Sia un polinomio $
P\left( {u,v,\omega } \right)
$ omogeneo e simmetrico di 3° grado.Dimostrare che
$
\forall x,y,z \ge 0:P\left( {1,1,1} \right),P\left( {1,1,0} \right),P\left( {1,0,0} \right) \ge 0 \Leftrightarrow P\left( {x,y,z} \right) \ge 0
$.
Ho cercato tutti i modi per dimostralo ma finora non sono arrivato a niente.Il problema è abbastanza difficile..
Buona fortuna!
Strano teorema sui polinomi omogenei di 3° grado
Un'implicazione è ovvia (il ritorno).
Per la secona essenzialmente si tratta di determinare il coefficiente relativo ai monomi del tipo:
$ x_i^3, x_i^2x_j, x_ix_jx_k $
Ci sono da determinare tre coefficienti, che risultano essere maggiori di zero per le condizioni imposte dalle ipotesi. Quindi essenzialmente abbiamo un polinomio simmetrico di terzo grado omogeneo con coefficienti positivi.
Adesso rimane da dimostrare che il polinomio in 0 raggiunge il minimo.
Per la secona essenzialmente si tratta di determinare il coefficiente relativo ai monomi del tipo:
$ x_i^3, x_i^2x_j, x_ix_jx_k $
Ci sono da determinare tre coefficienti, che risultano essere maggiori di zero per le condizioni imposte dalle ipotesi. Quindi essenzialmente abbiamo un polinomio simmetrico di terzo grado omogeneo con coefficienti positivi.
Adesso rimane da dimostrare che il polinomio in 0 raggiunge il minimo.
Vabbè,dò un piccolo input.
$ \displaystyle P\left( {x,y,z} \right) = A\sum\limits_{cycl} {x^3 + B\sum\limits_{sym} {x^2 y} + Cxyz} $
è un generico polinomio simmetrico e omogeneo di 3° grado .
Porre
$ \displaystyle p = P\left( {1,1,1} \right) $
$ \displaystyle q = \frac{{P\left( {1,1,0} \right)}}{2} $
$ \displaystyle r = P\left( {1,0,0} \right) $
$ \displaystyle P\left( {x,y,z} \right) = A\sum\limits_{cycl} {x^3 + B\sum\limits_{sym} {x^2 y} + Cxyz} $
è un generico polinomio simmetrico e omogeneo di 3° grado .
Porre
$ \displaystyle p = P\left( {1,1,1} \right) $
$ \displaystyle q = \frac{{P\left( {1,1,0} \right)}}{2} $
$ \displaystyle r = P\left( {1,0,0} \right) $
Lo sapevo ke sarebbe finita così 
!Cmq,x ki fosse interessato,questa è la soluzione(+ facile nn ne ho trovata...)
Un generico polinomio simmetrico ed omogeneo di 3° grado può essere scritto nella forma:
$ \displaymatch P(x,y,z) = A\sum\limits_{cycl} {x^3 } + B\sum\limits_{sym} {x^2 y + Cxyz} $
dove $ A,B,C \in \Re $.
Siccome
$ \displaymatch \begin{array}{l} p = P\left( {1,1,1} \right) = 3A + 6B + C \\ q = \frac{{P\left( {1,1,0} \right)}}{2} = A + B \\ r = P\left( {1,0,0} \right) = A \\ \end{array} $
con $ p,q,r \ge 0 $
il polinomio diventa:
$ \displaymatch P\left( {x,y,z} \right) = r\sum\limits_{cycl} {x^3 + \left( {q - r} \right)} \sum\limits_{sym} {x^2 y} + \left( {p + 3r - 6q} \right)xyz $
Per $ q \ge r $
che è positivo per Muirhead.
Per $ q \le r $
che è positivo per Muirhead e Schur.
!Cmq,x ki fosse interessato,questa è la soluzione(+ facile nn ne ho trovata...)Un generico polinomio simmetrico ed omogeneo di 3° grado può essere scritto nella forma:
$ \displaymatch P(x,y,z) = A\sum\limits_{cycl} {x^3 } + B\sum\limits_{sym} {x^2 y + Cxyz} $
dove $ A,B,C \in \Re $.
Siccome
$ \displaymatch \begin{array}{l} p = P\left( {1,1,1} \right) = 3A + 6B + C \\ q = \frac{{P\left( {1,1,0} \right)}}{2} = A + B \\ r = P\left( {1,0,0} \right) = A \\ \end{array} $
con $ p,q,r \ge 0 $
il polinomio diventa:
$ \displaymatch P\left( {x,y,z} \right) = r\sum\limits_{cycl} {x^3 + \left( {q - r} \right)} \sum\limits_{sym} {x^2 y} + \left( {p + 3r - 6q} \right)xyz $
Per $ q \ge r $
che è positivo per Muirhead.
Per $ q \le r $
che è positivo per Muirhead e Schur.