karl_returns

[info]

Era una bella domenica mattina... non avendo granchè da fare dò un'occhiata al forum. solo un problema mi attira, quello dal testo più semplice... (chi vuole dia un'occhiata al forum teoria dei numeri, è quello dei primi terminanti con 9).... dopo avere finito le idee ed avere smontato i miei vari tentativi (Hitleuler, aiuto!) mi distacco dai numeri, offeso, e cerco di rilassarmi con un pò di geometria, riprendendo un vecchio esercizio postato da karl rimasto insoluto...
mi pare simpatico... credo di avere trovato 2 sol (forse!), una vettorial-analitica-calcolosa (putroppo i vettori li sò utilizzare poco) ed una euclidea... vediamo cosa trovate voi!

PROB: date 3 circonferenze nel piano, ogni coppia di circonferenze definisce un punto dato dall'intersezione delle tangenti comuni (raggi diversi quindi)... (si prenda quello esterno al segmento congiungente i centri) dimostrare che i 3 punti sono allineati. [magari date un'occhiata all'ottimo disegno di karl nel vecchio forum, mi pare ce ne fosse uno bello!]

ciaooo... spero che il testo sia corretto...

ps: ogni tipo di sol (anche proiettiva) è ben accetto...

[MindFlyer]

Consideriamo 3 sfere (di raggi diversi), il piano alfa passante per i centri, ed un piano beta tangente a tutte e 3 le sfere. Ogni coppia di sfere definisce una superficie conica, data dal cono tangente ad entrambe le sfere. I 3 vertici dei coni si trovano tutti sulla retta di intersezione tra alfa e beta.

Restringendoci al piano alfa, abbiamo quindi esattamente la tesi del problema.

[info]

bello bello... ora non fatevi intimorire dalla bellezza di questa sol e postatene pure altre, anche le + assurde!

solo Mind cerca di spiegare bene tutti i passaggi logici (forse dovrei stare zitto dato che sono solito " buttare le idee" e basta )...lo sò che sono abbastanza evidenti.. lo dico per gli utenti più giovani e per esperienza personale: solo ieri ho capito la sol di un problema di teoria dei numeri postata anni fà da Jack202! Stavo riordinando la scrivania!

[MindFlyer]

Se qualcuno non ha capito qualcosa della soluzione, lo invito a farsi avanti.

[fph]

Se qualcuno non ha capito qualcosa della soluzione, lo invito a farsi avanti.

Io, io!

[dimpim]

Credo di aver trovato il topic originale del problema... metto qui un link, perché mi sembra che la figura sia molto d'aiuto.
Il problema in questione è in fondo alla pagina.

[Simo_the_wolf]

Chiamiamo $ C_1,C_2,C_3 $ i centri delle tre circonferenze, e $ r_1,r_2,r_3 $ i loro rispettivi raggi, rispettando il fatto che $ r_1 > r_2 >r_3 $
Diciamo che i punti di incontro li chiamiamo $ P_{12},P_{13},P_{23} $. Ora facciamo un'affinità in modo che i centri finiscano in $ C_1'(0,0), C_2'(1,0),C_3'(0,1) $ e lo possiamo fare perchè non erano allineati. Ora l'affinità conserva le proporzioni all'interno dei segmenti. Noi sappiamo che $ \frac {C_1C_2}{C_1P_{12}}=\frac {r_1-r_2}{r_1} $ e similia. Avremo che $ P_{12}'(\frac {r_1}{r_1-r_2},0), P_{13}'(0,\frac {r_1}{r_1-r_3}),P_{23}'(\frac{r_2}{r_3-r_2}+1,\frac{r_2}{r_3-r_2}) $. Ora non ci resta da verificare che questi tre punti siano allineati cioè che valga:

$ \displaystyle \frac{\frac{r_1}{r_1-r_2}-0}{\frac{r_1}{r_1-r_2}-\frac{r_2}{r_3-r_2}-1}=\frac{0-\frac{r_1}{r_1-r_3}}{0-\frac{r_1}{r_1-r_3}} $.

Essendo questo vero abbiamo concluso. So che questa soluzione è un po' bruttina ma quando un problema di geometria non viene un po' di brute force analitica smonta tutto (di solito) .

[info]

Grande, Simo! Hai capito pienamente lo spirito! Prob "qualcuno" imparerà qualcosa dalla tua sol... A proposito, salutami l'Aquila dato che sei là vicino

Scrivo anche una delle mie, la meno calcolosa delle 2, ma anche quella che è più probabilmente affetta da errori :

Chiamo O,O1,O2 i centri delle circonferenze K,K1,K2 di raggio r,r1,r2. B il punto d'intersezione delle tangenti comuni a K e K1, C quello delle tangenti di K e K2 ed infine A quello relativo alle circonferenze K1 e K2. Nel mio disegno è r>r2>r1 (scusate il casino!)...

Per note proprietà questi insiemi di 3 punti sono allineati: O,O1,B; O,O2,C; O1,O2,A.
Traccio il segmento AB. Esso incontra in C1 la parallela ad OO1 passante per O2. Per costruzione A,B,C1 sono allineati. Per il momento supponiamo che C non giacia su questa retta.
Per talete:

r/OC=r2/O2C
r/OB=r1/O1B
r2/O2A=r1/O1A

combinando le tre proporzioni sopra:

OB/OC= (O1B*O2A)/(O2C*O1A)

che riscritta così:

OB/OC= [(O1B*O2A)/(O1A)]/O2C

mette in evidenza che se la parte tra parentesi quadrata è pari a O2C1 allora è verificata la collinearità per l'inverso del teorema di Talete... si deve verificare che:

(O1B*O2A)/(O1A)=O2C1

riscriviamo come

O1A/O1B=O2A/O2C1

ma questa equazione è verificata per costruzione (e sempre per Talete)... permettendoci di concludere... o no? spero di non avere fatto ragionamenti "circolari"...

[karl]

Propongo anche la mia soluzione.
Indicando i punti di contatto della tangenti con le 3 circ. cosi' come in figura
( un po' pasticciata,spero si capisca) ,dalla similitudine della 3 coppie di triangoli
(ARD,EBR),(LPB,MCP) e (QAH,CKQ) [naturalmente ora i punti P,Q ed R
non sono (ancora) allineati ma sono solo i punti d'intersezione delle 3 coppie
di tangenti comuni] si ricava:
AR/RB=AD/BE;BP/PC=BL/CM;QC/AQ=CK/AH e moltiplicando m.a.m.:
(AR/RB).(BP/PC).(QC/AQ)=(AD/BE).(BL/CM).(CK/AH).
Ma:
AD=AH,BE=BL,CK=CM e quindi:(AR/RB).(BP/PC).(QC/AQ)=1.
Pertanto,per il reciproco del teorema di Menelao,i punti P,Q,R sono collineari.