[+] La serie degli inversi dei binomiali centrali.

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Start --><B>CAVEAT LECTOR.</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Bene, bene... Intendo qui di seguito discutere il problemone di Analisi proposto da giuliaccio all\'indirizzo:
<BR>
<BR>http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.p ... =5&start=0
<BR>
<BR>Si tratta del nono post della pagina, il penultimo dal basso. Più che palesare la massima parte dei passaggi necessari per la risoluzione del problema, non so proprio cos\'altro inventarmi per rendere umanamente comprensibile il senso della follia di cui voi pure, a breve, diverrete testimoni! E i più \"piccoli\" non si abbattano se, come temo inevitabile, non dovessero riuscire - a dispetto delle mie buone intenzioni e degli sforzi profusi - a venire a capo di questo torbido delirio... Vi consoli l\'idea ch\'esiste gente di cui non oso fare il nome (metafisic, appunto!!!) che, nonostante gli studi di Matematica condotti, troverà difficile persino identificare i simboli e riconoscere alcuni teoremi... <!-- BBCode Start --><I>Au propose</I><!-- BBCode End -->, spregevole essere inutile, permittimi di darti un consiglio: la prossima volta che proponi un problema così lontano dal medio target olimpico, cerca prima di tutto di risolverlo e, qualora ti risultasse un po\' troppo ostico, evitati magari di postarlo su questo forum e soprattutto risparmiati dall\'indirizzarlo al sottoscritto! Mi hai <!-- BBCode Start --><I>obbligato</I><!-- BBCode End --> a perdere un sacco di tempo, ché - ahimé - amo le sfide e non so proprio resistere di fronte al fascino di così splendidi problemi! Sigh sob... Manca soltanto che tu ti metta a chiedere in giro la dimostrazione dell\'omeomorfismo fra il toro 2-dimensionale e lo spettro dell\'algebra delle funzioni C<sup>inf</sup>(R<sup>2</sup>) 1-periodiche lungo ambedue le direzioni assiali!!! Poi davvero saremmo tutti a posto, inutile...
<BR>
<BR>Bene, dopo lo sfogo, riconquistiamo la calma! Ho pensato di segmentare la soluzione che intendo proporvi, poiché molto lunga e articolata, oltre che... particolarmente <!-- BBCode Start --><I>complessa</I><!-- BBCode End -->, diciamo pure così... Beh, ciò premesso, non mi resta granché da aggiungere, a parte augurarvi buona lettura e un grosso in bocca al lupo... Ah, sì, quasi dimenticavo... tenete a portata di mano il cellulare e il numero della neuro: non si sa mai, potrebbero tornare utili!!!
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>NOTA</B><!-- BBCode End -->: nel seguito, per semplificarmi la scrittura e complicarvi la vita, userò correntemente la notazione \"->\" onde indicare il simbolo di appartenza insiemistica. CiaU...
<BR>
<BR>
<BR>\"La Matematica non è ancora pronta per affrontare certi problemi.\" - Paul Erdös

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Start --><B>LA GAMMA DI EULERO.</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>E\' detta gamma di Eulero la funzione g(-): ]0, +inf[ ---> R: x ---> int<sub>0...+inf</sub> e<sup>-t</sup> t<sup>x-1</sup> dt. Sfruttando il criterio di sostituzione degli infinitesimi, si dimostra che, in effetti, l\'intervallo ]0, +inf[ è il più ampio sottoinsieme di R in cui sia garantita l\'esistenza di una tale funzione, ossia l\'insieme massimale di convergenza dell\'integrale improprio int<sub>0...+inf</sub> e<sup>-t</sup> t<sup>x-1</sup> dt che analiticamente la definisce. Si osservi esplicitamente che la condizione critica di convergenza si realizza non tanto all\'infinito, quanto piuttosto sul fronte dell\'origine, in ragione della peculiare natura della funzione integranda. Orbene, intendiamo mostrare che:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Lemma H.1</B><!-- BBCode End -->: per ogni n intero positivo: g(n) = (n - 1)!.
