Propedeutica N° 2
Moderatore: tutor
<!-- BBCode Start --><B>
<BR>A)Dimostrare che :
<BR><font color=red>(a+2b+3c)<sup>3</sup> <(a<sup>3</sup>+9)(b<sup>3</sup>+9)(c<sup>3</sup>+9) </font>
<BR>dove a,b,c sono reali non negativi.
<BR>
<BR>B)Dimostrare ch l\'equazione:
<BR><font color =red>7x<sup>3</sup>+2=y<sup>3</sup> </font>
<BR>non ha soluzioni in N.
<BR>
<BR>C)Si consideri l\'quazione: x<sup>3</sup>-3x-4=0
<BR>e siano X1,X2,X3 le sue radici.
<BR>Posto y=x<sup>2</sup>+x+1 e detti Y1,Y2,Y3 i valori
<BR>di y corrispondendi ad X1,X2,X3 rispettivamente,
<BR>dimostrare che:
<BR><font color=red>Y1<sup>3</sup>+Y2<sup>3</sup>+Y3<sup>3</sup>=513</font>
<BR>
<BR>D)Nel quadrilatero ciclico ABCD le bisettrici degli angoli
<BR>ABC e DCB si intersecano in un medesimo punto di AD.
<BR>Dimostrare che :
<BR> <font color=red> AD=AB+CD</font >
<BR></B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 15-09-2004 15:51 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 16-09-2004 16:41 ]
<BR>A)Dimostrare che :
<BR><font color=red>(a+2b+3c)<sup>3</sup> <(a<sup>3</sup>+9)(b<sup>3</sup>+9)(c<sup>3</sup>+9) </font>
<BR>dove a,b,c sono reali non negativi.
<BR>
<BR>B)Dimostrare ch l\'equazione:
<BR><font color =red>7x<sup>3</sup>+2=y<sup>3</sup> </font>
<BR>non ha soluzioni in N.
<BR>
<BR>C)Si consideri l\'quazione: x<sup>3</sup>-3x-4=0
<BR>e siano X1,X2,X3 le sue radici.
<BR>Posto y=x<sup>2</sup>+x+1 e detti Y1,Y2,Y3 i valori
<BR>di y corrispondendi ad X1,X2,X3 rispettivamente,
<BR>dimostrare che:
<BR><font color=red>Y1<sup>3</sup>+Y2<sup>3</sup>+Y3<sup>3</sup>=513</font>
<BR>
<BR>D)Nel quadrilatero ciclico ABCD le bisettrici degli angoli
<BR>ABC e DCB si intersecano in un medesimo punto di AD.
<BR>Dimostrare che :
<BR> <font color=red> AD=AB+CD</font >
<BR></B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 15-09-2004 15:51 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 16-09-2004 16:41 ]
B) Se y è multiplo di 7, allora y<sup>3</sup> = 0 mod 7; viceversa, se y è primo con 7, essendo phi(7) = 6: y<sup>3</sup> = y<sup>phi(7)/2</sup> = +/- 1 mod 7, in funzione del fatto che y risulti o meno residuo quadratico di 7. Da ciò si deduce che l\'equazione modulare: 2 = y<sup>3</sup> mod 7 non ammette alcuna soluzione per y intero, e quest\'è sufficiente per concludere che la diofantea: 7x<sup>k</sup> + 2 = y<sup>3</sup> non è risolubile in Z, per ogni k intero >= 0.
<BR>
<BR>Essendo n un intero positivo, ricordo a tal proposito che, se una diofantea della forma Q(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>) = 0 ammette soluzione per x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub> variabili sugli interi, ove Q(-) appartiene all\'anello dei polinomi in n variabili a coefficienti in Z, allora l\'equazione modulare: Q(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>) = 0 mod m è risolubile, <!-- BBCode Start --><I>per ogni</I><!-- BBCode End --> m intero diverso da 0.
<BR>
<BR>EDIT: phi(-) denota qui la totiente di Eulero, avevo dimenticato di precisarlo!
<BR>
<BR>
<BR>\"Nil sapientiae odiosius acumine nimio.\" - Seneca<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 16-09-2004 11:24 ]
<BR>
<BR>Essendo n un intero positivo, ricordo a tal proposito che, se una diofantea della forma Q(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>) = 0 ammette soluzione per x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub> variabili sugli interi, ove Q(-) appartiene all\'anello dei polinomi in n variabili a coefficienti in Z, allora l\'equazione modulare: Q(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>) = 0 mod m è risolubile, <!-- BBCode Start --><I>per ogni</I><!-- BBCode End --> m intero diverso da 0.
