Quei due numeri saranno uguali???

[Boll]

Proprio base base che più base non si può, forse dovrei metterlo nel Glossario, nel caso, mi scuso.

Problema:
Senza tirare cannonate (utilizzo di serie o robbe simili), provare che $ 0,\bar{9}=1 $

[MindFlyer]

Senza tirare cannonate (utilizzo di serie o robbe simili)

Ma $ 0,\bar9 $ non è proprio definito come la serie 0,9+0,09+0,009+... ?

[Boll]

Sì, Mind, ma si può fare senza utilizzando "intuitivamente" il concetto di periodo... Matrice, ok, ma come dimostri il tuo algoritmo?

[Hammond]

Non è tutta farina del mio sacco, nel senso che l'ho "ricostruita" ricordando di aver già visto qualcosa del genere, ma va bè:
pongo $ a=0,\bar9 $
$ 10a=9,\bar9 $
$ 10a-a=9,\bar9-0,\bar9=9 $
abbiamo trovato che $ 9a=9 $, quindi $ a=1 $.
Ciao

[pazqo]

$ 10\cdot 0,\bar{9} = 9,\bar{9} $
$ 9\cdot 0,\bar{9} = 10\cdot 0,\bar{9} - 0,\bar{9} = 9,\bar{9} - 0,\bar{9} = 9 $

Quindi $ 0,\bar{9} = 1 $

[pazqo]

ach, fregato sul tempo!

[Boll]

Ok, era esattamente la soluzione che avevo in mente :D

[MindFlyer]

Scusate se insisto, ma...
voi avete supposto che $ 0,\bar9 $ sia un numero, ovvero che la serie che lo definisce converga. Come fate a dimostrate che una serie converge senza menzionare o senza ragionare sul concetto di serie?

(D'altra parte, vi invito a notare che le dimostrazioni che proponete -nell'ipotesi di convergenza- usano lo stesso metodo dimostrativo della formula generale della somma delle serie geometriche.)

[pazqo]

pe me, in questo caso, numero significa soltanto sequenza di lunghezza arbitraria ma al più numerabile di cifre decimali. Detto questo, non servono a nulla le serie. Le uniche proprietà necessarie sono:
1) la moltiplicazione per 10 sposta la virgola verso destra di un posto
2) se a e b hanno le stesse cifre decimali, posto per posto, allora a-b è intero.

[MindFlyer]

Mi sto convincendo sempre più a spostare questo thread in Matematica non elementare...

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pazqo, da un logico questi discorsi non me li aspetto!
Hai definito il "numero" come sequenza di cifre decimali, e va beh.
Poi hai anche (implicitamente) definito la sottrazione e la moltiplicazione su questi numeri, e va bene perché si possono ricondurre ad operazioni sulle cifre.
Ma poi usi con disinvoltura una proprietà della moltiplicazione tra numeri reali:
$ a\cdot b=a\neq 0\implies b=1 $,
che non hai dimostrato per le operazioni che hai definito! E ti dirò che se tra questi "numeri" appena definiti ce ne fosse qualcuno che, secondo l'interpretazione standard della serie delle cifre, non converge ad un numero reale ma diverge, allora questa proprietà della moltiplicazione non varrebbe!
Perciò, un lemma che devi necessariamente dimostrare è per lo meno che quella proprietà vale per $ a=9 $ e per ogni $ b $.

[pazqo]

accidenti, è vero.
m'era sfuggito.
ci penso ancora un po'!

[Boll]

Sì, hai ragione Mind, mentre scrivevo il topic non mi sono reso conto del fatto che effettivamente non c'era un altro modo di definire quel numero se non le serie...

[Nomen]

Tramite la regola della frazione generatrice si ha che 0,9 (con il 9 periodico) è uguale a 9/9 cioè a 1

[aursic]

Credo che per ricavare la frazione generatrice servano le serie.
Ditemi se mi sbaglio

[AleX_ZeTa]

vabbe Mind dai... pignolo! :p

passiamo pure dalle serie allora...

$ \displaystyle 0,\overline{9} = \sum_{n=1}^{+\infty} \left(1 \over 10 \right)^n \cdot 9 $

che essendo una serie geometrica di ragione < 1 converge.

Non solo... da qui si deduce anche che fa 1:

$ \displaystyle 0,\overline{9} = \sum_{n=1}^{+\infty} \left(1 \over 10 \right)^n \cdot 9 = 0.9 \cdot \lim_{n\rightarrow + \infty} {{1 - \left(1 \over 10 \right)^n} \over {1 - {1 \over10}}} = 0.9 \cdot {10 \over 9} = 1 $

contento?