Bellino

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao
 
 Vediamo se ho sbagliato i conti anche qui <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 Allora trovare le ultime due cifre di 2003^M dove M=2002^2001, spero sia chiaro.
 
 Ciao e buon lavoro

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

241
 (con certe congruenze)

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Oh bene!
 
 Non sono ancora rincoglionito del tutto allora <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Per chi avesse voglia di giocare un pò con i numeri:
 
 Un numero ha tre cifre distinte; sommando tra loro i 5 numeri che si ottengono permutando le sue cifre si ottiene 2003.
 Determinare il numero
 
 
 Ciao <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

JackSparrow · Messaggio da **JackSparrow** » 01 gen 1970, 01:33

Il numero è 217. Infatti la somma di tutte le sue possibili permutazioni è 222(7 + 2 + 1) = 2220, che, diminuita di 217 (poichè il numero iniziale non va considerato), dà 2003.
 
 Ciao. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: JackSparrow il 26-07-2004 20:31 ]

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Già! Ma chi ti dice che sia l\'unico?
 Modifichiamo un pò l\'esercizio:
 Trovare TUTTI i numeri di 3 cifre tali che.... <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">

ReKaio · Messaggio da **ReKaio** » 01 gen 1970, 01:33

222(a+b+c)=2003+n
 
 9*222=1998<2003
 13*222=3108>2002+999
 
 10<=a+b+c<=12
 
 se a+b+c=10 222*10=2003+n n=217 somma delle cifre 10
 
 se a+b+c=11 222*11=2003+n n=439 che non ha somma delle cifre 11
 
 se a+b+c=12 222*12=2003+n n=661 che non ha somma delle cifre 12
 
 unico buono per il problema 217
 
 sono cattivo [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 27-07-2004 01:28 ]

ReKaio · Messaggio da **ReKaio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Allora trovare le ultime due cifre di 2003^M dove M=2002^2001, spero sia chiaro.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 lavoro in mod 100 per le ultime 2 cifre, quindi 2003^M==3^M
 3^phi(100)=3^40==1 mod 100
 per scrupolo controllo e noto che anche 3^20==1 mod 100
 
 mi basta studiare 2002^2001 in modulo 20, 2^2001==12 mod 20
 
 3^M==3^12==41 mod 100
 
 wow, la mia dimostrazione più brutta mai prodotta

cosma2000 · Messaggio da **cosma2000** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-25 16:22, andrea84 wrote:
 Ciao
 
 Vediamo se ho sbagliato i conti anche qui <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 Allora trovare le ultime due cifre di 2003^M dove M=2002^2001, spero sia chiaro.
 
 Ciao e buon lavoro
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 
 C\'è uno con molto buon cuore che mi spiega passo-passo come si risolve questo esercizio???
 
 Grazie.
 Ciao.

Messaggio da **FrancescoVeneziano** » 01 gen 1970, 01:33

Dobbiamo calcolare 2003^2002^2001 mod 100
 
 cominciamo a semplificare osservando che 2003==3 (100) e che phi(100)=phi(4)phi(25)=2*20=40
 
 ora ci serve 2002^2001 mod40 cioè 2^2001 mod40.
 Usando il teorema cinese e risolvendo separatamente
 
 2^2001==0 (<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 2^2001==2 (5)
 
 abbiamo che
 2002^2001==2^2001==32 (40)
 pertanto
 2003^2002^2001==3^2002^2001==3^32 (100)
 
 di nuovo col teorema cinese
 
 3^32==-1^32==1 (4)
 3^32==3^12==17^(-12)==17^8==(-1)^8 * 8^8==2^24==2^4==16 (25)
 
 e quindi la risposta tanto cercata è 41.
 
 NOTA:
 la soluzione che ti ho presentato non è \"rifinita\" nel senso che ci sarebbero scorciatoie come l\'osservazione di kayo su 3^20 (100) e suona molto faticosa e artificiosa perché mi sono limitato a calcoli eseguibili a mente senza calcolatrici.
 
 Ho cercato di non introdurre passaggi che possono sembrare arbitrari, quindi prendilo più come un esempio di come vanno risolti problemi di questo tipo (molto standard) che come una soluzione a questo problema specifico.
 
 La teoria usata si limita al teorema di Eulero
 a^phi(n)==1 (n) se a e n sono coprimi
 e al teorema cinese del resto, che sono fondamentali e vanno saputi.
 
 Chiedi pure se qualcosa ancora non è chiaro.
 
 CaO
 Francesco

cosma2000 · Messaggio da **cosma2000** » 01 gen 1970, 01:33

Grazie ma.....
 non ci ho capito molto.
 
 1. phi, mod e il teorema cinese mi sono un po\' sconosciuti: dove posso trovare qualche cosa su questi argomenti?
 2. tu hai scritto che dobbiamo calcolare 2003^2002^2001 etc. etc. ma non era 2003^(2002^2001)?
 
 Grazie.
 Ciao.

Messaggio da **FrancescoVeneziano** » 01 gen 1970, 01:33

<IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
 
 Un buon posto dove studiare la teoria è
 http://donut.math.toronto.edu/~naoki/nt.pdf
 sono dispense abbastanza avanzate, pensate per le olimpiadi internazionali, c\'è tutto il necessario e un po\' di più.
 
 
 Con 2003^2002^2001 intendevo 2003^(2002^2001)
 
 CaO
 Francesco

JackSparrow · Messaggio da **JackSparrow** » 01 gen 1970, 01:33

Per quanto rigurda il problema di trovare tutti i numeri di tre cifre tali che le 5 permutazioni di queste cifre diano somma 2003, ecco il procedimento che ho usato per arrivare al risultato (che dimostra anche che 217 è l\'unica soluzione).
 
 Chiamiamo x, y e z le tre cifre, nell\'ordine, che formano il numero. La somma di tutte le loro permutazioni escluso il numero di partenza è 222(x + y + z) - 100x - 10y - z = 122x + 212y + 221z = 122(x + y + z) + 9(10y + 11z). Ponendo x + y + z = m e 10x + 11z = n, si ottiene la diofantea 122m + 9n = 2003; le sue soluzioni positive sono m = 1 e n = 209 o m = 10 e n = 87. La prima coppia non dà luogo a nessun valore accettabile di x, y e z, la seconda invece dà come valori accettabili x = 2, y = 1 e z = 7. Il numero cercato è pertanto 217 ed è unico.