<BR>
<BR>EDIT: phi(-) denota qui la totiente di Eulero, avevo dimenticato di precisarlo!
<BR>
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<BR>\"Nil sapientiae odiosius acumine nimio.\" - Seneca<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 16-09-2004 11:24 ]
B)
<BR>L\'equazione risulta avere soluzione negli interi solo se y^3 == 2 mod7
<BR>Ricordando che i residui cubici di 7 sono -1,0,1, si conclude che l\'identità è impossibile.
<BR>
<BR>C)
<BR>Karl mi esce 513, puoi ricontrollare i dati? (anche se sicuramente lo sbaglio è mio)...
<BR>
<BR>P.S.: Anche stamattina mi son fatto fregare!
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 16-09-2004 11:37 ]
<BR>L\'equazione risulta avere soluzione negli interi solo se y^3 == 2 mod7
<BR>Ricordando che i residui cubici di 7 sono -1,0,1, si conclude che l\'identità è impossibile.
<BR>
<BR>C)
<BR>Karl mi esce 513, puoi ricontrollare i dati? (anche se sicuramente lo sbaglio è mio)...
<BR>
<BR>P.S.: Anche stamattina mi son fatto fregare!
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 16-09-2004 11:37 ]
"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow
D\'oooh... Battuto sul tempo!?
<BR>
<BR>
<BR>\"[...] La sua saggezza non ha <!-- BBCode Start --><I>stamen</I><!-- BBCode End -->: è tutto testa e niente corpo, come i ritratti della dea Laverna, o - se preferisce - tutta testa e tronco, come un merluzzo. Ma dopo tutto, è un brav\'uomo. Mi è simpatico soprattutto per quel suo tocco magistrale di gergo che gli ha valso la sua reputazione di genio. Intendo il modo che ha <!-- BBCode Start --><I>de nier ce qui est, et d\'expliquer ce qui n\'est pas</I><!-- BBCode End -->.\" - Edgar Allan Poe, da <!-- BBCode Start --><I>I delitti della via Morgue</I><!-- BBCode End --> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 16-09-2004 11:22 ]
<BR>
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<BR>\"[...] La sua saggezza non ha <!-- BBCode Start --><I>stamen</I><!-- BBCode End -->: è tutto testa e niente corpo, come i ritratti della dea Laverna, o - se preferisce - tutta testa e tronco, come un merluzzo. Ma dopo tutto, è un brav\'uomo. Mi è simpatico soprattutto per quel suo tocco magistrale di gergo che gli ha valso la sua reputazione di genio. Intendo il modo che ha <!-- BBCode Start --><I>de nier ce qui est, et d\'expliquer ce qui n\'est pas</I><!-- BBCode End -->.\" - Edgar Allan Poe, da <!-- BBCode Start --><I>I delitti della via Morgue</I><!-- BBCode End --> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 16-09-2004 11:22 ]
Sì, anche ieri nel rispondere al tuo messaggio alchemico sono stato battuto sul tempo, e sempre da novecento. Che ci posso fare, è più mattiniero di me... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 16-09-2004 11:23 ]
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 16-09-2004 11:23 ]
"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow
- psion_metacreativo
- Messaggi: 645
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Anche a me nell\'esercizio c) torna 513 come a DB85:
<BR>
<BR>Y^3 = x^6 + 3x^5 + 6x^4 + 7x^3 +6x^2 + 3x +1
<BR>
<BR>Da cui:
<BR>
