Disuguaglianze
Moderatore: tutor
Un\'interessante raccoltina di esercizi... ottimo lavoro, c\'e\' bisogno di cose di questo genere. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> . Una cosa: sono ordinati per difficolta\'? A una prima occhiata non parrebbe...
<BR>
<BR>ciao,
<BR>--federico
<BR>
<BR>ciao,
<BR>--federico
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
per il 6 anche bunching.
<BR>
<BR>per il 4
<BR>AM-QM e osservazione che QM>1 per QM-GM e quindi sqrt(QM) < QM
<BR>
<BR>per il 12 (2)
<BR>
<BR>osservi che f(A)=cosA/(1-cosA) è convessa
<BR>
<BR>[f(A)+f(B)+f(C)]/3>=f(A+B+C/3)=f(60)= (1/2)/(1/2)=1
<BR>
<BR>EDIT: Cambiato verso, ti assicuro che ci avevo pensato DB85, ma poi ho ricopiato il verso del foglio perchè credevo fosse un mio errore...
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 06-10-2004 14:09 ]
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<BR>per il 4
<BR>AM-QM e osservazione che QM>1 per QM-GM e quindi sqrt(QM) < QM
<BR>
<BR>per il 12 (2)
<BR>
<BR>osservi che f(A)=cosA/(1-cosA) è convessa
<BR>
<BR>[f(A)+f(B)+f(C)]/3>=f(A+B+C/3)=f(60)= (1/2)/(1/2)=1
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<BR>EDIT: Cambiato verso, ti assicuro che ci avevo pensato DB85, ma poi ho ricopiato il verso del foglio perchè credevo fosse un mio errore...
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 06-10-2004 14:09 ]
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
Per la seconda della 12, Boll la convessità implica che il primo membro sia maggiore di 3, quindi il testo di febiz è sbagliato...
<BR>
<BR>EDIT: Nessun problema Boll! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 06-10-2004 14:18 ]
<BR>
<BR>EDIT: Nessun problema Boll! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 06-10-2004 14:18 ]
"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow
Es. n°11
<BR>Si tratta di una classica disuguaglianza di cui posto
<BR>un\'altrettanto classica dimostrazione (per quei pochi che
<BR>non la conoscono).
<BR>La dis. si puo\' scrivere anche cosi\':
<BR>a^2(x-y)(x-z)+b^2(y-z)(y-x)+c^2(z-x)(z-y)>=0
<BR>Poniamo x-y=p,y-z=q,z-x=r---->r=-(p+q)
<BR>A meno di opportune permutazioni si puo\' supporre p,q>=0,r<=0.
<BR>Pertanto,sostituendo,si deve dimostrare che:
<BR>(p+q)(a^2*p+c^2*q)>=b^2*qp
<BR>Ora per C.S. risulta:
<BR>(p+q)(a^2*p+c^2*q)=
<BR>=[(sqrt(p))^2+(sqrt(q))^2]*[(c*sqrt(q))^2+(a*sqrt(p))^2]>=[sqrt(p)*c*sqrt(q)+sqrt(q)*a*sqrt(p)]^2=
<BR>=pq(c+a)^2>=pq*b^2
<BR>q.d.d.
<BR>
<BR>Si tratta di una classica disuguaglianza di cui posto
<BR>un\'altrettanto classica dimostrazione (per quei pochi che
<BR>non la conoscono).
<BR>La dis. si puo\' scrivere anche cosi\':
<BR>a^2(x-y)(x-z)+b^2(y-z)(y-x)+c^2(z-x)(z-y)>=0
<BR>Poniamo x-y=p,y-z=q,z-x=r---->r=-(p+q)
<BR>A meno di opportune permutazioni si puo\' supporre p,q>=0,r<=0.
<BR>Pertanto,sostituendo,si deve dimostrare che:
<BR>(p+q)(a^2*p+c^2*q)>=b^2*qp
<BR>Ora per C.S. risulta:
<BR>(p+q)(a^2*p+c^2*q)=
<BR>=[(sqrt(p))^2+(sqrt(q))^2]*[(c*sqrt(q))^2+(a*sqrt(p))^2]>=[sqrt(p)*c*sqrt(q)+sqrt(q)*a*sqrt(p)]^2=
<BR>=pq(c+a)^2>=pq*b^2
<BR>q.d.d.
<BR>
<!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://www.thelearningtree.it/esercizio5.gif"><!-- BBCode End -->
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"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-10-07 14:57, Boll wrote:
<BR>Per la 7 (non se sono così convinto ma la rischio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">)
<BR>svolgendo i calcoli abbiamo
<BR>[(a<sup>2</sup>+ac)+(bc+ab)]/2>= sqrt(abc(a+b+c))
<BR>per AM-GM abbiamo
<BR>[(a<sup>2</sup>+ac)+(bc+ab)]/2>= sqrt(abc(a+b+c)+a<sup>3</sup>b)>= sqrt(abc(a+b+c) per la positività di a e b
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>ma non e\':
<BR>[(a^2+ac)+(ab+bc)]/2>=sqrt[abc(2a+c)+a^3b] ?
<BR>Salvo errori da parte mia.
<BR>On 2004-10-07 14:57, Boll wrote:
<BR>Per la 7 (non se sono così convinto ma la rischio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">)
<BR>svolgendo i calcoli abbiamo
<BR>[(a<sup>2</sup>+ac)+(bc+ab)]/2>= sqrt(abc(a+b+c))
<BR>per AM-GM abbiamo
<BR>[(a<sup>2</sup>+ac)+(bc+ab)]/2>= sqrt(abc(a+b+c)+a<sup>3</sup>b)>= sqrt(abc(a+b+c) per la positività di a e b
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>ma non e\':
<BR>[(a^2+ac)+(ab+bc)]/2>=sqrt[abc(2a+c)+a^3b] ?
<BR>Salvo errori da parte mia.