Nuovi problemazzi d\'allenamento

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

1. Do there exist 100 lines in the plane, no three concurrent, such that they intersect in exactly 2002 points?
 
 2. D is a point on the side AB of the triangle ABC such that AB = 4·AD. P is a point on the circumcircle such that angle ADP = angle C. Show that PB = 2·PD.
 <IMG SRC="http://www.kalva.demon.co.uk/bmo/bsoln/diag032.bmp">
 
 3. x, y are positive reals such that x + y = 2. Show that x3y3(x3 + y3) ≤ 2
 
 4. Find all integer solutions to m2 + 2m = n4 + 20n3 + 104n2 + 40n + 2003
 
 5. Show that there do not exist positive integers m, n such that m/n+(n+1)/m=4 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 15-05-2004 19:59 ]

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

1) Si suddividano le 100 rette in n gruppi, in modo tale che due rette dello stesso gruppo abbiano stessa direzione e rette di gruppi diversi abbiamo direzioni diverse. Sia a(k) la cardinalità del gruppo k. E\' allora evidente che il numero totale di intersezioni è
 sum a(i)*(100-a(i))/2 = [100(sum a(i)) - sum a(i)²]/2 = 5000 - sum a(i)²/2.
 La richiesta del testo è soddisfatta se e solo l\'equazione 5000 - sum a(i)²/2 = 2002 con sum a(i) = 100 ammette soluzioni intere positive.
 E\' facile vedere che essa ne ammette molte, ex a(1) = 77, a(2) = 2, a(3) = ... = a(9) = 3
 
 2) Sia AD=a, < BCA = y, < DPB = w, sia t = siny/sin(y-w)
 Allora < APB = y (insiste sull\'arco AB) e per sottrazione < APD = y-w.
 Per il teorema dei seni allora PA/siny = a/sin(y-w) da cui t = PA/a (1).
 Si consideri ora il triangolo APB. Con la posizione AB = 4a, sempre per il teorema dei seni si ha 4a/siny = PA/sin(y-w) da cui 1/t = PA/4a.
 Per (1) si ha t = 4/t da cui 2 = t = PA/a.
 Si osservi ora che per similitudine tra APB e APD si ha PB : PD = PA : a, ovvero PB = 2PD.
 
 3) Sia p = xy. Allora per AM-GM p <= 2. Riscrivendo LHS tenendo conto che x+y = 2 si ha che la relazione da provare diviene p³(8-6p) <= 2. Chi non volesse derivare potrebbe porre p = 1-k, con 0 <= k <= 1, ottenendo
 (1-3k+3k²-k³)(2-6k) <= (1-k³)(2-6k) <= 2 sempre, ove si è usato il fatto che
 k² <= k.
 
 4) Piuttosto faccio le spugnature ad un barbone

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Due piccole precisazioni al terzo esercizio.
 a)sqrt(xy)<(x+y)/2=1--->xy<=1
 b)se si vuole evitare la derivazione si puo\' anche considerare
 la funzione di p : f(p)=6(p)3(4/3-p) .Ora, poiche\'
 risulta p>0,4/3-p>0 ed inoltre p+4/3-p=4/3=costante, per una nota
 regola elementare il massimo si ottiene quando:
 p/3=4/3-p da cui p=1 e f(1) =2 e quindi f(p)<=2
 per p in ]0,1].
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 15-05-2004 19:15 ]

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Diciamo che la \"nota regola elementare\" è un\'applicazione furba dell\'AM-GM. Mssimizzare p³(n-p) equivale a massimizzare 27(p/3)(p/3)(p/3)(n-p). A questo punto la somma dei fattori è costante, via libera.
 Ho letto la prima volta questa furbata sulla mitica dispensa manoscritta del Conti \"massimi e minimi\". Era un grande.