<BR>
<BR>Dim.: ragioniamo per induzione. Se n = 1, l\'asserto è prontamente verificato, in quanto: g(1) := int<sub>0...+inf</sub> e<sup>-t</sup> dt = [e<sup>-t</sup>]<sub>+inf</sub><sup>0</sup> = 1 - lim<sub>t --> +inf</sub> e<sup>-t</sup> = 1 =: 0!. D\'altra parte, assumendo che la tesi sia soddisfatta per un generico n appartenente ad N<sub>0</sub>: g(n+1) := int<sub>0...+inf</sub> e<sup>-t</sup> t<sup>n</sup> dt = [Integrando per parti] = [-e<sup>-t</sup> t<sup>n</sup>]<sub>0</sub><sup>+inf</sup> + n · int<sub>0...+inf</sub> e<sup>-t</sup> t<sup>n-1</sup> dt =: 0 + n · g(n) = [Per ipotesi] = n · (n-1)! = n!, da cui - per induzione - l\'asserto, q.e.d.
<BR>
<BR>Il lemma precedente esprime una proprietà essenziale della gamma di Eulero, che suggerisce - tramite questa funzione - la possibilità d\'estendere, per interpolazione, l\'ordinaria nozione di fattoriale. Ma non indugiamo oltre, ché resta ancora molto da dire prima della fine di quest\'agonia...
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Lemma H.2</B><!-- BBCode End -->: qualunque sia n intero positivo: g(n + 1/2) = g(1/2) · [(2n - 1)!!]/2<sup>n</sup>, ove m!! denota l\'emifattoriale di m, per ogni m intero >= 0.
<BR>
<BR>Dim.: ancora induzione. Se n = 1, il lemma è banalmente soddisfatto, dacché: g(1 + 1/2) := int<sub>0...+inf</sub> e<sup>-t</sup> t<sup>1/2</sup> dt = [Integrando per parti] = [-e<sup>-t</sup> t<sup>1/2</sup>]<sub>0</sub><sup>+inf</sup> + 1/2 · int<sub>0...+inf</sub> e<sup>-t</sup> t<sup>1/2 - 1</sup> dt =: 1/2 · g(1/2) = g(1/2) · [(2 - 1)!!]/2<sup>1</sup>. Ammettiamo dunque per valida la tesi in corrispondenza di un generico n -> N<sub>0</sub>, e osserviamo che:
<BR>
<BR>g((n + 1) + 1/2) := int<sub>0...+inf</sub> e<sup>-t</sup> t<sup>n + 1/2</sup> dt = [Integrando per parti] = [-e<sup>-t</sup> t<sup>n + 1/2</sup>]<sub>0</sub><sup>+inf</sup> + (n + 1/2) · int<sub>0...+inf</sub> e<sup>-t</sup> t<sup>n + 1/2 -1</sup> dt =: 0 + [(2n + 1)/2] · g(n + 1/2) = [Per ipotesi] = [(2n + 1)/2] · g(1/2) · [(2n - 1)!!]/2<sup>n</sup> = g(1/2) · ([2(n + 1) - 1]!!)/2<sup>n+1</sup>, da cui - per induzione - l\'asserto, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Lemma H.3</B><!-- BBCode End -->: g(1/2) = sqrt(Pi).
<BR>
<BR>Dim.: per definizione: g(1/2) := int<sub>0...+inf</sub> e<sup>-t</sup> t<sup>-1/2</sup> dt = int<sub>0...+inf</sub> e<sup>-t</sup>/sqrt(t) dt. E allora, ponendo sqrt(t) = u, ovvero: t = u<sup>2</sup>, e quindi: dt/sqrt(t) = 2 du, si deriva - per sostituzione - che: g(1/2) = 2 · int<sub>0...+inf</sub> e<sup>-u^2</sup> du, ossia che g(1/2) è proporzionale all\'integrale di Poisson int<sub>0...+inf</sub> e<sup>-u^2</sup> du, notoriamente convergente al valore sqrt(Pi)/2. Perciò, in definitiva: g(1/2) = sqrt(Pi), q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Lemma H.4</B><!-- BBCode End -->: qualunque sia n -> N<sub>0</sub>: g(n + 1/2) = sqrt(Pi) · [(2n - 1)!!]/2<sup>n</sup>.
<BR>
<BR>Dim.: per ogni n intero positivo: g(n + 1/2) = [In base al lemma (H.2)] = g(1/2) · [(2n - 1)!!]/2<sup>n</sup> = [In accordo al lemma (H.3)] = sqrt(Pi) · [(2n - 1)!!]/2<sup>n</sup>, q.e.d.
