Test d\'ingresso Pisa
Moderatore: tutor
Anche se immagino non ti interessi proprio questo, comunque...
<BR>
<BR>Mate per Chimica/Biologia/...:
<BR>1) dire quali rettangoli sono piastrellabili con mattonelle 3x2.
<BR>2) sia p(x,y) un polinomio tale che p(n,0)=0 per ogni n. dimostrare che esiste un polinomio q(x,y) tale che p(x,y)=y*q(x,y).
<BR>3) sia r/s una frazione irriducibile non nulla. sia C(r/s) il cerchio definito da: (x-r/s)^2+(y-1/(2s^2))^2<=(1/2s^2)^2. dimostrare che se p/q<>r/s allora C(r/s) e C(p/q) sono disgiunti oppure tangenti (dimostrare che la tangenza si ha nel caso in cui |ps-rq|=1. dimostrare che il punto di tangenza ha entrambe le cordinate razionali.
<BR>4) Mario ha otto monete per un totale di 1,20 euro. Con queste monete, può formare 4 centesimi in un solo modo, 5 centesimi in due modi diversi, 70 in due modi diversi. dire quali monete ha.
<BR>5) sia p un numero dispari. dimostrare che n=p^2+(p+1)^2+(p+2)^3 non è il cubo di un numero intero.
<BR>
<BR>Ciao...
<BR>daniele
<BR>
<BR>Mate per Chimica/Biologia/...:
<BR>1) dire quali rettangoli sono piastrellabili con mattonelle 3x2.
<BR>2) sia p(x,y) un polinomio tale che p(n,0)=0 per ogni n. dimostrare che esiste un polinomio q(x,y) tale che p(x,y)=y*q(x,y).
<BR>3) sia r/s una frazione irriducibile non nulla. sia C(r/s) il cerchio definito da: (x-r/s)^2+(y-1/(2s^2))^2<=(1/2s^2)^2. dimostrare che se p/q<>r/s allora C(r/s) e C(p/q) sono disgiunti oppure tangenti (dimostrare che la tangenza si ha nel caso in cui |ps-rq|=1. dimostrare che il punto di tangenza ha entrambe le cordinate razionali.
<BR>4) Mario ha otto monete per un totale di 1,20 euro. Con queste monete, può formare 4 centesimi in un solo modo, 5 centesimi in due modi diversi, 70 in due modi diversi. dire quali monete ha.
<BR>5) sia p un numero dispari. dimostrare che n=p^2+(p+1)^2+(p+2)^3 non è il cubo di un numero intero.
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<BR>Ciao...
<BR>daniele
Uhm...sei sicuro del testo del problema 5?
<BR>Infatti per come è scritto l\'esercizio l\'ipotesi p primo è inutile (almeno credo) poichè (p+2)^3 è minore di n e n è minore di (p+3)^3 e dunque n non può essere un cubo...
<BR>Mah...forse sbaglio...anyway ciao e in bocca al lupo<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: andrea84 il 02-09-2004 19:01 ]
<BR>Infatti per come è scritto l\'esercizio l\'ipotesi p primo è inutile (almeno credo) poichè (p+2)^3 è minore di n e n è minore di (p+3)^3 e dunque n non può essere un cubo...
<BR>Mah...forse sbaglio...anyway ciao e in bocca al lupo<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: andrea84 il 02-09-2004 19:01 ]
Andrea 84 alias Brend
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-02 17:57, daniele wrote:
<BR>3) sia r/s una frazione irriducibile non nulla. sia C(r/s) il cerchio definito da: (x-r/s)^2+(y-1/(2s^2))^2<=(1/2s^2)^2. dimostrare che se p/q<>r/s allora C(r/s) e C(p/q) sono disgiunti oppure tangenti (dimostrare che la tangenza si ha nel caso in cui |ps-rq|=1. dimostrare che il punto di tangenza ha entrambe le cordinate razionali.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Uhm...i cerchi di Ford!! (se non ricordo male)
<BR>Certo che quest\'anno la fantasia si è presa una vacanza...
<BR>Da quel che ho sentito la prova per mate e fisica aveva (oltre questo) un problema tratto da un vecchio giornalino e un teorema \"famoso\".
