Disuguaglianza facile

Hammond · Messaggio da **Hammond** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao.
 Ho provato a risolvere la disuguaglianza
 xyz >= (y+z-x)(x+z-y)(x+y-z)
 con x,y,z reali positivi. Nella mia (presunta) soluzione ho diviso il problema in due \'sottocasi\', a seconda che le tre variabili siano oppure no i lati di un triangolo, ma ho come l\'impressione che ci sia un modo \'diretto\' per farla...
 mi rendo conto che non è un gran che come esercizio ma per me è già tanto.
 qualcuno può darmi una mano? tnx
 
 EDIT: per chi avesse visto questo post troncato a metà: scusate non sono pratico, ho premuto invio quando evidentemente non dovevo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Hammond il 02-12-2004 19:57 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Hammond il 02-12-2004 20:02 ]

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Mah, credo che, da come ne hai parlato la mia soluzione sia uguale alla tua.
 
 Poniamo, per simmetria, x>=y>=z, dimostriamo che a destra possiamo avere al più un membro negativo.
 Poniamo per comodità -x+y+z<=0 e x-y+z<=0, ma tutti gli altri casi sono uguali per simmetria, avremo che
 y>=x+z>=y+z+x
 confrontando 0>=2z
 z<=0 assurdo per ipotesi
 
 Allora a destra abbiamo al più un membro negativo, quindi se è verificata una di queste tre
 x>=y+z
 y>=z+x
 z>=x+y
 la tesi è dimostrata perchè a destra siamo positivi, a sinistra negativi o nulla, altrimenti vale che x < y+z, y < x+z, z < x+y che è condizione necessaria e sufficiente affinchè x,y,z siano lati di un triangolo, ora ponendo x=a+b, y=b+c, z=c+a avremo
 (a+b)(b+c)(c+a)>=8abc
 facendo i conti
 sumsym(a2b)>=sumsym(abc)
 vera per il teorema detto \"bunching\" (credo ci sia anche un modo meno brutale, ma in fondo i calcoli sono pochi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">)
 
 EDIT: Messo un maggiore dimenticato... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 02-12-2004 22:49 ]

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Boll...nn capisco perchè ogni volta che usi il bunching o questi argomenti ti butti in sostituzioni varie. Se vogliamo essere brutali, facciamolo fino in fondo... Facendo i calcoli si trova
 
 sumsym(x^3-2x^2*y+xyz)>=0
 
 esattamente Schur...il che suggerisce di copiare la dimostrazione di Schur <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> invito chi interessato a cercarsela su internet!
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 02-12-2004 20:43 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 02-12-2004 20:47 ]

Hammond · Messaggio da **Hammond** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao Boll, grazie per la risposta.
 Be\', forse la mia sol. non è proprio uguale, o meglio diciamo che non sono riuscito a seguire la prima parte del tuo ragionamento, comunque arrivavo anch\'io a dimostrare che se x >= y+z (e simmetrie varie) c\'è uno e un solo fattore negativo o nullo, e da qui via lisci.
 
 Per quanto riguarda la seconda parte:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-12-02 20:24, Boll wrote:
 ponendo x=a+b, y=b+c, z=c+a avremo
 (a+b)(b+c)(c+a)=8abc /* questo = è un >=, no? - Hammond */
 facendo i conti
 sumsym(a2b)>=sumsym(abc)
 vera per il teorema detto \"bunching\" (credo ci sia anche un modo meno brutale, ma in fondo i calcoli sono pochi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 non ho idea di cosa sia questo \"bunching\" (se hai tempo e voglia di spiegarmelo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> )
 io l\'avevo fatta con le medie (AM-GM):
 (a+b)/2 >= sqrt(ab)
 (a+c)/2 >= sqrt(ac)
 (b+c)/2 >= sqrt(bc)
 e moltiplicando membro a membro dovrebbe venire.
 In ogni caso grazie ancora.
 Andrea

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

A questo link --> <A HREF="http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.p ... 38&forum=5" TARGET="_blank">clicca qui</A> c\'è un mio post in cui spiego in modo a dir poco spartano il bunching e poi uno di ma_go in cui lo spiega bene \"matematicamente\".
 
 In ogni caso le medie sono una soluzione molto più immediata ed elegante, ma a quest\'ora non avevo voglia di pensare... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 02-12-2004 22:50 ]

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Una dimostrazione diretta (previa discussione sui segni)
 puo\' essere la seguente.
 E\' sicuramente:
 x^2>=x^2-(y-z)^2=(x-y+z)(x+y-z)
 y^2>=y^2-(z-x)^2=(y-z+x)(y+z-x)
 z^2>=z^2-(x-y)^2=(z-x+y)(z+x-y)
 E moltiplicando:
 (xyz)^2>=(x-y+z)^2.(y-z+x)^2.(z-x+y)^2
 da cui,essendo xyz>0,risulta:
 (xyz)>=(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)
 
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 04-12-2004 12:38 ]

Hammond · Messaggio da **Hammond** » 01 gen 1970, 01:33

Grazie a tutti dell\'interessamento.
 
 @ Karl: gran bella dimostrazione, non c\'è che dire... quando te la dicono, uno si chiede sempre come abbia fatto a non venirgli in mente <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 Ciao

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Cmq, le soluzioni come quelle di karl sono le migliori...
 Prima ho scritto quella soluzione solo con lo scopo di mostrare quanto nn mi piacciano le soluzioni \'ibride\'!