<BR>
<BR>Ora, così come introdotta, la gamma di Eulero può essere estesa analiticamente al semipiano D := {z -> C: Re(z) > 0}. E\' sufficiente osservare, in proposito, che l\'integrale improprio int<sub>0...+inf</sub> e<sup>-t</sup> t<sup>z-1</sup> dt, ove z si ammette adesso variabile in C, è assolutamente convergente in D; e susseguentemente che la funzione G(-): D ---> C: z ---> int<sub>0...+inf</sub> e<sup>-t</sup> t<sup>z-1</sup> dt è derivabile in senso complesso nel suo insieme di definizione; di modo che, per il principio d\'identità delle funzioni olomorfe (teorema di Hartogs, presso alcuni autori), G(-) rappresenta l\'estensione analitica in D della gamma di Eulero, poiché G(z)<sub>z = x</sub> = g(x), per ogni x -> R+ (si noti esplicitamente, a questo proposito, che R+ è un sottoinsieme topologicamente connesso di C).
<BR>
<BR>Di qui innanzi, ond\'evitare ulteriori ridondanze, scriveremo perciò g(z) ad indicare il valore assunto dall\'integrale complesso int<sub>0...+inf</sub> e<sup>-t</sup> t<sup>z-1</sup> dt quando z è variabile in D. Orbene, integrando adesso per parti, si trova che, per ogni z -> D: g(z) := int<sub>0...+inf</sub> e<sup>-t</sup> t<sup>z-1</sup> dt = [e<sup>-t</sup> · t<sup>z</sup>/z] + 1/z · int<sub>0...+inf</sub> e<sup>-t</sup> t<sup>z</sup> dt =: 1/z · g(z + 1), per cui: g(z + 1) = z · g(z). Ora, al membro di sinistra della relazione così ottenuta figura una funzione analitica per ogni z complesso tale che Re(z + 1) > 0, ovvero Re(z) > -1, là dove viceversa a secondo membro compare una funzione analitica per Re(z) > 0. Invocando ancora una volta il teorema di Hartogs, l\'identità appena stabilita suggerisce pertanto la possibilità di estendere analiticamente la gamma di Eulero alla striscia S := {z -> C: -1 < Re(z) <= 0}\\{0}, semplicemente ponendo: g(z) := 1/z · g(z + 1), per ogni z appartenente ad S (come già in precedenza nel caso della semiretta R+, vi evidenzio il fatto che S rappresenta un sottoinsieme topologicamente connesso di C). Ne discende - in particolare - il seguente:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Lemma H.5</B><!-- BBCode End -->: g(-1/2) = -2 · sqrt(Pi).
<BR>
<BR>Dim.: secondo definizione: g(-1/2) := 1/(-1/2) · g(-1/2 + 1) = -2 · g(1/2) = [In base al lemma (H.3)] = -2 · sqrt(Pi), q.e.d.
<BR>
<BR>Bene, poste queste indispensabili premesse, mettiamo un attimo da parte ogni ulteriore considerazione circa la gamma di Eulero e passiamo ad introdurre le serie ipergeometriche... Giulio, sei proprio inutile!!! Dunque...
<BR>
<BR>
<BR>\"Un\'equazione altro per me non esprime che non un pensiero di Dio.\" - Srinivasa Ramanujan<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 22-09-2004 01:55 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Start --><B>SERIE E FUNZIONI IPERGEOMETRICHE.</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Sia {c<sub>n</sub>: n naturale} una successione numerica a valori in R tale ch\'esistano p + q parametri reali a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>p</sub>, b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, ..., b<sub>q</sub>, essendo p e q opportunamente fissati in N<sub>0</sub>, tali che, per ogni n intero naturale: c<sub>n+1</sub>/c<sub>n</sub> = [(n + a<sub>1</sub>)(n + a<sub>2</sub>)...(n + a<sub>p</sub>)]/[(n + b<sub>1</sub>)(n + b<sub>2</sub>)...(n + b<sub>p</sub>)(n+1)], posto di assumere che b<sub>k</sub>, là dove intero, sia nondimeno positivo, qual che sia k = 1, 2, ..., q.
<BR>
<BR>Su questi presupposti, la serie di potenze sum<sub>n = 0...+inf</sub> c<sub>n</sub>x<sup>n</sup>, con x variabile in R, è detta <!-- BBCode Start --><I>serie ipergeometrica</I><!-- BBCode End --> (reale) di coefficienti c<sub>0</sub>, c<sub>1</sub>, ..., c<sub>n</sub>, ...; e la sua somma, definita nel sottoinsieme X massimale di R ove la serie è convergente (in effetti, un intervallo contenente l\'origine), prende il nome di <!-- BBCode Start --><I>funzione ipergeometrica</I><!-- BBCode End --> di ordine (p, q) e di parametri a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>p</sub>, b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, ..., b<sub>q</sub>, classicamente indicata con <sub>p</sub>F<sub>q</sub>[a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>p</sub>; b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, ..., b<sub>q</sub>; x].
