Semplice (?) problema di probablità

[enzo87]

In un'università gli esami si svolgono in questo modo: il professore pone allo studente una domanda la cui risposta può essere solo "Vero" o "Falso". Se lo studente risponde esattamente, ha superato l'esame, altrimenti no. Tre amici decidono di presentarsi all'appello completamente impreparati, provando a rispondere a caso; quelli che non passeranno torneranno al prossimo appello a ritentare la sorte, e così via.
Determinare la probabilità che almeno uno dei tre amici debba presentarsi al quarto appello.

Questo problema mi sembrava semplice, anche per la mia inesperienza, ma la mia risposta 3/8 è sbagliata. Mi potreste spiegare il procedimento corretto? grazie

[phi]

E' possibile che la risposta sia 169/512, cioè 0,33 e qualcosa? Così di primo acchito mi verrebbe questo, ma non ci posso giurare...

[MindFlyer]

Ciau Enzo, e benvenuto nel forum.
Come avrai letto nel regolamento, è un'ottima abitudine indicare la fonte dei problemi che si propongono. Il problema che hai citato proviene dall'ultima Coppa Fermat di Genova, e l'autore è Massimo Gobbino.

Il problema si può risolvere in molti modi diversi...
Ma prima di regalarti un metodo giusto, preferisco vedere cos'hai pensato per rispondere 3/8. A te la parola.

[Igor]

Innanzitutto la probabilità che uno dei tre amici non passi neanche al terzo turno è
1/4, e non 1/8.Infatti i casi che si possono presentare sono:

passa
non passa-passa
non passa-non passa-passa
non passa-non passa-non passa.

Indichiamo con P(A),P(B),P(C) le probabilità di ognuno dei tre amici di presentarsi al quarto appello.Abbiamo quindi che:
P(A)=P(B)=P(C)=1/4

Per trovare la probabilità che almeno uno debba presentarsi al quarto appello si
usa il teorema della probabilità totale:

$ p(A\cup B)=p(A)+p(b)-p(A\cap B) $

Troviamo prima $ p(A\cup B)=1/4+1/4-1/4*1/4=7/16 $

Ora possiamo trovare

$ P\left((A\cup B)\cup C\right)=7/16+1/4-1/4*7/16=\frac{37}{64} $
che è la probabilità cercata.

Ooops, non avevo visto il tuo messagio Mind,sorry

[Singollo]

Innanzitutto la probabilità che uno dei tre amici non passi neanche al terzo turno è 1/4, e non 1/8.

A me sinceramente sembra che sia $ 1/8 $.
Comunque questo è quello che mi viene:

$ 1/8*1*1 + 7/8*1/8*1 + 7/8*7/8*1/8 = 169/512 $

Se la probabilità che uno dei tre amici arrivi al quarto appello fosse $ 1/4 $ mi verrebbe $ 37/64 $, ma non vedo proprio perchè debba essere $ 1/4 $...

Suggerimento x enzo87: sono l'ultima persona del forum che dovrebbe dare consigli, ma hai provato a considerare la probabilità che cerchi come complementare?

[Azarus]

Uh, il nostro problema jolly!

[phi]

A me sinceramente sembra che sia 1/8.

A dir la verità sembra anche a me: è vero che le situazioni che possono verificarsi sono quattro, ma dire che hanno tutte probabilità uguale è praticamente dire che lo studente ha 1/4 di prob. di azzeccare la risposta al primo appello e 3/4 di sbagliarla... un po' strano, no?
Secondo me le varie possibilità sono:
passa P=1/2
non passa-passa P=1/4
non passa-non passa-passa P=1/8
non passa-non passa-non passa P=1/8
Per cui il mio risultato era quello di Singollo (169/512).

[Igor]

Si, avete assolutamente ragione ragazzi, ho scritto una castroneria .La probabilità cercata è 169/512.
Mi scuso con Enzo per avergli postato una soluzione sbagliata.

[enzo87]

Come avrai letto nel regolamento, è un'ottima abitudine indicare la fonte dei problemi che si propongono. Il problema che hai citato proviene dall'ultima Coppa Fermat di Genova, e l'autore è Massimo Gobbino.

Scusa Mind.. non lo sapevo.. comunque ho partecipato alla coppa ed era il nostro problema jolly, ci abbiamo perso un centinaio di punti.

Io avevo trovato che la probabilità di ogni studente di doversi presentare al quarto appello era 1/8, ma non conoscendo il teorema della probabilità totale mi ero limitato a sommare le tre probabilità.

[hexen]

mia soluzione, ho pensato di stabilire degli eventi in modo da permettere una più intuitiva traduzione in calcoli.

$ $$S_n$$ $ l'evento "Lo studente S venga bocciato all'n-esimo appello"

Per presentarsi al quarto appello è necessario essere segati ai primi 3 quindi
L'evento di cui è richiesta la probabilità è (siano A B e C gli studenti)

$ $$X = (A \cap B \cap C) \cup (\overline A \cap B \cap C) \cup (A \cap \overline B \cap C) \cup (A \cap B \cap \overline C)$$ $ $ $$\cup (\overline{A \cap B} \cap C) \cup (A \cap \overline{B \cap C}) \cup (\overline A \cap B \cap \overline C)$$ $

che tradotto in calcoli dà l'espressione numerica scritta da Singollo

quindi anche a me viene $ $p(X) = \frac{169}{512}$ $

ps: la scrittura $ $$ \overline{B \cap C} $$ $ è puramente per pigrizia

[Singollo]

Io avevo trovato che la probabilità di ogni studente di doversi presentare al quarto appello era 1/8, ma non conoscendo il teorema della probabilità totale mi ero limitato a sommare le tre probabilità.

E' più che sufficente conoscere la definizione di probabilità:
$ P = f/t $
dove f è il numero di casi favorevoli, e t il numero di casi totali. Definito con s il numero dei casi sfavorevoli, abbiamo che $ t = f + s $, da cui $ f = t - s $. Perciò:
$ P = t/t - s/t = 1 - s/t $
dove $ s/t $, essendo il rapporto tra il numero di casi sfavorevoli e il numero di casi totali, rappresenta la probabilità che nessuno dei tre studenti arrivi al quarto appello.
Poichè la probabilità che uno studente debba presentarsi al quarto appello è $ 1/8 $, la probabilità che non lo debba fare è $ 7/8 $, perciò $ s/t = 7/8*7/8*7/8 $, quindi $ P = 1 - 343/512 = 169/512. $

[hexen]

infatti, quello usando la probabilità contraria è il procedimento più veloce, io non l'ho usato perché ho visto che mi veniva maggiore di 1 impicciandomi come spesso mi accade