Calcolare quanto vale
<BR>[2002*sum<sub>i=1,1000</sub>(i/2^i)]
<BR>dove [x] denota la parte intera di x cioè il più grande intero <= a x
<BR>
<BR>EDIT: Avevo sonno, Hitl...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 09-10-2004 13:47 ]
[A] Sommatoria thrilling
Moderatore: tutor
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>[...] dove [x] denota la parte intera di x cioè il più <!-- BBCode Start --><B>piccolo</B><!-- BBCode End --> intero <= x.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Ehm... mi permetterò di supporre che Boll avesse inteso scriverci \"il più grande\"! Questo ragazzo mi procurerà un attacco di cuore, un giorno o l\'altro...
<BR>
<BR>Sia detto a un qualsivoglia numero reale positivo distinto da 1. E allora, l\'equazione: a<sup>x</sup> = 1 ammette una e una sola soluzione per x \\in R, e precisamente è risolta sse x = 0. Dunque, per ogni x \\neq 0 ed ogni n intero > 0: sum[k=0...n] a<sup>kx</sup> = (a<sup>(n+1)x</sup> - 1)/(a<sup>x</sup> - 1), pur di considerare che a primo membro figura la somma dei primi n+1 termini di una progressione geometrica di ragione a<sup>x</sup> \\neq 1.
<BR>
<BR>Ergo, derivando a destra e a sinistra rispetto ad x, supposto x variabile in R<sub>0</sub>, e semplificando alla meglio l\'espressione risultante, si deduce che, per ogni x \\in R<sub>0</sub> ed ogni n \\in N<sub>0</sub>:
<BR>
<BR><center>sum[k=1...n] k · a<sup>kx</sup> = [a<sup>x</sup>/(a<sup>x</sup> - 1)<sup>2</sup>] · [n · a<sup>(n+1)x</sup> - (n+1) · a<sup>nx</sup> + 1].</center>
<BR>
<BR>Di qui, ponendo x = 1 ed a = 1/2, si conclude che, per ogni n intero > 0: sum[k=1...n] k/2<sup>k</sup> = 2 · [n/2<sup>n+1</sup> - (n+1)/2<sup>n</sup> + 1] = 2 · [1 - (n+2)/2<sup>n+1</sup>]; cosicché, detta Floor(-) la funzione che ad ogni x \\in R fa corrispondere la sua parte intera bassa: Floor(2002 · sum[k=1...1000] k/2<sup>k</sup>) = Floor[4004 - (1002 · 4004)/2<sup>1001</sup>] = [Vedi nota <sup>(1)</sup>] = 4004 + Floor[- (1002 · 4004)/2<sup>1001</sup>].
<BR>
<BR>Ora: 0 < (1002 · 4004)/2<sup>1001</sup> < (2<sup>10</sup> · 2<sup>12</sup>)/2<sup>1001</sup> < 1, per cui: - 1 < - (1002 · 4004)/2<sup>1001</sup> < 0, e quindi: Floor[- (1002 · 4004)/2<sup>1001</sup>] = -1. Se ne conclude che: Floor(2002 · sum[k=1...1000] k/2<sup>k</sup>) = 4003.
<BR>
<BR><sup>(1)</sup>: si ricordi che, per ogni n \\in Z ed ogni x \\in R: Floor(n + x) = n + Floor(x).
<BR>
<BR>EDIT: html...
<BR>
<BR>
<BR>\"One must watch the convergence of a numerical code as carefully as a father watching his four year old play near a busy road.\" - J. P. Boyd <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 09-10-2004 11:48 ]
<BR>[...] dove [x] denota la parte intera di x cioè il più <!-- BBCode Start --><B>piccolo</B><!-- BBCode End --> intero <= x.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
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<BR>Ehm... mi permetterò di supporre che Boll avesse inteso scriverci \"il più grande\"! Questo ragazzo mi procurerà un attacco di cuore, un giorno o l\'altro...
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<BR>Sia detto a un qualsivoglia numero reale positivo distinto da 1. E allora, l\'equazione: a<sup>x</sup> = 1 ammette una e una sola soluzione per x \\in R, e precisamente è risolta sse x = 0. Dunque, per ogni x \\neq 0 ed ogni n intero > 0: sum[k=0...n] a<sup>kx</sup> = (a<sup>(n+1)x</sup> - 1)/(a<sup>x</sup> - 1), pur di considerare che a primo membro figura la somma dei primi n+1 termini di una progressione geometrica di ragione a<sup>x</sup> \\neq 1.
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<BR>Ergo, derivando a destra e a sinistra rispetto ad x, supposto x variabile in R<sub>0</sub>, e semplificando alla meglio l\'espressione risultante, si deduce che, per ogni x \\in R<sub>0</sub> ed ogni n \\in N<sub>0</sub>:
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<BR><center>sum[k=1...n] k · a<sup>kx</sup> = [a<sup>x</sup>/(a<sup>x</sup> - 1)<sup>2</sup>] · [n · a<sup>(n+1)x</sup> - (n+1) · a<sup>nx</sup> + 1].</center>
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<BR>Di qui, ponendo x = 1 ed a = 1/2, si conclude che, per ogni n intero > 0: sum[k=1...n] k/2<sup>k</sup> = 2 · [n/2<sup>n+1</sup> - (n+1)/2<sup>n</sup> + 1] = 2 · [1 - (n+2)/2<sup>n+1</sup>]; cosicché, detta Floor(-) la funzione che ad ogni x \\in R fa corrispondere la sua parte intera bassa: Floor(2002 · sum[k=1...1000] k/2<sup>k</sup>) = Floor[4004 - (1002 · 4004)/2<sup>1001</sup>] = [Vedi nota <sup>(1)</sup>] = 4004 + Floor[- (1002 · 4004)/2<sup>1001</sup>].