<BR>
<BR>Valgono i seguenti risultati fondamentali, che tuttavia mi limito qui semplicemente ad enunciare:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Teorema ipergeometrico di Gauss</B><!-- BBCode End -->: per ogni a, b, c appartenenti ad R tali che c - a - b > 0: <sub>2</sub>F<sub>1</sub>[a, b; c; 1] = [g(c) · g(c - a - b)]/[g(c - a) · g(c - b)], ove g(-) rappresenta - al solito - la gamma di Eulero.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Identità di Nørlund</B><!-- BBCode End -->: sia n un intero positivo. E allora, comunque fissati 2n + 1 numeri reali a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>n+1</sub>, b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, ..., b<sub>n</sub> tali che b<sub>k</sub>, là dove intero, sia nondimeno positivo, qual che sia k = 1, 2, ..., q:
<BR>
<BR><sub>n+1</sub>F<sub>n</sub>[a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>n+1</sub>; b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, ..., b<sub>n</sub>; xy] = (1 - y)<sup>-a_1</sup> · sum<sub>k = 0...+inf</sub> [(a<sub>1</sub>)<sub>k</sub>/k!] · <sub>n+1</sub>F<sub>n</sub>[-k, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>n+1</sub>; b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, ..., b<sub>n</sub>; x] · [y/(y - 1)]<sup>k</sup>.
<BR>
<BR>ove (a<sub>1</sub>)<sub>k</sub> indica il simbolo di Pochhammer di ordine k relativo ad a<sub>1</sub> e l\'identità s\'intende verificata per ogni coppia (x, y) di numeri reali tali che sia y < 1 ed xy appartenente all\'intervallo di convergenza della serie ipergeometrica associata alla funzione a primo membro.
<BR>
<BR>E veniamo così finalmente alla soluzione del problema...
<BR>
<BR>EDIT: piccolissima puntualizzazione tecnica!
<BR>
<BR>
<BR>\"L\'unico modo per imparare la Matematica è di <!-- BBCode Start --><I>fare</I><!-- BBCode End --> Matematica.\" - Paul Halmos<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 22-09-2004 13:59 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Start --><B>IL PROBLEMA.</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Per ogni n intero naturale, poniamo c<sub>n</sub> := 4<sup>n</sup>/Bin(2n, n), ove Bin(2n, n) indica il binomiale centrale di ordine 2n. Il calcolo non mancherà di dimostrarvi che, qualunque sia n -> N: c<sub>n+1</sub>/c<sub>n</sub> = (n + 1)<sup>2</sup>/[(n + 1/2) · (n + 1)]; onde dedurne che la serie
<BR>sum<sub>n = 0...+inf</sub> 1/Bin(2n, n) altro non rappresenta che il valore assunto in x<sub>0</sub> := 1/4 dalla funzione ipergeometrica <sub>2</sub>F<sub>1</sub>[1, 1; 1/2; x] := sum<sub>n = 0...+inf</sub> [4<sup>n</sup>/Bin(2n, n)] · x<sup>n</sup>, definita e ben posta per x -> ]-1, 1[, sì come deducibile applicando (ad esempio) il criterio di convergenza di D\'Alembert e qualche considerazione ulteriore sul comportamento del termine generale in corrispondenza degli estremi dell\'intervallo indicato. E allora:
<BR>
<BR>sum<sub>n = 0...+inf</sub> 1/Bin(2n, n) = <sub>2</sub>F<sub>1</sub>[1, 1; 1/2; 1/4] = [In base all\'identità di Nørlund] =
<BR>= [1/(1 - 1/4)] · sum<sub>k = 0...+inf</sub> [(1)<sub>k</sub>/k!] · <sub>2</sub>F<sub>1</sub>[-k, 1; 1/2; 1] · [(1/4)/(1/4 - 1)]<sup>k</sup> = 4/3 · sum<sub>k = 0...+inf</sub> <sub>2</sub>F<sub>1</sub>[-k, 1; 1/2; 1] · (- 1/3)<sup>k</sup> = 4/3 · {<sub>2</sub>F<sub>1</sub>[0, 1; 1/2; 1] - 1/3 · <sub>2</sub>F<sub>1</sub>[-1, 1; 1/2; 1] + sum<sub>k = 2...+inf</sub> (-1)<sup>k</sup> · <sub>2</sub>F<sub>1</sub>[-k, 1; 1/2; 1]/3<sup>k</sup>}
<BR>
<BR>pur di considerare che, per ogni indice k naturale: [(1)<sub>k</sub>/k!] := g(1 + k)/g(1) = [In virtù del lemma (H.1)] = k!/0! = k!, cosicché: (1)<sub>k</sub>/k! = 1.
