Disuguaglianze

[febiz2004]

Ecco a voi un pò di disugaglianze...nn so se le avete ammazzate tutte però...il link è questo http//febiz.altervista.org/olimat/disuguaglianze.pdf<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: febiz2004 il 05-10-2004 22:39 ]

[fph]

Un\'interessante raccoltina di esercizi... ottimo lavoro, c\'e\' bisogno di cose di questo genere. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> . Una cosa: sono ordinati per difficolta\'? A una prima occhiata non parrebbe...
<BR>
<BR>ciao,
<BR>--federico

[karl]

6°es.
<BR>per C.S. si ha:
<BR>a^4/bc+b^4/ca+c^4/ab>=(a^2+b^2+c^2)^2/(bc+ca+ab)=
<BR>=(a^2+b^2+c^2)/(bc+ca+ab)*(a^2+b^2+c^2)>=a^2+b^2+c^2
<BR>perche\' a^2+b^2+c^2>=bc+ca+ab
<BR>
<BR>

[febiz2004]

Li ho messi su così, perchè non avevo tanto tempo... nn riesco neanche piu a riordinarli perkè nn ho piu il tex...va beh insomma <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> buone disuguaglianze

[karl]

4°es.
<BR>Per la media delle potenze risulta:
<BR>(x^2+y^2+z^2)/3>=[(x+y+z)/3]^2
<BR>da cui:
<BR>x^2+y^2+z^2>=(x+y+z)*[(x+y+z)/3]>=(x+y+z)*/(xyz)^(1/3)
<BR>ovvero:
<BR>x^2+y^2+z^2>=x+y+z
<BR>c.v.d.

[Boll]

per il 6 anche bunching.
<BR>
<BR>per il 4
<BR>AM-QM e osservazione che QM>1 per QM-GM e quindi sqrt(QM) < QM
<BR>
<BR>per il 12 (2)
<BR>
<BR>osservi che f(A)=cosA/(1-cosA) è convessa
<BR>
<BR>[f(A)+f(B)+f(C)]/3>=f(A+B+C/3)=f(60)= (1/2)/(1/2)=1
<BR>
<BR>EDIT: Cambiato verso, ti assicuro che ci avevo pensato DB85, ma poi ho ricopiato il verso del foglio perchè credevo fosse un mio errore...
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 06-10-2004 14:09 ]

[DB85]

Per la seconda della 12, Boll la convessità implica che il primo membro sia maggiore di 3, quindi il testo di febiz è sbagliato...
<BR>
<BR>EDIT: Nessun problema Boll! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 06-10-2004 14:18 ]

[karl]

Prima della 5°
<BR>La diseguaglianza si puo\' scrivere anche cosi\':
<BR>(1+1/n)^n>10^(0.3)
<BR>La f(n) del primo membro ,com\'e\' noto dall\'analisi,e\'
<BR>sempre crescente in N-{0} e poiche\' f(1)=2>10^(0.3)
<BR>ne segue la diseguaglianza.

[karl]

Es. n°11
<BR>Si tratta di una classica disuguaglianza di cui posto
<BR>un\'altrettanto classica dimostrazione (per quei pochi che
<BR>non la conoscono).
<BR>La dis. si puo\' scrivere anche cosi\':
<BR>a^2(x-y)(x-z)+b^2(y-z)(y-x)+c^2(z-x)(z-y)>=0
<BR>Poniamo x-y=p,y-z=q,z-x=r---->r=-(p+q)
<BR>A meno di opportune permutazioni si puo\' supporre p,q>=0,r<=0.
<BR>Pertanto,sostituendo,si deve dimostrare che:
<BR>(p+q)(a^2*p+c^2*q)>=b^2*qp
<BR>Ora per C.S. risulta:
<BR>(p+q)(a^2*p+c^2*q)=
<BR>=[(sqrt(p))^2+(sqrt(q))^2]*[(c*sqrt(q))^2+(a*sqrt(p))^2]>=[sqrt(p)*c*sqrt(q)+sqrt(q)*a*sqrt(p)]^2=
<BR>=pq(c+a)^2>=pq*b^2
<BR>q.d.d.
<BR>

[DB85]

<!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://www.thelearningtree.it/esercizio5.gif"><!-- BBCode End -->
<BR>

[Boll]

EDIT: giustamente karl confutò
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 07-10-2004 15:27 ]

[karl]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-10-07 14:57, Boll wrote:
<BR>Per la 7 (non se sono così convinto ma la rischio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">)
<BR>svolgendo i calcoli abbiamo
<BR>[(a²+ac)+(bc+ab)]/2>= sqrt(abc(a+b+c))
<BR>per AM-GM abbiamo
<BR>[(a²+ac)+(bc+ab)]/2>= sqrt(abc(a+b+c)+a³b)>= sqrt(abc(a+b+c) per la positività di a e b
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>ma non e\':
<BR>[(a^2+ac)+(ab+bc)]/2>=sqrt[abc(2a+c)+a^3b] ?
<BR>Salvo errori da parte mia.

[karl]

La n°8 e\' errata;infatti per x=1,y=2,z=3 risulta:
<BR>3(2+4+9)(4+18+3)>=6*6³
<BR>ovvero :1125>=1296
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 08-10-2004 22:06 ]

[Boll]

nella 8 credo si possa facilmente considerare il primo membro
<BR>3(sum_cyclicx²y)(sum_cyclicxy²)
<BR>è chiaro che c\'è un errore di battitura