IMO 2004

tmart · Messaggio da **tmart** » 01 gen 1970, 01:33

Come tutti sapete le prove sono terminate ieri...
 Quindi innanzitutto ecco i testi dei problemi:
 
 Primo Giorno:
 
 1. Sia ABC un triangolo acutangolo con AB!=AC. Il cerchio di diametro BC incontra i lati AB e AC in M e N rispettivamente. Chiamiamo O il punto medio del lato BC. Le bisettrici degli angoli BAC e MON si incontrano in R. Dimostrare che le circonferenze circoscritte dei triangoli BMR e CNR hanno un punto in comune che sta sul lato BC.
 
 2. Trovare tutti i polinomi f a coefficienti reali tali che per tutti i reali a, b, c tali che ab+bc+ca=0 siano verificate le seguenti relazioni
 f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = 2f(a+b+c)
 
 3. Definiamo un uncino la figura composta di sei quadrati di lato unitario ottenuta togliendo a un quadrato 3*3 il quadrato centrale e i due in basso a destra e tutte le figure ottenute applicando rotazioni e riflessioni alla figura.
 
 Determinare tutti i rettangoli m*n che possono essere coperti con gli uncini senza buchi e senza sovrapposizioni tali che
 - il rettangolo è coperto senza buchi e sovrapposizioni (meglio ripetersi...)
 - nessuna parte dell\'uncino copre l\'area fuori dal triangolo
 
 Secondo Giorno:
 
 4. Sia n>=3 un intero. Siano t1, t2, ..., tn numeri reali positivi tali che
 n^2 + 1 > (t1 + t2 + ... + tn)(1/t1 + 1/t2 + ... + 1/tn)
 
 Dimostrare che ti, tj, tk sono i lati di un triangolo per tutti gli i, j, k con n>=k>j>i>=1
 
 5. In un quadrilatero convesso ABCD la diagonale BD non è bisettrice né di ABC bé di CDA. Un punto P sta in ABCD ed è tale che
 BDA>=PDC e DBA>=PBC
 Provare che ABCD è un quadrilatero ciclico se e solo se AP=CP.
 
 6. Un intero positivo è chiamato \"alternante\" se ogni due cifre consecutive nella sua rappresentazione decimale sono di differente parità.
 
 Trovare tutti gli interi n tali che n ha un multiplo \"alternante\"
 
 
 Attendo notizie dalla squadra italiana!
 
 Selihuth Muessel Keil Mihn
 Edit: così is better? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: tmart il 15-07-2004 13:23 ]

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Provate a fare il 5...è veramente figo!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

Dexter_84 · Messaggio da **Dexter_84** » 01 gen 1970, 01:33

Sembrano un pò + semplici degli anni scorsi!!!
 forse la nostra squadra riuscirà a beccharsi qualche medaglia......

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

nel 6 secondo me c\'è un errore nel testo,magari chiede: trovare tutti gli n che hanno un multiplo NON alternante, altrimenti è banale.
 tutti i numeri hanno multipli alternanti.

matthewtrager · Messaggio da **matthewtrager** » 01 gen 1970, 01:33

i multipli di 20 non sono mai alternanti

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

100 è alternante

matthewtrager · Messaggio da **matthewtrager** » 01 gen 1970, 01:33

come 100 e\' alternante?! 0 e 0 non ti sembra che abbiano la stessa parita\'?

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

1 e 0 hanno differente parità

matthewtrager · Messaggio da **matthewtrager** » 01 gen 1970, 01:33

ho capito il malinteso: il problema vorrebbe dire che tutte le cifre consecutive hanno parita\' diversa (ma lo dice molto male). ecco l\'originale in inglese (da un altro sito):
 
 We call a positive integer alternating if every two consecutive digits in its decimal representation are of different parity.
 
 Find all positive integers n such that n has a multiple which is alternating.

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

ecco, mi sembra ben diversa la cosa, adesso <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 tnx

tmart · Messaggio da **tmart** » 01 gen 1970, 01:33

Ebbene sì... eccoci qui:
 
 1. China 220
 2. USA 212
 3. Russia 205  Ma guarda un po\'...China, USA e Russia <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 4. Vietnam 196
 5. Bulgaria 194
 6. Taiwan 190
 7. Hungary 187
 8. Japan 182
 9. Iran 178
 10. Romania 176
 11. Ukraine 174
 12. Korea 166
 13. Belarus 154
 14. India 151
 15. Israel 147
 16. Poland 142
 17. Moldova 140
 18. Singapore 139
 19. Mongolia 135
 20. UK 134
 21= Brazil 132
 21= Canada 132
 21= Kazakhstan 132
 21= Serbia and Montenegro 132
 25. Germany 130
 26. Greece 126
 27. Australia 125
 28. Georgia 123
 29. Colombia 122
 30. Hong Kong 120
 31= Slovakia 119
 31= Turkey 119
 33. South Africa 110
 34. Czech Rep 109
 35. Thailand 99
 36. Armenia 98
 37. Mexico 96
 38. France 94
 39. Argentina 92
 40. Croatia 89
 41. Morocco 88
 42= Belgium 86
 42= Macau 86
 44. Estonia 85
 45. Uzbekistan 79
 46. Sweden 75
 47. Azerbaijan 72
 48. FYROM 71
 49= Italy 69 
 49= Slovenia 69
 51. Lithuania 65
 52= Kyrgystan 63
 52= Latvia 63
 54. Indonesia 61
 55= Albania 57
 55= Spain 57
 55= Switzerland 57
 58. New Zealand 56
 59= Austria 55
 59= Norway 55
 61. Netherlands 53
 62. Turkmenistan 52
 63= Cyprus 49
 63= Finland 49
 63= Peru 49
 66. Ireland 48
 67. Uruguay 47
 68. Denmark 46
 69. Puerto Rico 43
 70. Bosnia and Hercegovina 40
 71. Luxembourg 36
 72. Iceland 35
 73. Malaysia 34
 74. Sri Lanka 33
 75. Tunisia 31
 76. Trinidad and Tobago 29
 77. Portugal 26
 78. Cuba 17
 79. Phillipines 16
 80. Venezuela 15
 81. Ecuador 14
 82= Mozambique 13
 82= Paraguay 13
 84. Kuwait 5
 85. Saudi Arabia 4
 
 Sapete il Lussemburgo ha fatto 36 punti ma con 2 partecipanti... (almeno è quello che si dice)[addsig]

gippo · Messaggio da **gippo** » 01 gen 1970, 01:33

Macau may be among the world\'s smallest place, but that fact has never stopped the 448,500 residents from \"thinking big\".

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

Quanto alle medaglie, avete qualche informazione? 69/6=11+ mi fa sperare bene...
 
 ciao,
 --federico [ Questo Messaggio è stato Modificato da: fph il 16-07-2004 21:42 ]

Ospite · Messaggio da **Ospite** » 01 gen 1970, 01:33

bello --><A HREF="http://www.mathlinks.ro/viewforum.php?f=127" TARGET="_blank">mathlink</A><-- , dateci un\'occhiata..
 ciao
 -f- [ Questo Messaggio è stato Modificato da: franc il 18-07-2004 00:04 ]

po · Messaggio da po » 01 gen 1970, 01:33

Bronzo (>=16): Luca Barbieri (20), Carlo Maria Rosati (19)
 Menzione d\'onore: Marco Golla