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<BR>Ora: 0 < (1002 · 4004)/2<sup>1001</sup> < (2<sup>10</sup> · 2<sup>12</sup>)/2<sup>1001</sup> < 1, per cui: - 1 < - (1002 · 4004)/2<sup>1001</sup> < 0, e quindi: Floor[- (1002 · 4004)/2<sup>1001</sup>] = -1. Se ne conclude che: Floor(2002 · sum[k=1...1000] k/2<sup>k</sup>) = 4003.
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<BR><sup>(1)</sup>: si ricordi che, per ogni n \\in Z ed ogni x \\in R: Floor(n + x) = n + Floor(x).
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<BR>EDIT: html...
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<BR>\"One must watch the convergence of a numerical code as carefully as a father watching his four year old play near a busy road.\" - J. P. Boyd <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 09-10-2004 11:48 ]
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>[...] Per ogni n intero > 0: sum[k=1...n] k/2<sup>k</sup> = 2 · [1 - (n+2)/2<sup>n+1</sup>].
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<BR>
<BR>Oh, naturalmente, la formula si può anche dimostrare per via induttiva, evitandosi pertanto il ricorso alle derivate:
<BR>
<BR>i) l\'identità è banale per n = 1, dacché: (sum[k=1...n] k/2<sup>k</sup>)<sub>n = 1</sub> = 1/2, e similmente: (2 · [1 - (n+2)/2<sup>n+1</sup>])<sub>n = 1</sub> = 2 · (1 - 3/4) = 1/2;
<BR>
<BR>ii) supponendone la consistenza per un generico n intero > 0, si trova quindi che: sum[k=1...n+1] k/2<sup>k</sup> = [Dissociando le somme] = sum[k=1...n] k/2<sup>k</sup> + (n+1)/2<sup>n+1</sup> = [Dall\'ipotesi di induzione] = 2 · [1 - (n+2)/2<sup>n+1</sup>] + (n+1)/2<sup>n+1</sup> = 2 - (2n+4)/2<sup>n+1</sup> + (n+1)/2<sup>n+1</sup> = 2 - (n+3)/2<sup>n+1</sup> = 2 · (1 - [(n+1) + 2]/2<sup>(n+1)+1</sup>).
<BR>
<BR>Di qui, per induzione, l\'asserto, q.e.d.
<BR>
<BR>
<BR>\"Ma no, ma no... fra di noi non c\'è nient\'altro che una magnifica amicizia. E poi, scusami... che c\'è di male se gli lavo le mutande? In fondo, lui si tuffa in acqua e mi porta tutti i giorni il pesce ancora vivo!!!\" - la tv <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"><font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 09-10-2004 10:21 ]
<BR>[...] Per ogni n intero > 0: sum[k=1...n] k/2<sup>k</sup> = 2 · [1 - (n+2)/2<sup>n+1</sup>].
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<BR>Oh, naturalmente, la formula si può anche dimostrare per via induttiva, evitandosi pertanto il ricorso alle derivate:
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<BR>i) l\'identità è banale per n = 1, dacché: (sum[k=1...n] k/2<sup>k</sup>)<sub>n = 1</sub> = 1/2, e similmente: (2 · [1 - (n+2)/2<sup>n+1</sup>])<sub>n = 1</sub> = 2 · (1 - 3/4) = 1/2;
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<BR>ii) supponendone la consistenza per un generico n intero > 0, si trova quindi che: sum[k=1...n+1] k/2<sup>k</sup> = [Dissociando le somme] = sum[k=1...n] k/2<sup>k</sup> + (n+1)/2<sup>n+1</sup> = [Dall\'ipotesi di induzione] = 2 · [1 - (n+2)/2<sup>n+1</sup>] + (n+1)/2<sup>n+1</sup> = 2 - (2n+4)/2<sup>n+1</sup> + (n+1)/2<sup>n+1</sup> = 2 - (n+3)/2<sup>n+1</sup> = 2 · (1 - [(n+1) + 2]/2<sup>(n+1)+1</sup>).
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<BR>Di qui, per induzione, l\'asserto, q.e.d.
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<BR>\"Ma no, ma no... fra di noi non c\'è nient\'altro che una magnifica amicizia. E poi, scusami... che c\'è di male se gli lavo le mutande? In fondo, lui si tuffa in acqua e mi porta tutti i giorni il pesce ancora vivo!!!\" - la tv <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"><font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 09-10-2004 10:21 ]
Davvero molto carina questa sommatoria. Peccato che l\'abbia vista solo stamattina, già provvista della puntuale e precisa soluzione di HiTLeuLeR, che mi ha negato di spendere qualche felice momento ragionandoci sopra, magari anche infruttousamente <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>EDIT: Aggiunta una cosettina...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 09-10-2004 13:48 ]
<BR>
<BR>EDIT: Aggiunta una cosettina...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 09-10-2004 13:48 ]
"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow
La mia dimostrazione è identica a quella di Euler e giunge allo stesso risultato, tuttavia non utilizza Analisi (non la conosco <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">) ma solo una serie di passaggi algebrici che mi portava ad avere tante progressioni geometriche, ma la dimostrazione è lunga e non riesco ad allegarla in *.pdf<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 09-10-2004 14:32 ]
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
@Boll: tanto per mettere i puntini sulle \"i\" e sulle \"j\", t\'inviterei a considerare attentamente il fatto che la variante induttiva della soluzione proposta non utilizza in alcun modo gli strumenti dell\'Analisi, per cui...
<BR>
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<BR>\"Ti punirò là dove più ribolle la tua lussuria.\" - Gabriele D\'Annunzio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
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<BR>\"Ti punirò là dove più ribolle la tua lussuria.\" - Gabriele D\'Annunzio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">