equazione omogenea

simon04 · Messaggio da **simon04** » 01 gen 1970, 01:33

Dimostrare che le uniche soluzioni razionali dell\'equazione
 x^3 + 3y^3 + 9z^3 - 9xyz = 0
 sono x = y = z = 0 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

uppo, per i principianti...
 suvvia, questo problema è fondamentale!
 impegnatevi! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

mitchan88 · Messaggio da **mitchan88** » 01 gen 1970, 01:33

Come si scrive radice cubica? dato che non lo so lo indico con 3rt...
 Scriviamo x^3+3y^3+9z^3=9xyz
 i termini a sinistra sono i cubi di x, 3rt(3)y e 3rt(9)z, il cui prodotto è 3xyz;
 applicando la disuguaglianza fra le medie si ha:
 3rt((x^3+3y^3+9z^3)/3)>=3rt(3xyz)
 ovvero
 x^3+3y^3+9z^3>=9xyz
 sapendo che si ha l\'uguaglianza solo per x=y=z=0, si ottiene la soluzione del problema. spero di non aver scritto boiate, sono solo un principiante!

Messaggio da **FrancescoVeneziano** » 01 gen 1970, 01:33

Due osservazioni: l\'uguaglianza nelle disuguaglianze tra medie si ottiene quando tutti i termini suno uguali tra loro, quindi non puoi concludere subito ma devi osservare che l\'uguaglianza si ottiene se
 x=3rt(3)y=3rt(9)z
 e poiché 3rt(3) è irrazionale, l\'unica soluzione razionale è x=y=z=0
 (forse non ci avevi pensato, forse ti sembrava ovvio, ma è la classica imprecisione che fa perdere punti nelle gare)
 
 
 Inoltre è importante ricordare che le disuguaglianze tra medie valgono se i termini sono positivi o nulli, mentre nella proposizione che vuoi dimostrare x,y,z possono essere negativi.
 
 CaO
 Francesco [ Questo Messaggio è stato Modificato da: FrancescoVeneziano il 01-07-2004 11:07 ]

mitchan88 · Messaggio da **mitchan88** » 01 gen 1970, 01:33

allora usiamo il principio di discesa infinita di fermat!
 Ovvero se una soluzione è x,y,z implica che anche x/3, y/3, z/3 è soluzione
 reiterando all\'infinito questa impòklicazione si ottiene che la soluzione è x=y=z=0!

Messaggio da **FrancescoVeneziano** » 01 gen 1970, 01:33

Giusto, oserei dire che l\'esercizio era costruito appositamente per essere risolto così.
 Che ne dici di essere un po\' più prolisso e spiegare come funziona la discesa infinita per quelli che non la conoscono? è un tipo di ragionamento che è bene aver presente e che può tornare utile in altre occasioni.
 
 CaO
 Francesco

simon04 · Messaggio da **simon04** » 01 gen 1970, 01:33

Sicuramente hai ragione, ma non capisco perchè se (x, y, z) è soluzione allora (x/3, y/3, z/3) deve ancora essere soluzione.
 Sostituendo x/3 al posto di x e così via ottieni nuovamente la stessa equazione, ma basta questo per avere l\'implicazione sulle soluzioni ? Non è un semplice cambiamento di variabile ?
 
 Ciao
 Simo [ Questo Messaggio è stato Modificato da: simon04 il 01-07-2004 11:35 ]

matthewtrager · Messaggio da **matthewtrager** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-30 16:06, simon04 wrote:
 Dimostrare che le uniche soluzioni razionali dell\'equazione
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 ma come fai ad applicare la discesa infinita sui razionali?

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

diventa:
 a3/d3 + 3b3/e3 + 9c3/f3 = 9abc/(def)
 moltiplichi per d3*e3*f3
 
 e ottieni un\' equazione in interi
 poi poni n=aef, m=bfd, p=dec
 e dunque:
 n3 + 3m3 + 9p3= 9mnp
 con m,n,p interi
 a questo punto via libera con la discesa
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 01-07-2004 13:48 ]

mitchan88 · Messaggio da **mitchan88** » 01 gen 1970, 01:33

allora, cercherò di essere più prolisso!
 Il principio di discesa infinita è una variante del principio di induzione che permette di affermare che se una successione è debolmente decrescente allora è costante da un certo punto in poi..
 in questo caso sostituendo x1=x/3 y1=y/3 z1=z/3 si ottiene che
 x1^3+3y1^3+9z1^3=9x1y1z1
 
 sostituendo all\'infinito a x(n) x(n+1)=x(n)/3 e idem per le altre incognite si otterrà che il loro valore tenderà a zero, essendo abs(k/3)>=abs(k), che è la soluzione dell\'equazione!
 
 Ho fatto del mio meglio! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

matthewtrager · Messaggio da **matthewtrager** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-01 13:58, mitchan88 wrote:
 allora, cercherò di essere più prolisso!
 Il principio di discesa infinita è una variante del principio di induzione che permette di affermare che se una successione è debolmente decrescente allora è costante da un certo punto in poi..
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 xo\' guarda che vale solo x gli interi! il passaggio che detto biagio e\' necessario..

Humpty_Dumpty · Messaggio da **Humpty_Dumpty** » 01 gen 1970, 01:33

Non vorrei sembrare pedante ma mi è rimasto un forte dubbio: esiste un metodo per risolvere quell\'equazione che non utilizzi il principio della discesa infinita?
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> Bye