pillole di teoria dei numeri

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

i termini della prima sommatoria sono il numero dei divisori di (un divisore al cubo) o (il numero di divisori di un divisore) al cubo?

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Non e\' proprio in tema con gli altri problemini, ma e\' pur sempre di teoria dei numeri:
 
 dimostrate che non esistono quattro quadrati (distinti) in progressione aritmetica.

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

@talpuz
 
 i termini della prima sommatoria (il numero di divisori di un divisore) al cubo

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

ok.. non uccidetemi... un piccolo errore di stampa... il problema è sum phi(i)/(2^i-1)
 
 so che molti desidereranno la mia morte per questo...

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
 
 per farti perdonare potresti fare questo intanto <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 --------
 
 dimostrare che le funzioni σ(n) e d(n) sono moltiplicative
 [se MCD(a,b)=1 ==> f(ab)=f(a)*f(b)]

gip · Messaggio da **gip** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 dimostrare che le funzioni σ(n) e d(n) sono moltiplicative
 [se MCD(a,b)=1 ==> f(ab)=f(a)*f(b)]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Per d(n):
 
 per ogni x=p_a^a*p_b^b*...*p_n^n si ha che d(x)=(a+1)*(b+1)*...*(n+1), in quanto, per ottenere un divisore di x, si può scegliere per ogni fattore primo un esponente tra 0 (compreso) e l\'esponente che quel fattore primo ha in x.
 Prendendo x, y tali che (x,y)=1 si ha x=p_a^a*p_b^b*...*p_n^n e y=p_aa^aa*p_bb^bb*...*p_nn^nn, da cui:
 d(x)=(a+1)*(b+1)*...*(n+1), d(y)=(aa+1)*(bb+1)*...*(nn+1) => d(x)*d(y)= (a+1)*(b+1)*...*(n+1)*(aa+1)*(bb+1)*...*(nn+1); mentre x*y=p_a^a*p_b^b*...*p_n^n*p_aa^aa*p_bb^bb*...*p_nn^nn (poichè non vi sono fattori primi comuni ad a e b), da cui d(x*y)=(a+1)*(b+1)*...*(n+1)*(aa+1)*(bb+1)*...*(nn+1).
 
 Ciao

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-08-04 18:49, andrea84 wrote:
 
 φ(d)*φ(d^2a1b1)=d*φ(d*a1)*φ(d*b1)
 da cui sfruttanfo la moltiplicatività
 φ(d)*φ(d^2)*φ(a1b1)=d*(φ(d))^2*φ(a1)*φ(b1)
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 grazie per aver riesumato il thread, visto che ci sono rimaste delle questioni inconcluse...
 
 però nel passaggio sopra c\'è un baco... chi ti dice che MCD(d,a1)=(d,b1)=1 (cosa necessaria per la moltiplicatività)??
 
 ad esempio se a=18 b=6, a=3*6 e b=1*6 (6 è l\'MCD), e quindi MCD(3,1)=1 (sono i tuoi a1 e b1) ma MCD(3,6)=/=1! (che sarebbe MCD(a1,d))
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Azz... hai pienamente ragione Talpuz! (l\'ho fatto troppo distrattamente)
 
 Vediamo di rimediare (non posto una vera e propria soluzione perchè è pesantissima da scrivere, ma l\'idea dovrebbe essere quella giusta).
 
 a=p_1^e1...p_d^ed*t_1^m1*....*t_n^mn
 b=p_1^g1...p_d^gd*q_1^h1*....*q_f^hf
 
 con i t diversi da ogni q e viceversa.
 
 d=p_1^min(e1,g1)*...*p_d^min(ed,gd)
 
 Consideriamo dunque φ(ab)/(φ(a)*φ(b))=p_1*...*p_d/((p_1-1)*...*(p_d-1)) dopo aver semplificato il semplificabile.
 Consideriamo ora d/φ(d) =prod(i=1..d) p_i^min(e_i,q_i)/prod(i=1..d)p_i^(min(e_i,q_i)-1)*(p_i-1) da cui semplificando otteniamo :
 p_1*...*p_d/((p_1-1)*...*(p_d-1)) che è esattamente uguale al membro di sinistra.
 
 Scusate la notazione e gli eventuali strafalcioni
 
 Ciao

gip · Messaggio da **gip** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-08-04 19:18, talpuz wrote:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-08-04 18:49, andrea84 wrote:
 
 ?(d)*?(d^2a1b1)=d*?(d*a1)*?(d*b1)
 da cui sfruttanfo la moltiplicatività
 ?(d)*?(d^2)*?(a1b1)=d*(?(d))^2*?(a1)*?(b1)
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 grazie per aver riesumato il thread, visto che ci sono rimaste delle questioni inconcluse...
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Perchè ogni tanto i post scompaiono?? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> Io non vedo mica il primo messaggio di andrea84... (quindi, tanto per sapere, quale quesito stavi risolvendo? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> )

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Il testo è dimostrare che
 phi(d)*phi(ab)=d*phi(a)*phi(b)
 con d=(a,b)
 
 
 ciao

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Non è + semplice così?
 
 Lemma 1: f(n)=phi(n)/n=prod[p|n](1-1/p)
 Dim: è interpretato come probabilità che nn sia multiplo dei primi che dividono n
 
 phi(d)*phi(ab)=d*phi(a)*phi(b)
 
 Ora dividiamo tutto per a*b*d e otteniamo:
 f(d)*f(ab)=f(a)*f(b)
 
 che è vero xkè i primi contenuti sia in a sia in b sono contenuti sia in ab sia in d e i primi contenuti solo in a o solo in b sono contenuti solo in ab.

Marco · Messaggio da **Marco** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao. Recupero un vecchio messaggio con un problema che è rimasto lì appeso senza riscuotere troppa audience.
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-01-06 21:15, Simo_the_wolf wrote:
 questo è un pò + difficile:
 
 d(n)=numero di divisori di n
 d_i = divisore di n (i da 1 a d(n))
 
 sum (d(d_i))^3 = (sum d(d_i) )^2
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 
 Spero di aver scritto bene
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 08-01-2004 22:10 ]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Scketch.
 
 Beh, questo sfrutta ancora le proprietà delle funzioni moltiplicative. Entrambi i membri sono funzioni moltiplicative (prodotto e convoluzione di funzioni moltiplicative sono funzioni moltiplicative). A questo punto basta verificare l\'identità per le potenze dei primi. L\'equazione si riduce alla formula dei numeri triangolari da una parte e dei primi cubi dall\'altra.
 
 Si lasciano i dettagli della dimostrazione al lettore [ih, ih, ih...].
 
 Alla prossima.
 
 M.