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-05-15 19:28, lordgauss wrote:
 Diciamo che la \"nota regola elementare\" è un\'applicazione furba dell\'AM-GM. Mssimizzare p³(n-p) equivale a massimizzare 27(p/3)(p/3)(p/3)(n-p). A questo punto la somma dei fattori è costante, via libera.
 Ho letto la prima volta questa furbata sulla mitica dispensa manoscritta del Conti \"massimi e minimi\". Era un grande.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 eggià, questa è davero figa come soluzione

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Se interessa,la regola generale e\' la seguente:
 se x1,x2,x3,....xn sono n quantita\' positive
 tali che x1+x2+..+xn=costante,allora la
 funzione x1a1*x2a2*....*xnan
 e\' massima (all\'interno del suo campo di esistenza) se la basi del prodotto
 sono proporzionali ai rispettivi esponenti:
 x1/a1=x2/a2=x3/a3=....=xn/an
 E\' quello che ho fatto per il prodotto p3(4/3-p).
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 15-05-2004 20:06 ]

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Forse mi sbaglio , ma una semplificazione alla gia\' ottima
 soluzione di Lordgauss del secondo es. si puo \' avere cosi\'.
 I triangoli ABP e ADP,come gia indicato da lordgauss medesimo,sono simili
 per avere l\'angolo DAP in comune e gli angoli ADP,APB congruenti
 perche \' entrambi congruenti all\'angolo ACB.Sara\' anche APD=ABP.
 Si hanno allora le due proporzioni:
 AB/PA=PA/AD da cui si trae (tenuto conto che AB=4*AD) che:
 PA=2*AD
 e l\'altra
 PB/PD=PA/AD da cui si trae:
 PB=PA*PD/AD=2*AD*PD/AD ovvero PB=2*PD.
 q.e.d.
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 15-05-2004 21:57 ]

MASSO · Messaggio da **MASSO** » 01 gen 1970, 01:33

EX: 5
 n(n+1)=4mn-m*m
 n(n+1)=m(4n-m)
 m/n=(n+1)/(4n-m)
 sostituendo con quella iniziale
 (n+1)/(4n-m)+(n+1)/m=4
 (n+1)/4(4n-m)+(n+1)/4m=1
 la somma di due frazioni aventi lo stesso numeratore può dare 1 solo se le due frazioni equivalgono ad 1/2
 ma ciò può avvenire solo se hanno lo stesso denominatore cioè se:
 4m=4(4n-m) m=2n
 e ovviamente se il numeratore è la metà del denominatore:
 n+1=2n/2 n+1=n da qui l\'assurdo

MASSO · Messaggio da **MASSO** » 01 gen 1970, 01:33

<IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> Mi sorge un fatidico dubbio atroce:
 \"la somma di due frazioni aventi lo stesso numeratore può dare 1 solo se le due frazioni equivalgono ad 1/2\" <----è vero?

matthewtrager · Messaggio da **matthewtrager** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-05-16 12:16, MASSO wrote:
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> Mi sorge un fatidico dubbio atroce:
 \"la somma di due frazioni aventi lo stesso numeratore può dare 1 solo se le due frazioni equivalgono ad 1/2\" <----è vero?
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 2/3+2/6=1...

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

probabilmente masso intendeva quando le frazioni sono ridotte ai minimi termini.
 in questo caso è vero.
 a/b+a/c=1
 a=bc/(b+c)
 ma (a,b)=(a,c)=1
 quindi a=1

MASSO · Messaggio da **MASSO** » 01 gen 1970, 01:33

ok, il mio primo tentativo di soluzione era sbagliato perciò ci riprovo:
 m^2 +n^2 +n= 4mn
 quindi m^2==0 mod (n)
 raccolgo (m-n)^2 =n(2m-1)
 ora n deve essere coprimo a 2m-1 se no non potrebbe essere divisore di m
 quindi devono essere entrambi due quadrati
 ora chiamando n=k^2 2m-1=q^2 si ha
 ((q^2 -2k^2 +1)/2)^2 =(kq)^2
 estraendo la radice e raddopiando tutto
 q^2 -2k^2 +1 =2qk
 raccogliendo: (q-k)^2 =3k^2 -1
 a sinistra può essere solo congruo a 0 o 1 modulo 3
 mentre a destra è congruo a 2
 Quindi ho vinto

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Quindi ho vinto
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 mi ricorda qualcosa... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">