Dadi e probabilita'

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gip
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Dadi e probabilita'

Messaggio da gip » 25 feb 2005, 01:30

Individuare la probabilita' che, lanciando n volte un dado a sei facce, la somma dei punteggi ottenuti sia un multiplo di 7.

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 25 feb 2005, 15:26

Essendo $ n\in\mathbb{N}_0 $, sia $ s_n $ la somma dei punteggi totalizzati in $ n $ lanci consecutivi del dado. Se il dado è standard e non è inoltre truccato, $ s_n $ assume con equiprobabilità ogni valore intero nell'intervallo $ J_n := [n, 6n] $, per un totale di $ 5n+1 $ valori possibili.

Se $ P_n $ è dunque la probabilità di cui si chiede nella traccia del quesito: $ \displaystyle{P_n = \frac{d_{n,7}}{5n+1}} $, ove $ d_{n,7} $ è il numero degli interi nell'intervallo $ J_n $ che sono divisibili per $ 7 $. Banalmente: $ d_{n,7} = \left\lfloor\frac{6n}{7}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{n}{7}\right\rfloor + \delta(n\;\!\bmod 7) $, avendo assunto per semplicità di scrittura $ \delta(k) := \left\{\begin{array}\ 1\quad\mbox{se }k=0\\0\quad\mbox{se }k\neq 0\end{array}\right.\ \ $, con $ k\in\mathbb{Z} $.

A questo punto, una domanda al proponente... Ammesso di non aver preso una cantonata coi fiocchi, ti risulta che quella robaccia si possa semplificare in qualche modo, onde poterne presentare il risultato finale in una forma esteticamente meno sgradevole?!? :shock:
Ultima modifica di HiTLeuLeR il 25 feb 2005, 16:00, modificato 3 volte in totale.

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gip
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Messaggio da gip » 25 feb 2005, 15:35

HiTLeuLeR ha scritto:A questo punto, una domanda al proponente... Ammesso di non aver preso una cantonata coi fiocchi, ti risulta che quella robaccia si possa semplificare in qualche modo, onde poterne presentare il risultato finale in una forma esteticamente meno sgradevole?!? :shock:
Sì, si può attaccare in modo mooolto meno brutale... :D

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 25 feb 2005, 15:46

direi anch'io :shock:

su, qualcuno si rimbocchi le maniche...

basta "ricorrere" un po' :wink: :wink:

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Messaggio da HiTLeuLeR » 25 feb 2005, 15:51

Boh... Di norma ci si riserva di definire "brutale" una soluzione che si riveli particolarmente contosa... E' questo il caso?!? Vada come vada, sottolineo che la mia domanda riguardava la scrittura finale della soluzione, non il metodo... Resto in linea, a questo punto sono curiosissimo! :D
Ultima modifica di HiTLeuLeR il 25 feb 2005, 15:58, modificato 2 volte in totale.

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Messaggio da talpuz » 25 feb 2005, 15:56

ok, rispondo:

il risultato finale si scrive in una forma parecchio più gradevole di quella che hai ottenuto tu (se mi ricordo bene), e non so se la tua formula si possa manipolare per trasformarla nell'altra

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Pixel
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Messaggio da Pixel » 25 feb 2005, 16:45

Hola gente!
Ho un'ideuzza...sia $ x_n $ la probabilità che l'evento si verifichi dopo $ n $ lanci, notiamo ora che:
$ x_n=\frac{1}{6} * y_n $con $ y_n $ la probabilità che dopo$ n-1 $ lanci la somma ottenuta non sia divisibile per$ 7 $, segue quindi che $ y_n=1-x_{n-1} $, sostituendo abbiamo:
$ \left\{\begin{array}{rl}x_n=\frac{1}{6}*(1-x_{n-1})\\ x_2=\frac{1}{6}\end{array}\right. $

Ora se non ho sbagliato i conti, sciogliendo la ricorrenza otteniamo:
$ x_n={\frac{6*(\frac{-1}{6})^n}{7}+\frac{1}{7}} $
che è la probabilità cercata...
Notiamo che se $ n $ tende all'infinito la probabilità è $ \frac{1}{7} $ come già annunciato da DB85
Spero sia giusto...

