Ciao a tutti
mi scuso in anticipo per la semplicità (credo) di ciò che vi chiedo, ma sono argomenti che non abbiamo ancora affrontato a scuola...
Vorrei conscere la dimostrazione della divergenza della serie $ 1+1/2+1/3+1/4+...+1/n $. A che valore tende?
grazie mille!
semplice dimostrazione
Uhm ... la tua richiesta è quanto meno ambigua ... infatti prima chiedi di sapere come si dimostra che la serie diverge, poi chiedi a che valore tende.
[divagazione teorica]
Un po' di teoria :
Supponiamo di avere una funzione $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R} $ allora possiamo definire le "somme parziali" : $ s_n=f(0)+\ldots + f(n) $ ovvero in notazione un po' più compatta $ \displaystyle{s_n=\sum_{i=0}^nf(i)} $.
Ora, confidando che tu abbia un'idea almeno intuitiva di limite, possiamo chiederci come si comporta s_n al crescere di n ; se esiste un valore S a cui tende s_n al crescere di n, diciamo che S è la somma della serie di f(n) per n che va da 0 a infinito e scriviamo
$ \displaystyle{\sum_{n=0}^\infty f(n)=S=\lim_{n\to \infty}s_n} $
in tal caso diciamo anche che la serie converge a S.
Una serie diverge se gli s_n crescono sempre più (o decrescono) al crescere di n, ovvero se, comunque fissiamo un valore reale positivo M, anche molto grande, possiamo trovare un certo indice k tale che per tutti gli indici j successivi a k si ha che $ s_j>M $ (oppure $ s_j<-M $). Quindi, una serie che diverge non ha somma : le somme parziali non tendono a nessun valore reale al crescere di n (si può al più dire che tendono a più infinito o a meno infinito).
[/divagazione teorica]
Nel nostro caso, la funzione è f(n)=1/n e le somme parziali sono per l'appunto s_n=1 + 1/2 + 1/3 + ... +1/n
Per sapere se la serie diverge, dobbiamo vedere come si comportano le somme parziali al crescere di n. Usiamo quindi questo trucco :
1/3>1/4 e 1/4=1/4 quindi 1/3 + 1/4>1/4+1/4=1/2
1/5>1/8 , 1/6>1/8 , 1/7>1/8 e 1/8=1/8 quindi 1/5+1/6+1/7+1/8>4*1/8=1/2
in generale,
$ \frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+\ldots+\frac{1}{2^{n+1}}>1/2 $
quindi, fissato n, sia 2^k la più alta potenza di 2 tra 0 e n, allora si ha
s_n>k/2=[log(n)/log(2)]/2
infatti la parte intera del logaritmo in base 2 è proprio la più alta potenza di 2 minore di n.
Ma ora basta osservare che $ \log_2(n) $ al crescere di n supera ogni prefissato limite : infatti, fissiamo un M (per comodità naturale) e prendiamo n>2^(M+1), allora $ \log_2(n)>log_2(2^{M+1})=M+1>M $.
Quindi anche s_n cresce oltre ogni prefissato limite e quini la serie diverge, ovvero tende a più infinito al crescere di n.
[divagazione teorica]
Un po' di teoria :
Supponiamo di avere una funzione $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R} $ allora possiamo definire le "somme parziali" : $ s_n=f(0)+\ldots + f(n) $ ovvero in notazione un po' più compatta $ \displaystyle{s_n=\sum_{i=0}^nf(i)} $.
Ora, confidando che tu abbia un'idea almeno intuitiva di limite, possiamo chiederci come si comporta s_n al crescere di n ; se esiste un valore S a cui tende s_n al crescere di n, diciamo che S è la somma della serie di f(n) per n che va da 0 a infinito e scriviamo
$ \displaystyle{\sum_{n=0}^\infty f(n)=S=\lim_{n\to \infty}s_n} $
in tal caso diciamo anche che la serie converge a S.
Una serie diverge se gli s_n crescono sempre più (o decrescono) al crescere di n, ovvero se, comunque fissiamo un valore reale positivo M, anche molto grande, possiamo trovare un certo indice k tale che per tutti gli indici j successivi a k si ha che $ s_j>M $ (oppure $ s_j<-M $). Quindi, una serie che diverge non ha somma : le somme parziali non tendono a nessun valore reale al crescere di n (si può al più dire che tendono a più infinito o a meno infinito).
[/divagazione teorica]
Nel nostro caso, la funzione è f(n)=1/n e le somme parziali sono per l'appunto s_n=1 + 1/2 + 1/3 + ... +1/n
Per sapere se la serie diverge, dobbiamo vedere come si comportano le somme parziali al crescere di n. Usiamo quindi questo trucco :
1/3>1/4 e 1/4=1/4 quindi 1/3 + 1/4>1/4+1/4=1/2
1/5>1/8 , 1/6>1/8 , 1/7>1/8 e 1/8=1/8 quindi 1/5+1/6+1/7+1/8>4*1/8=1/2
in generale,
$ \frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+\ldots+\frac{1}{2^{n+1}}>1/2 $
quindi, fissato n, sia 2^k la più alta potenza di 2 tra 0 e n, allora si ha
s_n>k/2=[log(n)/log(2)]/2
infatti la parte intera del logaritmo in base 2 è proprio la più alta potenza di 2 minore di n.
Ma ora basta osservare che $ \log_2(n) $ al crescere di n supera ogni prefissato limite : infatti, fissiamo un M (per comodità naturale) e prendiamo n>2^(M+1), allora $ \log_2(n)>log_2(2^{M+1})=M+1>M $.
Quindi anche s_n cresce oltre ogni prefissato limite e quini la serie diverge, ovvero tende a più infinito al crescere di n.