<BR>
<BR>Del resto, per conseguenza del teorema ipergeometrico di Gauss: <sub>2</sub>F<sub>1</sub>[0, 1; 1/2; 1] = 1; <sub>2</sub>F<sub>1</sub>[0, 1; 1/2; 1] = [g(1/2)]<sup>2</sup>/[g(1/2 + 1) · g(-1/2)] = [In base ai lemmi (H.3), (H.4) e (H.5)] = -1; e più in generale, per k intero > 1: <sub>2</sub>F<sub>1</sub>[-k, 1; 1/2; 1] = [g(1/2) · g(1/2 + k - 1)]/[g(1/2 + k) · g(- 1/2)] = [In base agli stessi lemmi di cui appena detto] = - 1/(2k - 1). Se ne deduce - in sintesi - che:
<BR>
<BR>sum<sub>n = 0...+inf</sub> 1/Bin(2n, n) = 4/3 · {1 + 1/3 - sum<sub>k = 2...+inf</sub> (-1)<sup>k</sup> 1/[(2k - 1) · 3<sup>k</sup>]} =
<BR>= 4/3 · {4/3 - sum<sub>k = 2...+inf</sub> (-1)<sup>k</sup> 1/[(2k - 1) · 3<sup>k</sup>]} =
<BR>= 4/3 · {1 - sum<sub>k = 1...+inf</sub> (-1)<sup>k</sup> 1/[(2k - 1) · 3<sup>k</sup>]}.
<BR>
<BR>Orbene, mostreremo qui di seguito che la serie sum<sub>k = 1...+inf</sub> (-1)<sup>k</sup> 1/[(2k - 1) · 3<sup>k</sup>] è convergente, con somma pari a [- Pi·sqrt(3)]/18, onde concluderne - finalmente - che: sum<sub>n = 0...+inf</sub> 1/Bin(2n, n) = 4/3 · {1 + [Pi·sqrt(3)]/18} = 4/3 + [2·Pi·sqrt(3)]/27, e perciò: sum<sub>n = 1...+inf</sub> 1/Bin(2n, n) = 1/3 + [2·Pi·sqrt(3)]/27. OK, avete ancora lì vicino a voi i cellulari? Perfetto, chiamate la neuro e mandatela dritta a casa mia... dite ch\'è urgente, fate presto!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
<BR>
<BR>
<BR>\"Noi non conosceremo <!-- BBCode Start --><I>ignorabimus</I><!-- BBCode End -->!\" - David Hilbert<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 22-09-2004 01:21 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Start --><B>SOMMAZIONE DI UNA SERIE.</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Lemma H.6</B><!-- BBCode End -->: per ogni a -> C tale che ||a|| < 1: sum<sub>k = 1...+inf</sub> a<sup>2k-1</sup>/(2k - 1) = 1/2 · log<sub>C</sub>[(1 + a)/(1 - a)], ove log<sub>C</sub>(-) indica la determinazione principale del logaritmo (neperiano) complesso dell\'argomento.
