0 un numero composto?

[Franchifis]

[La discussione era interessante, poi il thread è degenerato, tant'è che i mods lo hanno chiuso. La discussione la trovate nella Birreria, ma non è particolarmente edificante. Tento di riaprire il thread con riserva di intervenire se i toni si dovessero scaldare nuovamente. M.
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Tutti in numeri interi hanno una scomposizione in fattori primi che e' unica, ma lo zero? Come lo tratto in quei problemi che chiedono per esempio "dati due numeri interi tali che gcd(a,b)=1 etc. etc."? Lo ignoro? E a proposito, quanto fa gcd(0,n)? In teoria farebbe n giusto? Se cosi' fosse gcd(0,n)=1 sse n=1... vabbe', cercate di fare un po' di ordine in questo macello di roba che ho scritto...

[MindFlyer]

Definizione: a divide b se e solo se esiste c intero tale che ac=b.

Lemma 1: i divisori di un intero positivo n sono minori o uguali di n.
Dimostrazione: se a divide n, esiste c intero tale che ac=n. c non può essere 0, quindi dev'essere >=1. Dunque a = n/c <= n.

Lemma 2: ogni intero divide sé stesso.
Dimostrazione: dato n intero, si ponga a=b=n, c=1 nella definizione di divisibilità.

Lemma 3: ogni intero divide 0.
Dimostrazione: dato n intero, si ponga a=n, b=c=0 nella definizione di divisibilità.

Teorema: il massimo comun divisore tra 0 ed un intero positivo n è n.
Dimostrazione: per il Lemma 1, ogni divisore di n è <=n. Per il Lemma 2, n divide n. Per il Lemma 3, n divide 0. Quindi il massimo comun divisore di 0 e n è n.

[HiTLeuLeR]

Tutti in numeri interi hanno una scomposizione in fattori primi che e' unica, ma lo zero?

Ehmmm... Ma chi te le racconta queste favole? Bah, prova a cliccare qui e poi qui e ancora qui: chissà che non ti si schiariscano un po' le idee...

[pps]

Ehem... scusate se interrompo il vostro dibattito, ma perché non è vero che tutti in numeri interi hanno una scomposizione in fattori primi che e' unica? Vi riferite forse al fatto che anche i numeri negativi possono essere primi?


P.S. Potrei avere una risposta educata e non strafottente del tipo "chi te le racconta queste favole"? Dopotutto far pesare l'ignoranza di una persona è una delle cose più spregevoli che si possano fare ed è un'umiliazione per i più giovani.

[HiTLeuLeR]

Hai già provato coi link suggeriti a Franchifis, pps? Per ragioni di buon senso, non credo sia il caso di ripetere $ n $ volte gli stessi discorsi...

EDIT: vuolsi così colà...

[Singollo]

Ti spiego perchè "penso" che l'asserto "Tutti i numeri interi hanno un unica scomposizione in fattori primi" sia falso:

Innanzitutto, tra gli interi figura lo 0, che è divisibile per qualunque altro intero, e non è divisibile per se stesso, perciò ritengo non possa considerarsi primo.

Dopodichè, c'è sempre lo 1, che non si considera, per quel che ne sappia, primo, ed ovviamente non è scomponibile in fattori primi.

Poi, affinchè tutti gli interi (escluso lo 0) possano avere una scomposizione in numeri primi è necessario che, dato p>0 primo, anche -p si consideri primo, poichè un numero negativo non pùo ovviamente essere il prodotto di fattori tutti positivi.
Questo però implicherebbe la falsità dell'unicità della scomposizione: infatti dato i = p*q, con p e q primi, esso potrebbe essere espresso come prodotto di numeri primi diversi, ossia i = (-p)(-q).

Morale della favola: non so se gli opposti dei primi positivi possano anch'essi esser considerati primi, ma il ragionamento appena fatto, se corretto, dimostra che l'asserto su citato è difatti errato.

Spero di essere stato esaustivo.

[Marco]

Ciao.

La questione della definizione di numero primo è un tema che ogni tanto ricompare. La risposta "vera" è che ci sono motivi suggeriti dall'Algebra per cui è bene definire la scomposizione in fattori dei numeri diversi da zero. I restanti numeri sono divisi in tre grandi famiglie: i numeri invertibili (+1 e -1), i numeri primi e il resto del mondo (che sono i numeri composti). Dato che la discussione è affrontata nel dettaglio nei links siggeriti da Hit, se ve la sentite, trovate colà maggiori infos.