<BR>Mah <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
<BR>On 2004-09-02 17:57, daniele wrote:
<BR>3) sia r/s una frazione irriducibile non nulla. sia C(r/s) il cerchio definito da: (x-r/s)^2+(y-1/(2s^2))^2<=(1/2s^2)^2. dimostrare che se p/q<>r/s allora C(r/s) e C(p/q) sono disgiunti oppure tangenti (dimostrare che la tangenza si ha nel caso in cui |ps-rq|=1. dimostrare che il punto di tangenza ha entrambe le cordinate razionali.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
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<BR>Uhm...i cerchi di Ford!! (se non ricordo male)
<BR>Certo che quest\'anno la fantasia si è presa una vacanza...
<BR>Da quel che ho sentito la prova per mate e fisica aveva (oltre questo) un problema tratto da un vecchio giornalino e un teorema \"famoso\".
<BR>Mah <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
Vediamo il secondo:
<BR>
<BR>La condizione P(n,0)=0 per ogni n naturale --> che P(x,0)=0 (il polinomio nullo), dunque sono nulli tutti i coefficienti dei termini solo in x e il termine noto, ne discende che il p(x,y) è un qualcosa in cui poss0 raccogliere una y.
<BR>Da qui il passo è breve perchè mi basta chiare q(x,y) il polinomio che ottengo dopo aver raccolto la y.
<BR>Sperando che sia chiaro e soprattutto giusto vi saluto! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>La condizione P(n,0)=0 per ogni n naturale --> che P(x,0)=0 (il polinomio nullo), dunque sono nulli tutti i coefficienti dei termini solo in x e il termine noto, ne discende che il p(x,y) è un qualcosa in cui poss0 raccogliere una y.
<BR>Da qui il passo è breve perchè mi basta chiare q(x,y) il polinomio che ottengo dopo aver raccolto la y.
<BR>Sperando che sia chiaro e soprattutto giusto vi saluto! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
Andrea 84 alias Brend
Ciao provo anche il 4:
<BR>
<BR>Intanto 5 centesimi li può formare in questo modo:
<BR>
<BR>1 1 1 1 1
<BR>1 1 1 2
<BR>1 2 2
<BR>5
<BR>
<BR>Ora il tizio non può formare la prima e l\'ultima configurazioni, per ovvi motivi di numero, ne tantomeno la seconda con la prima (potrebbe formare 2 volte il 4), così come non funzione la seconda e la terza...in definitiva si vede che può solo avere queste due configurazioni:
<BR>1 1 2 o 1 1 1 2
<BR>5 5(il secondo 5 fa parte della seconda configurazione)
<BR>Ora se vale la prima configurazione, il tizio deve avere altre 4 monete il modo che la lore somma sia di 1,10 euro dunque:
<BR>50 50 5 5
<BR>50 20 20 20
<BR>
<BR>e di vede che solo l\'ultima soddisfa anche alla terza ipotesi (20 20 20 1 1 2 5 e 50 20)
<BR>Se invece valesse la seconda configurazione, allora dovrebbe avere tre monete la cui somma sia di 1,10 euro dunque
<BR>1(euro) 10
<BR>1(euro) 5 5
<BR>50 50 10
<BR>e nessuna di queste soddisfa alla terza condizione.
