La somma infinita delle derivate

Jack_Daniel · Messaggio da **Jack_Daniel** » 01 gen 1970, 01:33

Data una funzione f(x) derivabile infinite volte in un dominio reale si consideri B(f) dove B è un operatore che alla funzione somma tutte le sue derivate n-esime con n-->Inf. ovvero B(f)=f+f\'+f\'\'+f\'\'\'+... fino alla derivata infinitesima.
 
 1) Dimostrare che B\'(f)=B(f)-f e cioé che B(f) è soluzione della equazione differenziale u\'=u-f.
 
 2) Quali sono le condizioni su f per cui determinati parametri della soluzione generale di u\'=u-f danno u(x)=B(f) o comunque per le quali è possibile dare una espressione analitica finita per B(f).
 
 3) Determinare l\'espressione analitica per B(f). [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Jack_Daniel il 18-09-2004 01:38 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Siano X un aperto non vuoto della topologia ordinaria di R ed f(-) una funzione di classe Cinf(X), ossia tale ch\'esista la derivata k-esima f(k)(-) di f(-) in X, per ogni k = 0, 1, 2, ... Fissata f(-), ammettiamo dunque sia possibile determinare un sottoinsieme Y non vuoto di X tale che, per ogni x in Y, la serie sum[k=0...+inf] f(k)(x) sia convergente. Ha senso in tal caso definire, e non solo formalmente, la funzione B[f](-): Y ---> R: x ---> sum[k=0...+inf] f(k)(x).
 
 Orbene, sotto ipotesi sufficienti a garantire i) l\'esistenza di un sottoinsieme U di Y non vuoto in cui B[f](-) risulti differenziabile e ii) l\'inversione nell\'ordine degli \"operatori\" di somma e derivata, si può concludere che, per ogni x in U: d/dx B[f](x) = sum[k=0...+inf] d/dx f(k)(x) = sum[k=0...+inf] f(k+1)(x) = sum[k=0...+inf] f(k)(x) - f(x) = B[f](x) - f(x). Ne viene che B[f](-) è soluzione dell\'equazione differenziale lineare ordinaria del primo ordine a coefficienti costanti: u\' = u - f, la cui soluzione generale è della forma: u(x) = -ex · int e-x f(x) dx. Onde dedurne che B[f](-) è esprimibile analiticamente in forma finita - cito alla lettera - sse, stanti le ipotesi già primieramente assunte, f(-) è tale da garantire che risulti calcolabile elementarmente (si veda la nota in basso) l\'integrale int e-x f(x) dx. Quest\'è il caso, i.e., dei polinomi! Spero che possa bastare...
 
 Nota: essendo X un aperto non vuoto di R, si dice che una funzione f(-): X ---> R è integrabile elementarmente in X sse l\'integrale indefinito di f(-) in X è una funzione elementare dell\'Analisi. Per una classificazione ed \"elencazione\" completa delle funzioni elementari dell\'Analisi, vi rimando all\'indirizzo: \"http://mathworld.wolfram.com/ElementaryFunction.html\".
 
 
 \"Il simbolismo dei sogni con stimolo urinario è particolarmente trasparente [...]. Già Ippocrate espresse l\'opinione che i sogni di fontane e sorgenti sono indizio di un disturbo alla vescica. Scherner [...] ha affermato che «qualsiasi stimolo urinario abbastanza forte si trasforma inevitabilmente in eccitazione delle zone sessuali [...].»\" - Sigmund Freud, da L\'interpretazione dei sogni <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 18-09-2004 15:42 ]

Jack_Daniel · Messaggio da **Jack_Daniel** » 01 gen 1970, 01:33

Ottimo ... ma a mio perere non basta
 
 In realtà è possibile eliminare l\'ipotesi di convergenza della serie B(f) ma a questo punto ci troviamo davanti a contraddizioni. Se, ad esempio, f=e^x e si vuole calcolare B(e^x) in x0 si ha
 
 B[e^x](x0)=e^x0+e^x0+....=(n-->inf) · e^x0=inf
 
 u(x0)=-e^x0 · int [e^(-t) · e^t dt](x0)=-(x0 · e^x0) che è un valore finito
 
 Escludendo la condizione di convergenza non è possibile considerare solo la primitiva di u\'=u-x per dare una espressione analitica sempre esatta di B(f).
 
