Problema
Dato $ n\in\mathbb{N},n>2 $ e preso un generico triangolo stacchiamo sui lati di esso segmenti tali che $ \displaystyle \frac{AB}{AP}=\frac{BC}{BM}=\frac{CA}{CN}=n $. Siano ora $ A',B',C' $ le intersezioni delle rette $ BN,AM,CP $. Provare che $ \displaystyle \frac{S(ABC)}{S(A'B'C')}=f(n) $ per ogni triangolo e ogni $ n $, determinare inoltre quanto vale $ f(n) $.
Con $ S(ABC) $ si denota l'area del triangolo $ ABC $
Ancora variazioni sul tema delle aree
Si puo' seguire un procedimento simile a quello (fisico-matematico) da me
adoperato nel post "A proposito di aree".
Seguendo le medesime notazioni di quel post,metto la massa 1 in C, la massa
(n-1) in B e la massa (n-1)^2 in A, dopodiche' si puo' concludere che il
baricentro di queste tre masse e' in X.Con calcoli del tutti simili a quelli
fatti nel medesimo post ottengo che
$ [ABC]=\frac{n^2-n+1}{(n-2)^2}[XYZ] $ e quindi :
$ f(n)=\frac{n^2-n+1}{(n-2)^2} $
Ovviamente f(n) perde significato per n=2 dal momento che
per tale valore il triangolo XYZ si riduce al baricentro di ABC ed ha quindi
area nulla.
P.S. Ritengo sovrabbondante (anche se probabilmente si puo' fare) dimostrare che il rapporto richiesto dipende solo da n e successivamente calcolarlo.
adoperato nel post "A proposito di aree".
Seguendo le medesime notazioni di quel post,metto la massa 1 in C, la massa
(n-1) in B e la massa (n-1)^2 in A, dopodiche' si puo' concludere che il
baricentro di queste tre masse e' in X.Con calcoli del tutti simili a quelli
fatti nel medesimo post ottengo che
$ [ABC]=\frac{n^2-n+1}{(n-2)^2}[XYZ] $ e quindi :
$ f(n)=\frac{n^2-n+1}{(n-2)^2} $
Ovviamente f(n) perde significato per n=2 dal momento che
per tale valore il triangolo XYZ si riduce al baricentro di ABC ed ha quindi
area nulla.
P.S. Ritengo sovrabbondante (anche se probabilmente si puo' fare) dimostrare che il rapporto richiesto dipende solo da n e successivamente calcolarlo.