L'unica cosa è che, a rigore, i primi negativi (-2, -3, -5, ecc...) sono numeri primi a tutti gli effetti; la scomposizione in fattori è sempre considerata a prescindere da segni. Ad esempio: 18 = 2.3.3 = (-2).3.(-3) non sono considerate due scomposizioni diverse, dato che differiscono solo per i segni. Con queste convenzioni, per pura e semplice comodità, le definizioni di primo e composto si danno anche per i numeri naturali positivi (che sono quelle ingenue che tutti conosciamo).

Quando si parla di divisibilità, si sceglie la definizione di Mind, e quindi 0 è logicamente multiplo di tutti i numeri. Avendo un'infinità di divisori, è quanto di più distante ci possa essere da un numero primo (e così abbiamo risposto ancora una volta al quesito iniziale).

Per controbattere all'intervento di Hit che ha scatenato un putiferio (e qui tiro le orecchie pubblicamente a Mind, che da mod, non avrebbe dovuto gettare benzina sul fuoco), dico che normalmente si considera 0 divisore di 0 (in Teoria dei Numeri, almeno; in Analisi, probabilmente no...); dato però che è un caso così anomalo e singolare, talora le definizioni sono date in modo che il caso 0 sia esplicitamente escluso. Personalmente preferisco la prima, ma non mi scandalizzo se vedo la seconda (l'importante è che poi i ragionamenti siano condotti correttamente anche per il caso 0).

Infine, per precisare un'affermazione di Singollo, il teorema di fattorizzazione vale anche per "1".

Per la precisione 1 è il prodotto di zero numeri primi (un prodotto vuoto). E' l'unico numero con scomposizione con zero fattori e, chiaramente, è l'unica sua scomposizione, quindi il T.F.U. è salvo. "0" invece va escluso, come Singollo giustamente fa notare.

M.

[Franchifis]

Wow, non ho potuto accedere ad internet per un po' di tempo e ora trovo il che il thread e' degenerato. Mi dispiace di aver fatto la domanda sbagliata, avevo solo bisogno di alcune puntualizzazioni per i problemi olimpici, e apprezzo le risposte di Mind, Euler e gli altri.
Solo che e' strano che invece di prendervela con me per l'ignoranza vi insultate a vicenda, in fondo era solo un post sulla scomposizione dei numeri, nulla di piu'.
Comunque ecco quello che ho capito:

Tutti gli interi tranne lo 0 e 1 e -1 si scompongono. 1 e -1 sono pero' invertibili.
gdc(0,n) = n, per ogni n intero positivo.
gdc(0,0) non ha alcun senso.

[MindFlyer]

gdc(0,0) non ha alcun senso.

Ha un senso, ma non esiste.
Ovvero, l'insieme dei divisori comuni di 0 e 0 non è superiormente limitato, quindi non ha massimo.

[HiTLeuLeR]

gdc(0,0) non ha alcun senso.

E così, una volta ancora, mi trovo costretto a dissentire con le sentenze di MindFlyer... Non me ne voglia a male l'anzidetto!!! In verità, sussistono infatti ragioni algebriche ben precise che suggeriscono di assumere $ \gcd(0, 0, \ldots, 0) := 0 $. Mai sentito parlare delle identità di Mignosi?!? Ebbene, esistono delle particolari strutture algebriche del tipo $ (\mathbb{Z}, +, \cdot) $, ove le operazioni indicate (è il caso di sottolinearlo!?) non vogliono assolutamente indicare la somma e il prodotto ordinari sugli interi, tali che "$ + $" sia distributiva su "$ \cdot $" e "$ \cdot $" sia distributiva su "$ + $", e non soltanto... Come?!? Vi state chiedendo cosa ciuffolo ci abbiano a pigliare le identità di Mignosi e il simbolo $ \gcd(0, 0, \ldots, 0) $ con tutto questo simpatico discorso? Beh, perché non provate a scoprirlo da voi...?

EDIT: chissà a cosa pensavo...

[HiTLeuLeR]

Per controbattere all'intervento di Hit [...], dico che normalmente si considera 0 divisore di 0 (in Teoria dei Numeri, almeno; in Analisi, probabilmente no...); dato però che è un caso così anomalo e singolare, talora le definizioni sono date in modo che il caso 0 sia esplicitamente escluso.