<BR>Concludendo abbiamo che il tizio possiede:
<BR>3 monete da 20 cents
<BR>1 moneta da 50 cent
<BR>2 monete da 2 cents
<BR>1 moneta da 5 cent
<BR>1 moneta da 1 cent
<BR>
<BR>Spero sia giusto
<BR>Ciao <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: andrea84 il 03-09-2004 20:26 ]
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<BR>Intanto 5 centesimi li può formare in questo modo:
<BR>
<BR>1 1 1 1 1
<BR>1 1 1 2
<BR>1 2 2
<BR>5
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<BR>Ora il tizio non può formare la prima e l\'ultima configurazioni, per ovvi motivi di numero, ne tantomeno la seconda con la prima (potrebbe formare 2 volte il 4), così come non funzione la seconda e la terza...in definitiva si vede che può solo avere queste due configurazioni:
<BR>1 1 2 o 1 1 1 2
<BR>5 5(il secondo 5 fa parte della seconda configurazione)
<BR>Ora se vale la prima configurazione, il tizio deve avere altre 4 monete il modo che la lore somma sia di 1,10 euro dunque:
<BR>50 50 5 5
<BR>50 20 20 20
<BR>
<BR>e di vede che solo l\'ultima soddisfa anche alla terza ipotesi (20 20 20 1 1 2 5 e 50 20)
<BR>Se invece valesse la seconda configurazione, allora dovrebbe avere tre monete la cui somma sia di 1,10 euro dunque
<BR>1(euro) 10
<BR>1(euro) 5 5
<BR>50 50 10
<BR>e nessuna di queste soddisfa alla terza condizione.
<BR>Concludendo abbiamo che il tizio possiede:
<BR>3 monete da 20 cents
<BR>1 moneta da 50 cent
<BR>2 monete da 2 cents
<BR>1 moneta da 5 cent
<BR>1 moneta da 1 cent
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<BR>Spero sia giusto
<BR>Ciao <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: andrea84 il 03-09-2004 20:26 ]
Andrea 84 alias Brend
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MindFlyer
Problemi di matematica per matematici, fisici, informatici:
<BR>1) Uguale al numero 1 dei biologi e chimici.
<BR>2) Uguale al numero 3 dei biologi e chimici.
<BR>3) Uguale al numero 2 dei biologi e chimici.
<BR>4) Dati n punti non tutti allineati, dimostrare che esiste una retta che passa per 2 soli di questi punti.
<BR>5) x, y, z sono le lunghezze delle mediane del triangolo di lati a, b, c. Dimostrare che 2(x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>+z<sup>2</sup>) <= 3(ab+bc+ca) <= 4(x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>+z<sup>2</sup>).
<BR>6) Dimostrare che il numero di modi di scrivere un intero positivo come somma di al più k interi positivi (a meno dell\'ordine) è uguale al numero di modi di scrivere l\'intero come somma di interi positivi il massimo dei quali è minore o uguale a k.
<BR>1) Uguale al numero 1 dei biologi e chimici.
<BR>2) Uguale al numero 3 dei biologi e chimici.
<BR>3) Uguale al numero 2 dei biologi e chimici.
<BR>4) Dati n punti non tutti allineati, dimostrare che esiste una retta che passa per 2 soli di questi punti.
<BR>5) x, y, z sono le lunghezze delle mediane del triangolo di lati a, b, c. Dimostrare che 2(x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>+z<sup>2</sup>) <= 3(ab+bc+ca) <= 4(x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>+z<sup>2</sup>).
<BR>6) Dimostrare che il numero di modi di scrivere un intero positivo come somma di al più k interi positivi (a meno dell\'ordine) è uguale al numero di modi di scrivere l\'intero come somma di interi positivi il massimo dei quali è minore o uguale a k.
Problemi per sant\'annini 2004 (troppo facili quest\'anno <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> )
<BR>
<BR>MATEMATICA
<BR>
<BR>1 - Dire per quali coppie (m,n) di interi positivi
<BR>
<BR>(m^(n^5-n))^(1/60)
<BR>
<BR>è intero.
<BR>
<BR>2- Un tipo parte da Zurigo e deve arrivare al confine italiano in automobile. Il consumo di carburante è costante. Il prezzo del carburante cresce linearmente avvicinandosi al confine. L\'automobilista si vuole fermare al più una volta lungo il tragitto per fare il pieno; giunto al confine farà nuovamente il pieno al prezzo italiano. Supponendo che ci sia un distributore in qualunque punto lungo il percorso, dove si deve fermare il tizio per minimizzare il costo?
<BR>
<BR>3- C\'è un torneo di tennis ad eliminazione diretta. Partecipano 16 giocatori. Esiste una graduatoria in ordine di bravura che viene sempre rispettata (nel senso che uno più bravo vince sempre contro uno più scarso). Non ci sono giocatori ugualmente bravi. Ogni configurazione di incontri è equiprobabile.