 
 
 
 AIUTO: Consiglio di imporre opportuni estremi di integrazione invece di considerare solo la primitiva

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-09-18 01:32, Jack_Daniel wrote:
 In realtà è possibile eliminare l\'ipotesi di convergenza della serie B(f) ma a questo punto ci troviamo davanti a contraddizioni.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-09-18 15:27, HiTLeuLeR wrote:
 Fissata f(-), ammettiamo dunque sia possibile determinare un sottoinsieme Y non vuoto di X tale che, per ogni x in Y, la serie sum[k=0...+inf] f(k)(x) sia convergente. [...] Sotto ipotesi sufficienti a garantire i) l\'esistenza di un sottoinsieme U di Y non vuoto in cui B[f](-) risulti differenziabile e ii) l\'inversione nell\'ordine degli \"operatori\" di somma e derivata, [...] B[f](-) è [allora] esprimibile analiticamente in forma finita [...] sse, stanti le ipotesi [...] primieramente assunte, f(-) è tale da garantire che risulti calcolabile elementarmente [...] l\'integrale int e-x f(x) dx.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Se ho frainteso, me ne scuso, ma tenevo a sottolineare che la conclusione del messaggio precedente s\'intende vincolata, come esplicitamente si può leggere, alla consistenza delle ipotesi i) e ii), posto per principio di aver assunto - naturalmente - la locale convergenza della serie delle derivate. Rimosse le ipotesi, tutto può succedere... Ora, mi pare d\'intuire che tu abbia giust\'appunto stabilito delle condizioni che consentirebbero di raffinare alcune delle mie ipotesi e generalizzare così la soluzione ch\'io ho proposto, è corretto? Bene... Ti dirò, in tutta franchezza, che trovo l\'idea scarsamente plausibile! Ora, di tutte le ipotesi sopra indicate, sinceramente non mi sarei mai sognato di poter rinunciare alla convergenza locale della serie!!! Anzi, trovo tragicamente assurdo finanche immaginare un qualcosa del genere... Ché altrimenti cosa resterebbe in piedi del problema originario, uh? Nulla, a parte una cataratta di nonsensi! In quanto alle altre ipotesi, beh... il discorso è essenziamente analogo! Al punto 1), la traccia chiede infatti di verificare che B[f](-) risolve una certa equazione differenziale, per cui è pacifico doverne ammettere la differenziabilità in un qualche insieme. E che rimane? Ben poco, se mi ammetti - com\'io confido - che l\'inversione fra gli \"operatori\" di somma e derivata rappresenta effettivamente la chiave di volta nella dimostrazione del fatto che B[f](-) soddisfa la differenziale di cui già si è detto. Ecco, alla luce di queste considerazioni, ritengo proprio che, almeno allo stato attuale, null\'altro mi resti oggettivamente da soggiungere! Ciao...
 
 EDIT.1: com\'è che la pagina si è contratta orizzontalmente?!
 
 EDIT.2: sì, forse ho capito... Jack_Daniel, che ne diresti di levarci un paio di \"R\" e qualche vocale di troppo da quel tuo \"RRROOOOOOOMAAAAAAA\", uh? In fondo, il senso resterebbe chiaro comunque...
 
 
 \"Le domande non sono mai indiscrete: a volte lo sono le risposte.\" - Oscar Wilde [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 18-09-2004 21:29 ]

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Uhm...In quanto alla differenziabilità e allo scambio di limiti (infatti questa è l\'inversione degli operatori suddetta) c\'è qlc da dire:
 
 data una successione di funzioni {f_n} : X -> R
 
 definita F=sum[n=0....inf] f_n la funzione somma e F_k=sum[n=0...k] f_n le somme parziali
 
 posto che F_k sia derivabile su X per ogni k
 posto che {F_k}--->F puntualmente su X
 posto che {d/dx (F_k)}----->G uniformemente su X
 (dove d/dx (F_k)=sum[n=0....k] d/dx (f_n) è la derivata della k-esima somma parziale e G è la funzione a cui convergono dette derivate)
 
 allora F è derivabile su X
 e
 d/dx (F) = G = sum[n=0...inf] d/dx (f_n) su X.
 
 Senza le ipotesi di convergenza, l\'operatore
 B: {funzioni C-inf su R}--->{funzioni C-inf su R}
 non è definito e quindi il problema non ha senso...
 ha senso chiedersi cosa succeda se la serie che definisce B[f] esiste, ma la serie delle derivate non converge uniformemente...anche se non credo che possa darsi un caso simile.