Vada pure il discorso sulla singolarità del caso, ma... comunque sono perplesso! Credimi, è la prima volta che sento parlare della possibilità di accettare che sia operabile la divisione intera di zero per se stesso. D'altro canto, la divisione dello zero per lo zero mancherebbe di soddisfare la condizione di unicità postulata dal teorema del quoziente, il che imporrebbe comunque di escludere esplicitamente questo caso dall'enunciazione del medesimo. Alla fin dei conti, pertanto, che guadagno comporterebbe includere primieramente la possibilità di operare il quoziente $ 0/0 $ per poi doverla escludere forzatamente in un secondo momento?!? Per intenderci, faccio un esempio strampalato! Assumere $ 0! := 1 $ comporta notoriamente i suoi bei vantaggi. Ora, si può forse dire qualcosa di analogo della divisione dello zero per lo zero?!?

Infine, per precisare un'affermazione di Singollo, il teorema di fattorizzazione vale anche per "1". Per la precisione 1 è il prodotto di zero numeri primi (un prodotto vuoto).

Anche qui direi che le scuole di pensiero sono piuttosto in disaccordo, ma forse non è il caso di sottilizzare...

[MindFlyer]

Vi state chiedendo cosa ciuffolo ci abbiano a pigliare le identità di Mignosi e il simbolo $ \gcd(0, 0, \ldots, 0) $ con tutto questo simpatico discorso? Beh, perché non provate a scoprirlo da voi...?

Ho provato a scoprirlo, ma Google non è stato prodigo di informazioni.
In compenso ho visto che, quando si vuole definire il valore di gcd(0,0), lo si pone per convenzione a 0, e non a 1.

[Marco]

No. Fermi! Qui siamo nel Glossario. Che è per vocazione l'area deputata a diradare i dubbi dei nuovi arrivati.

Se volete discutere di identità strane e se ha senso o no gcd(0,0), andate a farlo nella zona adatta. Questa, di tutte, è quella meno appropriata.

E' solo un'opinione mia personale, ma ritengo, come linea guida ispiratrici del Glossario, che qui ci debbano stare solo messaggi:

i) che parlino di tecniche standard di matematica olimpica

ii) spiegati in modo chiaro: il target ideale della sezione è lo studente di scuola media superiore, possibilimente del primo biennio

iii) eventualmente corredati da esempi applicati al problem-solving olimpico, di livello base, spiegati chiaramente, sempre secondo il criterio (ii) precedente.

iv) eventualmente con rimandi, per chi volesse approfondire alle altre sezioni più appropriate del Forum (pb.solving olimpico, mate non elementare, ecc...)

Gli ultimi interventi di questo filo (che, vi ricordo, è ancora sub-iudice di essere richiuso), non si attengono a tali linee e quindi sono inopportuni.

Prego chiunque desideri aggiungere materiale qui in particolare e altrove nel Glossario in generale, di verificare che questi semplici criteri siano verificati.

Ringrazio tutti per la collaborazione.

M.

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Ah, dimenticavo, per me (0,0) = 0.

[Marco]

è la prima volta che sento parlare della possibilità di accettare che sia operabile la divisione intera di zero per se stesso.

E infatti non ne abbiamo parlato. Un conto è dire che è 0 divisibile per 0. Un altro conto è dire "la divisione di 0 per 0 fa tot". "Divisibile" è sinonimo di "multiplo". E che 0 sia multiplo di 0, non desta particolare meraviglia.

Comunque, per scrupolo, sono andato al capitolo "Number Theory" dell'Engels, e la prima definizione che dà è quella di divisibilità, identica a quella di Mind, da cui 0 è divisibile per 0 anche secondo lui.

Per concludere, direi che hai pienamente ragione quando dici:

forse non è il caso di sottilizzare...

Sante parole!!

Ciao. M.

[HiTLeuLeR]

Vi state chiedendo cosa ciuffolo ci abbiano a pigliare le identità di Mignosi e il simbolo $ \gcd(0, 0, \ldots, 0) $ con tutto questo simpatico discorso? Beh, perché non provate a scoprirlo da voi...?

Ho provato a scoprirlo, ma Google non è stato prodigo di informazioni.
In compenso ho visto che, quando si vuole definire il valore di gcd(0,0), lo si pone per convenzione a 0, e non a 1.

Mea culpa, d'uno trattavasi e non di zero. Corrigo... In quanto a Google, sono felice mi sia confermato che non tutte le risposte gli appartengono!!! Tanto meglio una vecchia polverosa biblioteca, in questi casi, ovvìa...