<BR>
<BR>Dim.: sia b -> C tale che: ||b|| < 1. E allora la serie di funzioni sum<sub>k = 0...+inf</sub> b<sup>k·x</sup> è puntualmente convergente in ]0, +inf[, poiché ivi assolutamente convergente, con somma pari a s(x; b) := 1/(1 - b<sup>x</sup>). Basta riconoscere che, fissato comunque ad arbitrio un x -> R+, la serie sum<sub>k = 0...+inf</sub> b<sup>k·x</sup> è geometrica di ragione b<sup>x</sup>. Ne consegue che, per ogni x -> ]0, +inf[ ed ogni a -> C tale che ||a|| < 1:
<BR>
<BR>s(x; a) = sum<sub>k = 0...+inf</sub> a<sup>k·x</sup> = sum<sub>k = 0...+inf</sub> a<sup>2k·x</sup> + sum<sub>k = 1...+inf</sub> a<sup>(2k-1)·x</sup> = s(x; a<sup>2</sup>) + sum<sub>k = 1...+inf</sub> a<sup>(2k-1)·x</sup>
<BR>
<BR>sicché: sum<sub>k = 1...+inf</sub> a<sup>(2k-1)·x</sup> = s(x; a) - s(x; a<sup>2</sup>) = a<sup>x</sup>/(1 - a<sup>2x</sup>), ove degli esponenziali complessi (che sono funzioni polidrome) s\'intende qui considerata la sola determinazione principale. Ora, integrando in [1, +inf[ il primo e l\'ultimo membro della relazione così ottenuta, avviene che: int<sub>1...+inf</sub> sum<sub>k = 1...+inf</sub> a<sup>(2k-1)·x</sup> dx = int<sub>1...+inf</sub> a<sup>x</sup>/(1 - a<sup>2x</sup>) dx = 1/log<sub>C</sub>(a) · int<sub>1...+inf</sub> (d/dx a<sup>x</sup>)/(1 - a<sup>2x</sup>) dx = [Per sostituzione] = 1/[2·log<sub>C</sub>(a)] · [log<sub>C</sub>[(1 - a<sup>x</sup>)/(1 + a<sup>2x</sup>)]]<sub>1</sub><sup>+inf</sup> = 1/[2·log<sub>C</sub>(a)] · log<sub>C</sub>[(1 - a)/(1 + a)].
<BR>
<BR>D\'altro canto, la serie sum<sub>k = 1...+inf</sub> a<sup>(2k-1)·x</sup> è totalmente convergente in [1, +inf[, dacché la somma infinita dei moduli risulta maggiorata dalla serie numerica convergente sum<sub>k = 1...+inf</sub> a<sup>(2k-1)</sup>. E allora, per il criterio di Weierstrass, sum<sub>k = 1...+inf</sub> a<sup>(2k-1)·x</sup> è pure uniformemente convergente in [1, +inf[, sicché - in accordo al teorema di integrazione per serie:
<BR>
<BR>int<sub>1...+inf</sub> sum<sub>k = 1...+inf</sub> a<sup>(2k-1)·x</sup> dx = sum<sub>k = 1...+inf</sub> (int<sub>1...+inf</sub> a<sup>(2k-1)·x</sup> dx) = 1/log<sub>C</sub>(a) · sum<sub>k = 1...+inf</sub> [a<sup>(2k-1)·x</sup>/(2k - 1)]<sub>1</sub><sup>+inf</sup> = - 1/log<sub>C</sub>(a) · sum<sub>k = 1...+inf</sub> a<sup>2k-1</sup>/(2k - 1).
<BR>
<BR>Ne discende, in ultimissima analisi, che: - 1/log<sub>C</sub>(a) · sum<sub>k = 1...+inf</sub> a<sup>2k-1</sup>/(2k - 1) = 1/[2·log<sub>C</sub>(a)] · log<sub>C</sub>[(1 - a)/(1 + a)], ovvero: sum<sub>k = 1...+inf</sub> a<sup>2k-1</sup>/(2k - 1) = 1/2 · log<sub>C</sub>[(1 + a)/(1 - a)], q.e.d.
<BR>
<BR>Osserviamo a questo punto che: sum<sub>k = 1...+inf</sub> (-1)<sup>k</sup> 1/[(2k - 1) · 3<sup>k</sup>] = [i/sqrt(3)] · sum<sub>k = 1...+inf</sub> 1/[(2k - 1) · [sqrt(3)/i]<sup>2k-1</sup>] = [i/sqrt(3)] · sum<sub>k = 1...+inf</sub> a<sup>2k-1</sup>/(2k - 1), con a := i/sqrt(3).
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><I>Ergo</I><!-- BBCode End -->, in conseguenza del lemma (H.6): sum<sub>k = 1...+inf</sub> (-1)<sup>k</sup> 1/[(2k - 1) · 3<sup>k</sup>] = - 1/sqrt(3) · {1/(2i) · log<sub>C</sub>([1 + i/sqrt(3)]/[1 - i/sqrt(3)])} = [In base ad una celebre identità deducibile a partire dalle formule di Eulero] = - 1/sqrt(3) · arctg[1/sqrt(3)] = - 1/sqrt(3) · Pi/6 = [- Pi·sqrt(3)]/18.
