prigionieri e dadi!

[chiara85]

1)Tre prigionieri A, B e C sono condannati a morte. Il governatore decide di concedere la grazia ad uno di essi scelto a caso, ed informa il secondino della sua scelta, chiedendogli di non rivelare tale nome ai prigionieri. Il giorno successivo, A cerca inutilmente di sapere dal secondino chi sia stato graziato. Allora A chiede al secondino di rivelargli almeno chi tra B e C sarà giustiziato, ed il secondino, dopo averci pensato un attimo, gli rivela che B sarà giustiziato. A è soddisfatto della risposta del secondino, perché ritiene che la probabilità di essere stato graziato sia cresciuta da 1/3 ad ½ . Ha ragione?



2) A e B giocano a dadi, a turno tirano due dadi (comincia A) e vince chi per primo ottiene un punteggio maggiore o uguale a 7. si determinino le rispettive probabilità di vittoria.

[Melkon]

1)Tre prigionieri A, B e C sono condannati a morte. Il governatore decide di concedere la grazia ad uno di essi scelto a caso, ed informa il secondino della sua scelta, chiedendogli di non rivelare tale nome ai prigionieri. Il giorno successivo, A cerca inutilmente di sapere dal secondino chi sia stato graziato. Allora A chiede al secondino di rivelargli almeno chi tra B e C sarà giustiziato, ed il secondino, dopo averci pensato un attimo, gli rivela che B sarà giustiziato. A è soddisfatto della risposta del secondino, perché ritiene che la probabilità di essere stato graziato sia cresciuta da 1/3 ad ½ . Ha ragione?

No
Dunque, a priori, sicuramente almeno uno tra B e C verrà giustiziato, per cui per A sapere quale tra i due viene sicuramente giustiziato, non cambia le cose. Ha comunque 1/3 di possibilità.
È come dire, se ho una possibilità su 1000 di vincere la lotteria del paese, non ne ho comunque una su 999 a sapere che il mio vicino non la vince, continuo ad averne 1 su 1000
Spero...

[dimpim]

A è soddisfatto della risposta del secondino, perché ritiene che la probabilità di essere stato graziato sia cresciuta da 1/3 ad ½ . Ha ragione?

No, perché l'evento che decideva la sua sorte è già avvenuto, quando lui cioè aveva una possibilità su tre di essere salvato. Dunque, sapere che B sarà giustiziato, non cambia la sua probabilità di salvezza. (Credo che sia un ragionamento simile a quello di Melkon, in fondo)

[MindFlyer]

(Credo che sia un ragionamento simile a quello di Melkon, in fondo)

No, sono ragionamenti completamente diversi. Comunque devo dire che il problema è un po' malposto.
Ma se il discorso di dimpim fosse giusto, allora anche se il secondino rivelasse ad A che lui dev'essere graziato, A avrebbe comunque 1/3 di probabilità di essere graziato, mentre in realtà ne è sicuro...

[MindFlyer]

Ah, inoltre chiedo a chiara85 (e a tutti) di postare problemi diversi in thread diversi.
E' per mantenere l'ordine.
Grazie!

[mattilgale]

secondo me il ragionamento è il seguente...

il secondino può dire solamente B o C, inoltre sappiamo che almeno B viene giustiziato...

considerando solo i prigionieri B e C quindi si presentano due casi...
solo B sarà giustiziato (in tal caso prima che il secondino parlasse la probabilità che dicesse B era =certezza)
anche C sarà giustiziato (in tal caso la probabilità che il secondino dicesse B prima di parlare era 1/2)

sapendo ciò appare chiaro che se il secondino ha detto B ci sono il doppio di possibilità che SOLO B tra B e C venga giustiziato

quindi in due casi su tre C è salvato e A muore mentre in uno tre C muore ed A sopravvive...

perciò la probabilità che ha sopravviva è
$ \frac{2}{3}*0+\frac{1}{3}*1= \frac{1}{3} $

