di intersezione, si prendono la seconda e la terza e si chiama Y il loro punto di di ntersezione e poi si dimostra che la distanza tra X e Y è 0.
Ancora, lo si può dimostrare con gli angoli, in vario modo, ad esempio mostrando che le rette a,b incontrano la retta c formando lo stesso angolo dallo stesso lato della retta c e si incontrano a loro volta.
6) Ma torniamo a noi : ora non resta che scrivere la soluzione in forma decente.
Per simmetria $ \measuredangle CAB=\measuredangle DAB $ e $ CB=BF $ (come archi e come corde).
Quindi $ \measuredangle CAB=\measuredangle BAF $ perchè insistono su archi uguali.
Da ciò $ \measuredangle BAF=\measuredangle BAD $ e quindi A,D,F sono allineati.
Con simile ragionamento si ottiene che E,D,B sono allineati.
Ora, poichè CB=BF e CA=AE (come archi), i segmenti AF e BE sono bisettrici nel triangolo EFC. Quindi D ne è l'incentro e CM è la terza bisettrice e dunque $ \measuredangle ECM=\measuredangle MCF $ da cui M biseca l'arco EF.
Esercizio 3
Vi sarete chiesti cosa centrava in tutto questo il punto O su cui ho insistito tanto : ebbene, esso è la fonte di una soluzione un po' meno calata dall'alto.
Sia OT il raggio perpendicolare alla corda AB. Chiamate $ \alpha=\measuredangle AOT $ e ponete $ \beta=\measuredangle BOC $.
Provate a ridimostrare il problema 3 partendo da qui e dunque "algebrizzando" il problema (ovviamente in maniera soft : niente trigonometria o geometria analitica). Le sole variabili che vi servono ve le ho definite, ora usatele per concludere che M biseca l'arco EF.
Dunque, alcuni nuovi teoremi che abbiamo utilizzato.
Teorema degli angoli al centro e alla circonferenza
L'angolo sotto cui il centro di una circonferenza vede un arco è due volte l'angolo sotto cui questo viene visto dai punti sulla circonferenza (nel semipiano delimitato dalla corda in cui sta anche il centro).
Varie ed eventuali sulle circonferenze
*) Il punto medio di un arco è l'estremo del raggio perpendicolare alla corda che sottende l'arco.
*) La congiungente i centri di due circonferenze secanti è asse della corda comune.
Esistenza dell'incentro
Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo concorrono in un punto chiamato incentro.
(Lo sapete dimostrare utilizzando gli angoli e non la definizione di bisettrice con la distanza dai lati?).
Ecco fatto.
La prossima volta tocca ad un problema delle IMO!
Vorrei però sapere se sto parlando al vento o c'è qualcuno a cui tutto ciò interessa; non solo perchè voglio un pubblico, ma soprattutto perchè vorrei sapere se sono chiaro, troppo pedante, troppo poco pedante, mancano dettagli, non se ne può più dei dettagli, sorvolo su cose che ritenete importanti, insomma, i due che leggono questi post, almeno li capiscono ?