<BR>
<BR>Bene, dire che sono commosso non renderebbe giustizia ai fatti... Giulio?! Boh, per una volta almeno non ho parole... A parte le facezie, il tuo problema mi ha veramente toccato il cuore!!! Se solo tu non fossi il fac-simile di Mr Burns ed io non fossi a tal punto innamorato, beh... giuro, ti darei un bacio sulla bocca! Uhm... adesso che ci penso meglio, direi che, in fondo, ci si potrebbe pure limitare ad una più semplice e onesta stretta di mano, già...
<BR>
<BR>
<BR>\"Dio teme i Matematici! Peccato soltanto che tu sia nulla più che un sordido <!-- BBCode Start --><I>ingeniere</I><!-- BBCode End -->! Sporco essere decorticato...\" - HiTLeuLeR allo specchio!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 22-09-2004 02:10 ]

DB85
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Messaggio da DB85 » 01 gen 1970, 01:33

Beh, che dire... Con le poche parole che mi son rimaste non posso che farti i complimenti. Probabilmente (ma non è certo) comprenderò la tua soluzione solo tra un paio di anni.
<BR>Certo mi chiedo se esiste una soluzione più \"euleriana\" magari basata sullo <!-- BBCode Start --><I>Squeeze principle</I><!-- BBCode End -->.
<BR>
<BR>P.S.: Non sembri poi un così misero <!-- BBCode Start --><I>ingeniere</I><!-- BBCode End -->
"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow

numerodinepero
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Messaggio da numerodinepero » 01 gen 1970, 01:33

povero ingeniere

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Il problema è veramente carino...il risultato un po\' meno ma poteva essere peggio...avrei solo una cosa da dire :
<BR>[mode ROMPIBALLE ON]
<BR>vista la natura del problema e vista la (corretta ed ineccepibile) classificazione di questo come problema di matematica non elementare, la Gamma di Eulero, le Serie ipergeometriche e quello che apprendo ora aver nome di teorema di Gauss potevano darsi quasi per scontati...al limite qualche volonteroso seguace di Von Masoch avrebbe chiesto in seguito chiarimenti...
<BR>[mode ROMPIBALLE OFF]
<BR>cmq, complimenti
<BR>

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psion_metacreativo
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Messaggio da psion_metacreativo » 01 gen 1970, 01:33

Non ho la minima idea di cosa abbia scritto euler, però devo ammettere che esteticamente è molto bello aprire innocentemente un thread come un altro in questo forum e scorrere i 5 messaggi di euler... credo che lo salverò tra i preferiti e tra qualche anno torno a vedere se riesco a capire... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Euler e\' certamente un grande ma grandi ,oserei dire assai grandi,
<BR>sono tutti quelli che ,su questo stesso forum ,hanno assalito chi
<BR>proponeva o risolveva quesiti di analisi di levatura di molto, ma di molto piu\'
<BR>modesta.Ovvero \"ubi maior minor cessat\" (o una cosa del genere)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 22-09-2004 13:34 ]

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Accetto di buon grado le tue osservazioni, Evariste. Tuttavia, lasciami dire che, se mai mi sono risolto di..., certo non è stato per un fatto di pura ostentazione! Non so, alcune volte provo come l\'impressione che si ci senta un attimino intimiditi di fronte all\'eventualità di poter chiedere dei chiarimenti sul conto di <!-- BBCode Start --><I>determinate</I><!-- BBCode End --> questioni. E ho pure il timore che questo mio <!-- BBCode Start --><I>flash</I><!-- BBCode End --> abbia un riscontro tanto più realistico quanto più il soggetto del discorso si discosta dagli ambiti della Matematica \"<!-- BBCode Start --><I>di quartiere</I><!-- BBCode End -->\", se mi riesce con quest\'espressione di farvi intendere ciò che io intendo. Quella sana malizia cui per molti versi so di essere debitore di fatto mi suggerisce che, spesso, nonostante la natura sostanzialmente impersonale di certi canali di comunicazione, si è comunque inibiti da un buffo sentimento di ingenuo pudore, là dove si tratti di riconoscere, neppure fosse l\'ignominia peggiore di questo mondo, la propria umanissima ignoranza. Cercate di non fraintendere ciò a cui mi riferisco e sforzatevi di non travisarne il senso, ve ne prego, ché per una volta almeno sto qui tentando di impostare un discorso serio!!! Non è mia intenzione esprimere giudizi negativi sul conto di nessuno, tanto più che quest\'<!-- BBCode Start --><I>insano sproloquio</I><!-- BBCode End --> si fonda, in verità, sul risultato di un\'analisi che - vogliate fidarvi - non risparmia me in prima persona. Desidererei soltanto che vi fossero così evidenti le ragioni per cui ho scelto di fornire il maggior numero possibile di dettagli, pure a rischio di risultare, per certi versi, spudoratamente ostentato. In sintesi, è solo perché confido sia potuto servire a qualcuno, tutto qui! Orbene, a parte questo...