Ciao alla prossima
Ultima modifica di Pixel il 25 feb 2005, 21:04, modificato 6 volte in totale.
P. Andrea

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Messaggio da fph » 25 feb 2005, 18:32

Ottimo, Pixel!
Adesso postaci i biechi conti per completezza, ma comunque l'idea dovrebbe essere quella buona.
--federico
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DB85
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Messaggio da DB85 » 25 feb 2005, 19:22

Giustissimo: anch'io ho risolto il problema nel tuo stesso modo, quest'estate. Se non ricordo male lo presi dalle prove S.S.S.U.P.
Tra l'altro la sequenza è superiormente limitata e si verifica facilmente che la probabilità asintotica è 1/7.

P.S.: Complimenti per il nuovo forum!

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Messaggio da HiTLeuLeR » 26 feb 2005, 00:59

Uhmmm... Premesso che la combinatorica e il calcolo delle probabilità non sono il mio forte, vi dirò: sono un po' perplesso!!! La formula "finale" dedotta da Pixel differisce alquanto, nei risultati ch'essa prevede, dall'altra (orrendamente sgradevole) ch'io stesso, poco sopra, avevo suggerito. Già per $ n = 2 $, per esempio, risulta che la probabilità calcolata con il metodo "conta e quozienta" , i.e. l'approccio "brutale" adottato da quest'infelice, vale $ P_2 = \frac{1}{11} $, ed è perfettamente consistenza con le "evidenze sperimentali", ché infatti con due lanci del dado si possono totalizzare tutti i punteggi dell'11-insieme $ \{2, 3, ..., 11, 12\} $, e di questi uno e uno solo è divisibile per $ 7 $. Viceversa, la stessa (?!?) probabilità calcolata con la predizione di Pixel (a quanto mi par di capire, approvata con largo consenso di voti) varrebbe $ p_n = \frac{1}{7}\left(\frac{1}{6}+1\right) = \frac{1}{6} $. Qualcuno mi sussurri all'orecchio che sono un idiota, vi prego... Possibilmente sia il destro, ché tanto di lì non ci sento troppo bene, gh...

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Messaggio da Pixel » 26 feb 2005, 01:21

Ciao Salvo!

Allora questo è il modo che adotterei io nel caso di 2 dadi:
Abbiamo chiaramente $ 36 $ coppie ordinate di risultati possibili di queste quelle che verificano l'evento in questione sono:
$ (1,6), (6,1),(2,5),(5,2),(3,4)(4,3) $ dunque la probabilità cercata è
$ \frac{6}{36} $ cioè $ \frac{1}{6} $.

Di fatto il tuo ragionamento è equivalente a calcolare la probabilità che dato un dado a $ 11 $ facce numerate da $ 2 $ a $ 11 $ esca $ 7 $ che mi sembra differente dal testo del problema...sia ben chiaro è solo una supposizione.

Ciao
Pixel alias Brend :wink:
P. Andrea

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Messaggio da talpuz » 26 feb 2005, 01:29

ah, ma sei brend!!

e dillo prima, cavolo :wink: :wink:

comunque sì, euler, mi sa che stavolta hai preso una bella cantonata :D :D e il motivo l'ha già spiegato brend

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Messaggio da Pixel » 26 feb 2005, 01:34

Ciao Mattia!
Eh eh mi piace fare il misterioso :lol:
No scherzi a parte mi sono dovuto riiscrivere per motivi tecnici 8)

Ciao ciao
P. Andrea

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Messaggio da HiTLeuLeR » 26 feb 2005, 02:47

Ok, ho capito! Ho interpretato (un po') a modo mio la traccia. Vabbe', però non è che fosse poi chiarillima, essù... :x :cry: :shock: :roll:

P.S.: ciao, Andrea! :D :wink: 8)

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Messaggio da gip » 26 feb 2005, 12:18

Sì, quanto scritto da Pixel è corretto. Naturalmente (:twisted:) si intendeva la probabilità sui possibili lanci, non sulle possibili somme; d'altronde, cosa risponderesti se ti chiedessi qual è la probabilità di ottenere somma 7, lanciando due dadi? $ \frac{1}{11} $? 8)

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