Cocktail

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

1)Si consideri la circonferenza di centro O
 e raggio r e sia
 M un punto fisso ad essa interno.Nel fascio f di semirette di
 origine M si considerino:
 a) una semiretta che intersechi la circonf. nel punto N
 b) la semiretta perpendicolare ad MN che intersechi la crf. in P.
 Determinare il luogo del punto medio Q di PN al variare di MN in f.
 
 
 2)Sia f una funzione cosi\' definita:
 f:R-{3}-->R
 Sapendo che :5f(x)=3f((3x+2)/(x-3))+2x+4
 calcolare f(5)+f(7)+f(9).
 
 
 Dimostrare che:
 3(a^3+b^3+c^3)>=(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)
 essendo a,b,c reali non negativi.
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 21-08-2004 17:02 ]

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Provo la disuguaglianza,
 
 sviluppando tutto e portando a3 b3 c3,a sinistra otteniamo:
 sum[sym](a3)>= sum[sym](a2b), che è vera per il teorema detto \"bunching\" [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 22-08-2004 10:30 ]

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Posto anche la mia soluzione che forse coincide con quella
 di boll,ma non ne sono tanto sicuro(sto \"bouncing\" mi va
 sempre per traverso!).
 Senza perdere di generalita\' (si dice cosi\',non e\' vero?)
 possiamo supporre a>=b>=c.
 Ne segue:
 a-b>=0 ,a^2-b^2>=0 e moltiplicando:
 a^3-ab^2-ba^2+b^3>=0 da cui:
 a^3+b^3>=ab^2+ba^2 ed analogamente:
 b^3+c^3>=bc^2+cb^2
 c^3+a^3>=ca^2+ac^2 e sommando:
 2a^3+2b^3+2c^3>=ab^2+ba^2+bc^2+cb^2+ca^2+ac^2
 Aggiungendo a^3+b^3+c^3:
 3(a^3+b^3+c^3)=>a^3+b^3+c^3+ab^2+ba^2+bc^2+cb^2+ca^2+ac^2
 Oppure:
 3(a^3+b^3+c^3)=>a(a^2+b^2+c^2)+b(b^2+a^2+c^2)+c(c^2+b^2+a^2)
 Ed in definitiva:
 3(a^3+b^3+c^3)=>(a^2+b^2+c^2)(a+b+c).

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

La tua soluzione è, ovviamente <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> , più ragionata, il bunching richiede minimo sforzo e minime capacità intuitive, applichi una formula e via...

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Per il 2° es. si puo\' notare che se si pone y=(3x+2)/(x-3)
 si ha (e\' solo un esempio,beninteso!):
 y(2)=-8
 y[-8]=2
 Oppure:
 y(-4)=10/7
 y(10/7)=-4
 e cosi\' via. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 22-08-2004 20:44 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-08-21 17:01, karl wrote:
 
 
 Dimostrare che:
 3(a^3+b^3+c^3)>=(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)
 essendo a,b,c reali non negativi.
 
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 con cebyshev non c\'è bisogno di fare conti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 notare che in generale 3(an+bn+bn)>=(an-1+bn-1+cn-1)(a+b+c)
 
 sempre per chebyshev (le sequenze (a,b,c),(an-1,bn-1,cn-1) sono ordinate nello stesso senso) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 22-08-2004 21:05 ]

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Riguardo a Tchebycheff ( ..certo che questo nome non scherza
 in quanto a difficolta\' di scrittura e lettura!) volevo
 cortesemente sapere se tale diseguaglianza e\' valida
 per qualunque esponente e per qualunque ripartizione dello stesso.
 Mi spiego con un esempio:e\' valida la relazione:
 3(a^5+b^5+c^5)>=(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)
 con a,b,c in successione monotòna?
 Da qualche prova ( numerica) che ho fatto sembrerebbe di si,ma vorrei
 esserne certo.
 Grazie.

Vasya · Messaggio da **Vasya** » 01 gen 1970, 01:33

per il 2°: forse ho sbaglioto qualcosa, ma mi viene cosi\':
 5f(x)=3f((3x+2)/(x-3))+2x+4, allora
 5f(5)=3f(17/2)+14,ma
 f(17/2)=(3f(5)+21)/5
 5f(5)=(9/5)f(5)+63/5+14
 f(5)=133/16
 
 con lo stesso procedimento abbiamo:
 f(7)=273/32
 f(9)=151/16
 
 f(5)+f(7)+f(9)=841/32
 anche se il risultato mi sembra un po\' strano. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Non ho controllato i calcoli ,ma il tuo procedimento
 e\' esatto.
 Ok.

