Sulla funzione dei numeri primi

[HiTLeuLeR]

Problema #1: provare che non esistono due polinomi $ P(\cdot), Q(\cdot) $ di una stessa variabile a coefficienti reali (o più generalmente complessi) tali che, per ogni $ x\in\mathbb{N}_0 $: $ \pi(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} $, ove $ \pi(\cdot) $ denota (come di norma) la funzione dei numeri primi (click per maggiori informazioni).

Siccome ai più smaliziati verrà subito in mente di ricorrere al teorema dei numeri primi, magari per sboroneggiarsi un po', beh... gli suggerirei di scordarselo pure!!! Quel che chiedo è una dimostrazione assolutamente olimpica, e non dico elementare perché forse con un po' di Analisi ci si potrebbe comunque arrivare. Sia ben inteso: personalmente accetterei di buon grado ogni tipo di $ proof $ (io ne ho trovati appunto due), ma non so come o dove la piglierebbero i mods, gh...

[Simo_the_wolf]

Ma i polinomi possono avere infinito di grado?

[HiTLeuLeR]

No, Simo, non sarebbero polinomi...

[info]

Non sò... provando a mente pare funzionare... forse una sol potrebbe basarsi sul fatto che esistono serie di numeri composti lunghe a piacere (si dimostra portando degli esempi) di modo che p(x) resta costante... si applica quindi il principio di identità dei polinomi... ma pare troppo facile: avrò fatto qualche errore (come al solito )...

[HiTLeuLeR]

Direi che info è proprio sulla buona strada. Soltanto, adesso, mi piacerebbe vedere i dettagli... E che siano possibilmente farciti col dovuto rigore, GRAZIE!!!

[Pixel]

Mmmm proviamo...

Allora supponiamo per assurdo che tali polinomi esistano, sia m=ded(P(x)) e n=deg(Q(x)) (deg è il grado del polinomio).
Consideriamo una succesione di interi, positivi composti, lunga h=max(m,n)+1, sia $ a_i $ con $ i=1..h+1 $ tale sequenza(gli $ a_i $ non devono annullare Q(x)).
Ora $ \pi(a_1)=\pi(a_2)=...=\pi(a_{h+1})=c $ con c naturale.
Sia $ T(x)=P(x)-cQ(x) $, T(x) è chiaramente ancora un polinomio di grado h, dunque per il teorema di Ruffini ha al più h radici.
Dalle ipotesi fatte e calcolando T su tutti gli $ a_i $, avremmo che T ha h+1 radici, assurdo.

Boh...probabilmente è una boiata....fatemi sapere.

Ciao[/tex]

[HiTLeuLeR]

Dunque, dunque... Carillimo Pixel, il tuo proof è sostanzialmente corretto, ma ci sono parecchie sbavature et aliquammulta tacita di cui - naturalmente - intendo chiederti...

[...] supponiamo per assurdo che tali polinomi esistano, sia m=ded(P(x)) e n=deg(Q(x)) [...]

Correggi innanzitutto, te ne prego, quel disdicevole errore di battitura...

Consideriamo una succesione di interi, positivi composti, lunga h=max(m,n)+1, sia $ a_i $ con $ i=1..h+1 $ tale sequenza (gli $ a_i $ non devono annullare Q(x)).

Per quanto sia fatto banale, vorrei appunto mi provassi ch'esiste almeno una sequenza di $ h $ interi positivi composti e consecutivi (sai che ti sto risparmiando dalla gogna, vero?! ), nominalmente identificati con $ a_1, a_2, \ldots, a_h $, tali che: $ Q(a_i) \neq 0 $, per ogni $ i = 1, 2, \ldots, h $. Sia ben chiaro: tutto ciò non sarebbe (in verità) strettamente necessario, ma siccome mi sto attenendo ai tuoi argomenti...

Sia $ T(x) = P(x) - cQ(x) $, T(x) è chiaramente ancora un polinomio di grado h, dunque per il teorema di Ruffini ha al più h radici.

Ok, ne ho la prova: ti fai le pere!? Senti, eh... Il polinomio $ T(\cdot) $ da te definito possiede grado pari ad $ h-1 $, sai? E inoltre ti ricordo che, per applicare il teorema di Ruffini, o se preferisci il teorema fondamentale dell'Algebra (onore a Gauss!!!), dovresti preventivamente mostrarmi che $ h - 1 $ ha da essere necessariamente positivo...

Ora, fosse stato Bollazzo, ci avremmo riso su un pochettino e sarebbe finito tutto lì... Ma da parte di un aspirante Matematico tutta questa leggerezza non può essere proprio tollerata...

[Simo_the_wolf]

Direi che per avere n interi consecutivi consecutivi possiamo prendere la sequenza $ a_k=(n+1)!+k+1 $ con $ k $ che va da $ 1 $ a $ n $

[HiTLeuLeR]

...direi che proprio non t'inganni, Simo...