dimostrare che la serie degli inversi dei numeri primi diverge.
<BR>
<BR>spero non sia anche questa una cazzata e di non essere deriso, perchè io non ci sono ancora riuscito...
<BR>
<BR>ciao
serie
Moderatore: tutor
Beh, prendiamo qualcosa che diverge...
<BR>
<BR>Sum[1....N](1/n)
<BR>
<BR>e osserviamo che
<BR>
<BR>Sum[1....N](1/n)<= Prod[p_j<=N]( Sum(1/p_j)^i )=
<BR>
<BR>=Prod[p_j<=N](1 - (1/p_j) )^(-1)<= EXP ( Sum[p_j<=N](2/p_j) )
<BR>
<BR>dove l\'ultima disuguaglianza è vera poichè
<BR>(1-x)^(-1)<= e^(2x)
<BR>se 0<=x<=(1/2)
<BR>
<BR>Quindi, prendendo il logaritmo e dividendo per due otteniamo
<BR>
<BR>log(sqrt(H_n))<=Sum[p_j<=n](1/p_j)
<BR>
<BR>e poichè H_n---> Inf se n---> Inf, anche il log della radice tende a infinito e quindi la serie degli inversi dei primi diverge.
<BR>
<BR>Mi rendo conto che la simbologia è un po\' pesante, ma non è nulla di complicato.
<BR>
<BR>La prima disuguaglianza c\'è anche nel Courant-Robbins...nn mi ricordo più a che proposito...
<BR>
<BR>
<BR>PS: La dimostrazione di Erdos è semplicemente la dimostrazione scritta da Paul Erdos, matematico novecentesco, grande teorico dei numeri, brillantissimo nelle sue dimostrazioni. nn so però dove si possa trovarla...in realtà non credo di averla mai vista.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 25-07-2004 02:36 ]
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<BR>Sum[1....N](1/n)
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<BR>e osserviamo che
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<BR>Sum[1....N](1/n)<= Prod[p_j<=N]( Sum(1/p_j)^i )=
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<BR>=Prod[p_j<=N](1 - (1/p_j) )^(-1)<= EXP ( Sum[p_j<=N](2/p_j) )
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<BR>dove l\'ultima disuguaglianza è vera poichè
<BR>(1-x)^(-1)<= e^(2x)
<BR>se 0<=x<=(1/2)
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<BR>Quindi, prendendo il logaritmo e dividendo per due otteniamo
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<BR>log(sqrt(H_n))<=Sum[p_j<=n](1/p_j)
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<BR>e poichè H_n---> Inf se n---> Inf, anche il log della radice tende a infinito e quindi la serie degli inversi dei primi diverge.
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<BR>Mi rendo conto che la simbologia è un po\' pesante, ma non è nulla di complicato.
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<BR>La prima disuguaglianza c\'è anche nel Courant-Robbins...nn mi ricordo più a che proposito...
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<BR>PS: La dimostrazione di Erdos è semplicemente la dimostrazione scritta da Paul Erdos, matematico novecentesco, grande teorico dei numeri, brillantissimo nelle sue dimostrazioni. nn so però dove si possa trovarla...in realtà non credo di averla mai vista.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 25-07-2004 02:36 ]