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

riguardo a chebyshev,
 
 date due n-uple (x1,...,xn) e (y1,...,yn) di reali ordinate allo stesso modo, vale sempre
 
 sumxiyi >= (1/n) * (sumxi) * (sumyi)
 
 (quindi la risposta alla tua domanda, karl, è sì)
 
 se invece le due n-uple sono ordinate in senso inverso (una in ordine crescente, l\'altra decrescente) vale la disuguaglianza inversa
 
 
 entrambe queste cose si dimostrano utilizzando solo la disuguaglianza di riarrangiamento...se qualcuno vuole provare... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 23-08-2004 22:06 ]

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Grazie per l\'esauriente risposta.Quanto alla dimostrazione,
 ci provero\'.
 A risentirci per qualche altra, interessante questione.

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Azz, talpuz mi hai battuto sul tempo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">, cmq posto lo stesso la mia dimostrazione col bunching (sperando sia quella giusta).
 
 Con il \"bunching\" si può dimostrare agevolmente che:
 sum[sym](an)>= sum[sym](akbn-k) con k intero positivo minore di n
 Questo chiude il problema di karl. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 24-08-2004 10:06 ]

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-08-21 17:01, karl wrote:
 1)Si consideri la circonferenza di centro O
 e raggio r e sia
 M un punto fisso ad essa interno.Nel fascio f di semirette di
 origine M si considerino:
 a) una semiretta che intersechi la circonf. nel punto N
 b) la semiretta perpendicolare ad MN che intersechi la crf. in P.
 Determinare il luogo del punto medio Q di PN al variare di MN in f.
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 \"completiamo\" la figura in questo modo: siano R ed S (gli altri) punti in cui MN ed MP tagliano il cerchio c(O); siano T, U, V, X ed Y i punti medi di PR, RS, SN, NR ed SP rispettivamente.
 E\' facile verificare che QTUV e OYMX sono rettangoli. Non e\' difficile provare, inoltre, che abbiano lo stesso centro(il punto comune alle diagonali) che chiamiamo Z. Questo esendo il punto medio di OM e\' fisso al variare di MN in f.
 
 Si puo\' provare (ma e\' un fatto abbastanza noto) che
 
 QZ^2 = QO^2/2 + QM^2/2 - ZO^2.
 
 Ma QM = QP e OQ^2 + QP^2 = r^2
 
 Quindi QZ^2 = r^2/2 - ZO^2 che una funzione costante dei dati.
 
 Pertanto Q si trova sempre alla stessa distanza da Z: cioe\' il luogo cercato e\' una circonferenza.

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-08-24 15:02, sprmnt21 wrote:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-08-21 17:01, karl wrote:
 1)Si consideri la circonferenza di centro O
 e raggio r e sia
 M un punto fisso ad essa interno.Nel fascio f di semirette di
 origine M si considerino:
 a) una semiretta che intersechi la circonf. nel punto N
 b) la semiretta perpendicolare ad MN che intersechi la crf. in P.
 Determinare il luogo del punto medio Q di PN al variare di MN in f.
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 \"completiamo\" la figura in questo modo: siano R ed S (gli altri) punti in cui MN ed MP tagliano il cerchio c(O); siano T, U, V, X ed Y i punti medi di PR, RS, SN, NR ed SP rispettivamente.
 E\' facile verificare che QTUV e OYMX sono rettangoli. Non e\' difficile provare, inoltre, che abbiano lo stesso centro(il punto comune alle diagonali) che chiamiamo Z. Questo esendo il punto medio di OM e\' fisso al variare di MN in f.
 
 Si puo\' provare (ma e\' un fatto abbastanza noto) che
 
 QZ^2 = QO^2/2 + QM^2/2 - ZO^2.
 
 Ma QM = QP e OQ^2 + QP^2 = r^2
 
 Quindi QZ^2 = r^2/2 - ZO^2 che una funzione costante dei dati.
 
 Pertanto Q si trova sempre alla stessa distanza da Z: cioe\' il luogo cercato e\' una circonferenza.
 
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 
 In effetti, quelle riferite sono proprieta\' magari interessanti ma per nulla essenziali alla soluzione del problema.
 
 Quello che conta e\' (quasi banalmente) che OQ^2 +MQ^2 = r^2. E questo definisce semplicemente e completamente il luogo cercato: che e\' una circonferenza con centro nel punto medio di OM e raggio r^2/2 - ZO^2.

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Giusto.
 La risposta era comunque implicita anche nella prima
 tua dimostrazione.
 Ciao.