<BR>
<BR>Grazie per i complimenti che mi hai rivolto, sam! Sai bene che, venendomi da te, mi riempiono di gioia e mi rendono molto <!-- BBCode Start --><I>orgoglione</I><!-- BBCode End -->... ehmmmm, intendevo dire <!-- BBCode Start --><I>orgoglioso</I><!-- BBCode End -->, chiaramente!!! So bye, my dearest wise fool... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>Naturalmente, i miei ringraziamenti sono estesi a tutti gli altri che, come EvaristeG, hanno gradito tanto il problema quanto più la sua soluzione. E non prendetevela se non vi cito uno per uno: cercate di capirmi, sam è sam, questo punto non è in discussione!!! Saluti...
<BR>
<BR>
<BR>\"Ubi maior, minor <!-- BBCode Start --><I>cessus</I><!-- BBCode End -->!\" - HiTLeuLeR <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 22-09-2004 13:56 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-22 09:10, DB85 wrote:
<BR>[...] Certo mi chiedo se esiste una soluzione più \"euleriana\" magari basata sullo <!-- BBCode Start --><I>Squeeze principle</I><!-- BBCode End -->. [...]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Toh, ecco l\'occasione per smentirmi! Non ho la più pallida idea di cosa sia il principio di cui parli, DB85! Pertanto, se ti va di illuminarmi... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>
<BR>
<BR>\"Si comincia a diffidare delle persone molto prudenti quando iniziano a mostrarsi imbarazzate.\" - Friedrich W. Nietzsche, <!-- BBCode Start --><I>Al di là del bene e del male</I><!-- BBCode End -->

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Messaggio da DB85 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-22 16:59, HiTLeuLeR wrote:
<BR>
<BR>Non ho la più pallida idea di cosa sia il principio di cui parli, DB85! Pertanto, se ti va di illuminarmi... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Sarebbe una colpa inespiabile non illuminarti, anche se penso tu conosca questo teorema con qualche altra denominazione. Questa è la definizione dello <!-- BBCode Start --><I>squeeze principle</I><!-- BBCode End -->:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><I>If [a(n)], [b(n)], [c(n)] are infinite sequences such that a(n) <= b(n) <= c(n) for all sufficiently large n, and if a(n) and c(n) converge to the same number L, then b(n) also converges to L.</I><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>EDIT: il corsivo ci sta meglio. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 22-09-2004 17:43 ]
"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Sì, in effetti mi era noto sotto altro nome (lemma dei due carabinieri). In ogni caso, <!-- BBCode Start --><I>squeeze principle</I><!-- BBCode End --> fa decisamente più figo! E comunque, adesso che so cos\'intendevi, ti dirò - in tutta franchezza - che dubito fortemente si possa riuscire a sommare la serie di cui si è qui discusso semplicemente \"costringendo\" la successione delle sue ridotte fra due altre successioni entrambe convergenti a 1/3 + [2·Pi·sqrt(3)]/27... Certo, se tu poi ci dovessi riuscire, beh... non esitare a darmi un colpo di telefono, anche fosse nel cuore della notte!!! Solo una preghiera: se puoi, evita di colpirmi alla testa...
<BR>
<BR>
<BR>\"Ucceeeeeelli, veniiiiiiiiite!\" - la tv e le sue pupazze

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Messaggio da DB85 » 01 gen 1970, 01:33

No, in effetti non pretendevo (e non pretendo) che si riesca a focalizzare un limite di convergenza di tale precisione solo con l\'aiuto \"di due carabinieri\"... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>Però magari si poteva riuscire nel ridurre la precisione del limite, compensando col risparmio di fatica. Ma questo avrebbe eliminato il tuo merito...
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-22 19:59, HiTLeuLeR wrote:
<BR>
<BR>Certo, se tu poi ci dovessi riuscire, beh... non esitare a darmi un colpo di telefono, anche fosse nel cuore della notte!!!
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Non ti preoccupare, dormi pure tranquillo! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
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Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
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