<BR>y1^3 + y2^3 + y3^3 = S6 + 3S5 + 6S4 + 7S3 + 6S2 + 3S + 3 (1)
<BR>
<BR>Dove sfruttando le relazioni radici coefficenti del polinomio monico
<BR>
<BR>p(x)= x^3 - 3x - 4
<BR>
<BR>abbiamo:
<BR>
<BR>P=X1X2X3= 4
<BR>Q= X1X2 + X1X3 + X2X3 = -3
<BR>S= X1 + X2 + X3 = 0
<BR>S2= X1^2 + X2^2 + X3^2 = -2Q = 6
<BR>S3= X1^3 + X2^3 + X3^3 = 3P = 12
<BR>S4= X1^4 + X2^4 + X3^4 = -QS2 = 18
<BR>S5= X1^5 + X2^5 + X3^5 = -QS3 + PS2 = 60
<BR>S6= X1^6 + X2^6 + X3^6 = -QS4 + PS3 = 102
<BR>
<BR>Da cui sostituendo nella (1) otteniamo:
<BR>
<BR>Y1^3 + Y2^3 + Y3^3 = 102 + 3*60 + 6*18 + 7*12 +6*6 +3 = 513
<BR>
<BR>Y^3 = x^6 + 3x^5 + 6x^4 + 7x^3 +6x^2 + 3x +1
<BR>
<BR>Da cui:
<BR>
<BR>y1^3 + y2^3 + y3^3 = S6 + 3S5 + 6S4 + 7S3 + 6S2 + 3S + 3 (1)
<BR>
<BR>Dove sfruttando le relazioni radici coefficenti del polinomio monico
<BR>
<BR>p(x)= x^3 - 3x - 4
<BR>
<BR>abbiamo:
<BR>
<BR>P=X1X2X3= 4
<BR>Q= X1X2 + X1X3 + X2X3 = -3
<BR>S= X1 + X2 + X3 = 0
<BR>S2= X1^2 + X2^2 + X3^2 = -2Q = 6
<BR>S3= X1^3 + X2^3 + X3^3 = 3P = 12
<BR>S4= X1^4 + X2^4 + X3^4 = -QS2 = 18
<BR>S5= X1^5 + X2^5 + X3^5 = -QS3 + PS2 = 60
<BR>S6= X1^6 + X2^6 + X3^6 = -QS4 + PS3 = 102
<BR>
<BR>Da cui sostituendo nella (1) otteniamo:
<BR>
<BR>Y1^3 + Y2^3 + Y3^3 = 102 + 3*60 + 6*18 + 7*12 +6*6 +3 = 513
Il risultato della C e\' effettivamente 513.Un mio banalissimo
<BR>errore di calcolo.A parte questo,la mia risoluzione
<BR>non tiene conto( se non in minima parte) delle relazioni
<BR>simmetriche che spesso sono lunghe da ricordare o,peggio
<BR>ancora ,da ricavare.
<BR>Ci sono ancora i quesiti A) e D) ,entrambi relativamente
<BR>facili.In realta\' la A e\' un Holder ....camuffato e la D
<BR>e\' un mio.. riarrangiamento di un vecchio problema .
<BR>
<BR>errore di calcolo.A parte questo,la mia risoluzione
<BR>non tiene conto( se non in minima parte) delle relazioni
<BR>simmetriche che spesso sono lunghe da ricordare o,peggio
<BR>ancora ,da ricavare.
<BR>Ci sono ancora i quesiti A) e D) ,entrambi relativamente
<BR>facili.In realta\' la A e\' un Holder ....camuffato e la D
<BR>e\' un mio.. riarrangiamento di un vecchio problema .
<BR>
sì anche la mia nn utilizza le relazioni simmetriche... è un po\' più intuitiva. Si basa sul fatto che se a,b,c sono le radici del trinomio, allora
<BR>
<BR>a^3=3a-4 ---> a^4=3a^2+4a ---> a^5=9a+12+4a^2 ---> a^6=(3a-4)^2
<BR>b^3=3b-4 ---> come sopra
<BR>...
<BR>
<BR>poi essendo a+b+c=0 ---> a^2+b^2+c^2=6
<BR>Da qui si ha tutto per svolgere i calcoli
<BR>
<BR>a^3=3a-4 ---> a^4=3a^2+4a ---> a^5=9a+12+4a^2 ---> a^6=(3a-4)^2
<BR>b^3=3b-4 ---> come sopra
<BR>...
<BR>
<BR>poi essendo a+b+c=0 ---> a^2+b^2+c^2=6
<BR>Da qui si ha tutto per svolgere i calcoli
"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
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Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
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Per chi avesse risolto il quesito A ,posto la mia
<BR>soluzione per un eventuale confronto.
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/prop2.bmp"><!-- BBCode End -->
<BR>soluzione per un eventuale confronto.
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/prop2.bmp"><!-- BBCode End -->