[Singollo]

Chiara, devi sapere (se non lo sapessi già), che il tuo problema è molto, ma molto più complicato di quello che può sembrare. Esso è praticamente lo stesso problema che fu posto a Marylin Von Savant, una donna che è nel guinnes dei primati per avere ottenuto il punteggio ufficiale più alto - 186 - ad un famoso e, ritenuto anche attendibile, test del Q.I. (il quesito non faceva, però, parte del test) :

Vi sono 1000 porte. Soltanto dietro una di queste vi è un uomo, le altre sono stanze vuote. Scegli una porta. Dopodichè io (che conosco qual'è quella giusta) aprirò 998 stanze vuote. Ti conviene cambiare con l'altra porta rimasta, o confermare la tua scelta?

Poichè questo quesito le fu posto in una trasmissione americana, all'epoca la vicenda andò in mondovisione, ed ella fu schernita da molta gente illustre (tra i quali molti matematici del mondo accademico degli U.S.A. e premi Nobel) perchè rispose che le sarebbe convenuto cambiare porta.

Mi risulta, invece, che in seguito un matematico dimostrò, utilizzando un qualche teorema di un certo Thomas Bayes, che la probabilità che la scelta iniziale fosse quella giusta sarebbe rimasta sempre 1/1000, mentre quella dell'altra porta, a seguito delle aperture delle altre 998 porte) sarebbe divenuta 999/1000.

Forse a qualcuno di voi tutto ciò potrà sembrare anche ovvio, ma a me sembr un qualcosa di incredibile.

[MindFlyer]

Forse a qualcuno di voi tutto ciò potrà sembrare anche ovvio, ma a me sembr un qualcosa di incredibile.

Parlando di 1000 porte, anziché di 3 uomini, il ragionamento diventa molto più intuitivo!
La prima porta la scegli a caso, quindi sia all'inizio che alla fine ha probabilità 1/1000 di essere giusta. Ma nel caso in cui sia sbagliata, ovvero in 999 casi su 1000, la porta rimasta è certamente quella da scegliere. Quindi ecco dimostrato che la Vos Savant aveva ragione, senza ricorrere esplicitamente al teorema di Bayes!

[pps]

...dunque la probabilità è di 2/3, non di 1/2, sbaglio? Io avevo sentito un'altra versione del problemino, con i cioccolatini, divertente anche perché si può eseguire in modo pratico.

Il Q.I. della Vos Savant non era 228?

[MindFlyer]

...dunque la probabilità è di 2/3, non di 1/2, sbaglio?

Ma no, non è lo stesso problema! In questo caso C ha probabilità 2/3 di essere salvato (stesso ragionamento delle porte), mentre A continua ad averne 1/3.

Il Q.I. della Vos Savant non era 228?

Se vogliamo parlare della Vos Savant, apriamo un thrad nella birreria.

[pps]

...dunque la probabilità è di 2/3, non di 1/2, sbaglio?

Ma no, non è lo stesso problema! In questo caso C ha probabilità 2/3 di essere salvato (stesso ragionamento delle porte), mentre A continua ad averne 1/3.

esattamente, solo che nel primo post c'è scritto 1/2

[MindFlyer]

Sì, ma la probabilità che A sia graziato è 1/3, non 2/3.

[mattilgale]

ma il mio ragionamento va bene o no?????????

[MindFlyer]

ma il mio ragionamento va bene o no?????????

Sostanzialmente sì, credo.

[Franchifis]

Io ancora non sono convinto che nel problema delle 1000 porte sia piu' conveniente cambiare scelta. I ragionamenti in favore o in contrario sono troppo complicati, quindi mi chiedevo se qualcuno di voi fosse in grado di scrivere un programmino (magari in Excel) che ricrei la situazione. A questo punto la soluzione emergerebbe dai dati empirici (ma tu guarda se un matematico si deve mettere a fare esperimenti come i fisici per verificare le sue tesi ).