Un problema di Cesenatico

francescocaracciolo · Messaggio da **francescocaracciolo** » 01 gen 1970, 01:33

Questo è un problema tratto da Cesenatico 1996 e che non riesco a risolvere.Trovare i triangoli di area S e di base l assegnate in cui sia massimo il prodotto delle altezze.
 P.S. Credo che sia necessario usare qualche nozione di trigonometria, ma non sono sicuro. Ciao

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Sia dato un generico triangolo di area S e lato a. Chiamiamo h, h\' e h\'\' le tre altezze. Poniamo che il loro piede sia, rispettivamente, sui lati a,b e c del triangolo. Allora h è determinata, e si vede facilmente h\'*h\'\'= 2S/b * 2S/c = 4S²/bc. Dunque h\'*h\'\' sarà massimo per il minimo valore di bc.
 Possiamo quindi enunciare il problema sotto questa forma: determinare, fra tutti i triangoli aventi area assegnata S e lato assegnato a, quello per cui è minimo il prodotto degli altri due.
 Ho risolto il problema del determinare la somma minima (si ha quando b=c); il caso del prodotto dovrebbe avere una soluzione analoga, ma non riesco a trovarla.
 Procedendo un po\' più empiricamente, ovvero senza giustificare alcune assunzioni, sono giunto a concludere che se a>2h*sqrt(2) il triangolo richiesto è quello isoscele; altrimenti è quello rettangolo di ipotenusa c.
 Mah...<IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
 Chi può chiarire la situazione? Magari con un bello studio della funzione (a livello superiore penso che i problemi di massimo e minimo vengano affrontati così)?
 
 Ciao[addsig]

francescocaracciolo · Messaggio da **francescocaracciolo** » 01 gen 1970, 01:33

Riflettendoci un po\', sono giunto a questa conclusione.Innanzitutto, come ha detto gauss,bisogna minimizzare il prodotto degli altri due lati che chiamo a1 e a2.Per far ciò uso il teorema di pitagora.Sia data la base a e l\'altezza h(quelle costanti) e il piede dell\'altezza h divide la base in due parti x e y tali che x+y=a.Perciò a1^2=h^2+x^2 e a2^2=h^2+y^2.Quindi a1*a2=radq((h^2+x^2)*(h^2+y^2))=
 =radq((h^2+y^2)*x^2+h^4+h^2*y^2) (*).Quindi bisogna minimizzare la (*) e per far ciòbisona minimizzare il contenuto della radice.Se esprimiamo questo contenuto sotto forma di funzione e lo rappresentiamo su un grafico viene una parabola con la concavità diretta verso l\'alto e con l\'ascissa del vertice(punto \"minimo\")situata nel punto 0 (triangolo rettangolo).Quindi il triangolo rettangolo è il triangolo per cui minimo è il prodotto dei due lati e perciò massimo è il prodotto delle altezze.(c.v.d.)

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao francescocaracciolo. Ti volevo chiedere come hai proceduto precisamente perchè non sono del tutto convinto del risultato a cui sei pervenuto. Infatti sia dato il triangolo di base a e altezza a*sqrt(3)/2. Se a1=a2 allora il triangolo è equilatero e a1*a2=a²
 Se invece il triangolo è rettangolo su base a (su base a1 e a2 non si può costruire) allora a1=h=a*sqrt(3)/2 e a2=
 sqrt((4a²+3a²)/4))=
 a*sqrt(7)/2; dunque a1*a2=
 a*sqrt(21)/4>a².
 Forse ho interpretato male... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
 Fammi sapere. Ciao <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> [addsig]

francescocaracciolo · Messaggio da **francescocaracciolo** » 01 gen 1970, 01:33

Ci penso su un po\' e dopo ti mando la mia dimostrazione.Ciao

Lucio · Messaggio da **Lucio** » 01 gen 1970, 01:33

Una dritta trigonometrica:
 
 avete giustamente detto che massimizzare il prodotto delle altezze equivale e minimizzare il prodotto degli altri 2 lati, b e c.
 L\'area di un triangolo, con la solita notazione è: S=(bc sen alpha)/2
 Minimizzare bc = massimizzare sen alpha
 
 Si considerino i 3 casi in cui h1 (minore di) a/2, h1=a/2, h1 (maggiore di) a/2.
 (Il seno è una funzione strettamente crescente tra 0 e 90° ed è max per x=90°)
 Enjoy
 
 Tschüss [ This message was edited by: Lucio on 2001-06-23 13:38 ]

francescocaracciolo · Messaggio da **francescocaracciolo** » 01 gen 1970, 01:33

Con la dimostrazione di Lucio, si ritorna al mio ragionamento( anche se non ho ben capito bc sen alpha)ma si ritorna anche al ragionamento giusto di lordgauss.Io non me ne intendo di funzioni, ma proseguo col mio ragionamento.Prima ero arrivato alla funzione da minimizzare
 radq((h^2+y^2)x^2+h^4+h^2y^2).Ora, sostituendo y=l-x e sviluppando i calcoli viene
 radq(x^4-2l*x^3+(2h^2+l^2)*x^2-2lh^2*x+l^2h^2+h^4

Lucio · Messaggio da **Lucio** » 01 gen 1970, 01:33

Primo, mi pare tu non consideri il caso in cui il triangolo sia ottusangolo alla base.
 Secondo, dal mio ragionamento non si ritorna al tuo.
 Terzo: S=(bc sen alpha)/2 è l\'espressione dell\'area di un triangolo qualsiasi in funzione di 2 lati e dell\'angolo compreso (c sen alpha non è altro che l\'altezza relativa a b)
 Quartu <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">: anche derivando la funzione che hai ottenuto viene una cosa sostanziosa di 3° grado su cui non metterei mani
 
 Il mio ragionamento porta dritto alla soluzione
 Bisogna x forza differenziare dei casi (e non nel senso di calcolarne il differenziale <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">) [ This message was edited by: Lucio on 2001-06-23 15:21 ]

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Il ragionamento di Lucio è sicuramente corretto. Ma, dato che parliamo di Olimpiadi della matematica, mi pare strano che non esista una soluzione che non fa uso di trigonometria. Inoltre viene da pensare, come ho già detto, che il caso del prodotto non sia tanto differente dalla somma, e quest\'ultima dimostrazione è elementare (corollario del cosiddetto teorema di Erone). <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
 Ciao[addsig]

Kornholio · Messaggio da **Kornholio** » 01 gen 1970, 01:33

Triangolo con base (a) e altezza (h) fissi
 
 Chiamiamo bp e cp le proiezioni dei lati b e c
 sulla base a del triangolo.
 bp+cp=a (costante)
 
 Fate conto che tra passaggio e passaggio
 sia scritto \"trovare il minimo di equivale a
 trovare il minimo di\"
 
 
 Min (bc)
 Min(sqrt(bp^2*cp^2+h^2(cp^2+bp^2)+h^4)
 Min(sqrt(bp^2*cp^2+h^2(cp^2+bp^2))
 Min(bp^2*cp^2 + h^2 (bp^2+cp^2))
 
 chiamiamo w il prodotto bp*cp
 avremo min(w)=0 max(w)=a^2/4
 
 
 Min(w^2 + h^2 (a^2 - 2w))
 Min(w^2 + h^2a^2 - 2w h^2)
 Min(w^2 - 2w h^2)
 Min( w * (w - 2h^2)) -->
 
 w = h^2
 
 | bp*cp = h^2
 | bp+cp = a