<BR>a) Qual è la probabilità che i quattro giocatori più bravi arrivino alle semifinali?
<BR>b) Qual è la probabilità che il sesto giocatore in bravura arrivi alle semifinali?
<BR>
<BR>4- Siano dati tre punti distinti su una circonferenza. Ad ogni mossa si può spostare uno di questi tre punti sul punto medio di uno degli archi formati dagli altri due.
<BR>Determinare per quali configurazioni è possibile:
<BR>a) Ottenere tre punti i cui vertici formino un triangolo isoscele con due angoli minori di 1/2004 gradi
<BR>b) Ottenere un triangolo equilatero.
<BR>
<BR>Fisica... se qualcuno può scannerizzare il testo facciamo prima che ci sono i disegni <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>MATEMATICA
<BR>
<BR>1 - Dire per quali coppie (m,n) di interi positivi
<BR>
<BR>(m^(n^5-n))^(1/60)
<BR>
<BR>è intero.
<BR>
<BR>2- Un tipo parte da Zurigo e deve arrivare al confine italiano in automobile. Il consumo di carburante è costante. Il prezzo del carburante cresce linearmente avvicinandosi al confine. L\'automobilista si vuole fermare al più una volta lungo il tragitto per fare il pieno; giunto al confine farà nuovamente il pieno al prezzo italiano. Supponendo che ci sia un distributore in qualunque punto lungo il percorso, dove si deve fermare il tizio per minimizzare il costo?
<BR>
<BR>3- C\'è un torneo di tennis ad eliminazione diretta. Partecipano 16 giocatori. Esiste una graduatoria in ordine di bravura che viene sempre rispettata (nel senso che uno più bravo vince sempre contro uno più scarso). Non ci sono giocatori ugualmente bravi. Ogni configurazione di incontri è equiprobabile.
<BR>a) Qual è la probabilità che i quattro giocatori più bravi arrivino alle semifinali?
<BR>b) Qual è la probabilità che il sesto giocatore in bravura arrivi alle semifinali?
<BR>
<BR>4- Siano dati tre punti distinti su una circonferenza. Ad ogni mossa si può spostare uno di questi tre punti sul punto medio di uno degli archi formati dagli altri due.
<BR>Determinare per quali configurazioni è possibile:
<BR>a) Ottenere tre punti i cui vertici formino un triangolo isoscele con due angoli minori di 1/2004 gradi
<BR>b) Ottenere un triangolo equilatero.
<BR>
<BR>Fisica... se qualcuno può scannerizzare il testo facciamo prima che ci sono i disegni <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
Roberto Farolfi
2)chiamiamo x la distanza percora prima di arrivare al distributore, y la distanza tra il distributore ed il confine, q il coefficente dell\'aumento della benzina, k il costo della benzina alla partenza; si ha che il costo è:
<BR>x(k+qx)+y(k+qx+qy)=k(x+y)+q(x^2+xy+y^2) che si minimizza quando si minimizza x^2+xy+y^2 e siccome la loro somma è costante si minimizza quando sono uguali
<BR>x(k+qx)+y(k+qx+qy)=k(x+y)+q(x^2+xy+y^2) che si minimizza quando si minimizza x^2+xy+y^2 e siccome la loro somma è costante si minimizza quando sono uguali
3a) posti in gruppi da quattro nessuno dei 4 più bravi deve stare nello stesso gruppo, perciò la probabilità sarà 1*(12/15)*(8/14)*(4/13)=64/273 (o almeno credo)
<BR>3b) analogalmente il sesto più forte non deve trovare nel suo gruppo da quattro nessuno dei cinque più forti di lui; perciò la probabilità sarà (12/15)*(11/14)*(10/13)*(9/12)*(8/11)
<BR>PS: son molto incerto sulle probabilità quindi mi aspetto una smentità rapida <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>3b) analogalmente il sesto più forte non deve trovare nel suo gruppo da quattro nessuno dei cinque più forti di lui; perciò la probabilità sarà (12/15)*(11/14)*(10/13)*(9/12)*(8/11)
<BR>PS: son molto incerto sulle probabilità quindi mi aspetto una smentità rapida <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">