problema

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Dimostrare che per ogni potenza di 5 esiste un suo multiplo tale che nella sua rappresentazione decimale non vi sia la cifra 0. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

a) Dimostrare che ogni numero ha un multiplo che nella rappresentazione decimale presenta solo 1 e 0
 
 B) Dimostrare che ogni numero tale che (n,10)=1 ha un multiplo che nella rappresentazione decimale presenta solo 1

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-04-21 14:10, andrea84 wrote:
 Dimostrare che per ogni potenza di 5 esiste un suo multiplo tale che nella sua rappresentazione decimale non vi sia la cifra 0. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Se vi fossero infinite potenze di 5 che, moltiplicate per una qualsiasi cifra, non hanno lo 0 nella loro scrittura decimale, l’ipotesi sarebbe dimostrata perchè il multiplo cercato sarebbe:
 
 (5^k*x1*x2*x3*...*xi)/5^n con k>n
 
 dove k è l’esponente della prima potenza seguente che verifica tale ipotesi, x1*x2*x3*...*xi sono i fattori che la rendono, in base 10, con tutte le cifre diverse da 0, e n l’esponente della potenza di 5 che vogliamo rendere a cifre diverse da 0. Tale numero è sempre un intero perchè è uguale ad una potenza positiva di 5 per una serie di fattori interi.
 
 Mutiamo quindi la tesi in:
 -Dimostrare che esistono infinite potenze di 5, che, moltiplicate per un numero indefinito di fattori primi, danno un numero che, in base 10, non contiene la cifra 0.
 
 Poi brancolo nel buio. Continuerò a ripensarci. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 29-04-2004 15:06 ]

tmart · Messaggio da **tmart** » 01 gen 1970, 01:33

Simo, finalmente ti rendo il maltolto.
 
 a)Pigeonhole: per ogni numeri n€N, prendiamo n numeri 1, 11, 111, ..., 111...111 (n UNI); o uno di questi sarà divisibile per n, oppure ci saranno n-1 resti diversi (perché da 1 a n-1)=>pigeonhole: due avranno lo stesso resto: la loro differenza, numero nella forma 111...1100..00 sarà divisibile per n
 b)se n non è divisibile per 2 o 5, dato che 111..1100..00==111..11*2^k*5^k con k minore n come abbiamo visto sopra, anche 111..11 sarà divisibile per n.
 
 Q.E.D.
 
 Selihuth Muessel Keil Mihn
 EDIT: il segno minore... non pensavo lo prendesse come tag [ Questo Messaggio è stato Modificato da: tmart il 21-04-2004 22:26 ]

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-04-21 22:05, Boll wrote:
 Dateci un occhiata e ditemi se non ho fatto qualche errore, forse sono un pò ridondante, ma ne sono consapevole.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 A quanto vedo, la soluzione genera un errore ed un warning...
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Dimostriamo per assurdo, quindi neghiamo la tesi e sosteniamo che esiste una potenza di 5^n massima
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Warning: la negazione della tesi non dice che esiste una potenza massima che gode della proprietà, ma dice che l\'insieme delle potenze che godono della proprietà non è infinito. Questo insieme potrebbe anche essere vuoto, e perciò non avere massimo. In questo caso è banale verificare che non è vuoto, ma in altri casi una leggerezza del genere potrebbe portare ad errori. Ad esempio, se il tuo enunciato fosse falso per tutte le potenze di 5, ma se riuscissi a dimostrare che l\'insieme delle potenze di 5 per cui vale non ha massimo, saresti portato a concludere che vale per infinite potenze di 5... il che ovviamente non può essere. Una commissione olimpica scrupolosa ti toglierebbe un punto, per questa mancanza.
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Ora scriviamo il numero
 ABCDEF...ZABCDEF...Z di 2k cifre, tutte diverse da 0, che sarà uguale a 5^n*5^n*5^k*2^k
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Purtroppo è 5n*10k+5n, e questo dettaglio inficia tutto il resto della dimostrazione.
 
 Peccato che non funzioni, perchè le idee su cui si basava il ragionamento erano belle. Probabilmente non è tutto da buttare via, prova a fare qualche ritocco nella stessa direzione...
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [addsig]

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Innanzitutto grazie ad Antimateria, che ha avuto la pazienza e il coraggio di leggere la mia dimostrazione. Sto lavorandoci ancora, ma credo che quella via sia arida, sto provando con le congruenze e forse viene meglio.  Nel frattempo se qualcuno vuole correggermi questa è molto, ma molto ben accetto!!!
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-04-21 22:00, Simo_the_wolf wrote:
 a) Dimostrare che ogni numero ha un multiplo che nella rappresentazione decimale presenta solo 1 e 0
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Tmart aveva già dato una soluzione, ma non capendo io il Pigeonhole ne ho cercat un\'altra e, se è corretta, ho anche \"ampliato\" la tesi.
 
 Il criterio di divisibilità di un numero n si può esprimere come:
 
 a1+x*a2+y*a3+...+ak==0 (MOD n) (1)
 
 Dove an rappresenta la cifra di posto n nella scrittura decimale del numero letta da destra a sinistra e x, y ... i valori delle congruenze modulo n delle potenze crescenti di 10.
 
 Quindi dovendo trovare un multiplo di n che contenga solo 0 e 1 nella propria scrittura basterà porre uguale a 0 tutte le cifre che hanno nella (1) un moltiplicatore, e uguale a 1 tutte quelle che non l’hanno. In tal caso il numero di n^2 cifre formato da n blocchi del tipo 100...0 con n-1 zeri sarà sicuramente ==0 (MOD n) perchè il suo “criterio” risulterà n==0 (MOD n), che è, ovviamente, sempre vera, e conterrà solo 0 e 1 nella scrittura decimale, da cui la tesi.
 
 Tale procedimento potrà essere ripetuto con tutti i numeri di 2*n^2, 3*n^2, ..., i*n^2 cifre, formati dai blocchi 100...0 con n-1 zeri, infatti in questi casi si avrà che 2n, 3n, ...,in==0 (MOD n).
 
 Conclusione: Ogni numero ha infiniti multipli che contengono solo 0 e 1 nella scrittura decimale (a meno che tutto questo non sia che un ammasso di byte inutile, il che in realtà è molto probabile).
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

tmart · Messaggio da **tmart** » 01 gen 1970, 01:33

Ripeto l\'annuncio corretto:
 Chiunque conosca un libro simile a
 \"Synopsis of elementary results in pure mathematics\" di Carr
 ristampato negli anni 70 circa come \"Formulae and results in pure mathematics\" o qualcosa del genere... Beh, mi avverta: acquisto!
 
 Ovvero, per chi non lo conoscesse, mi interessa un libro in cui la teoria è concentrata e da dimostrare in gran parte...
 
 Parte II: Pensate sia meglio \"Corso di Matematica Superiore\" (5 volumi + es) di Smirnov o i 3 libri di analisi di Iaquinta, Modica?[addsig]

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Up. Vi prego ditemi se sbaglio e dove lo faccio. Altrimenti scrivete solo \"Bene\" o \"Cazzate\". Tanto da sapere se devo abbandonare il sito per ostracismo o posso continuare ad esercitarmi. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-04-21 22:00, Simo_the_wolf wrote:
 
 B) Dimostrare che ogni numero tale che (n,10)=1 ha un multiplo che nella rappresentazione decimale presenta solo 1
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 se (n,10)=1 ==> 10phi(n)==1 mod(n) ==>sum(i=0...phi(n)-1)10K(phi(n))+i avrà la stessa congruenza mod(n) per ogni k naturale, pertanto basterà mettere in fila tanti 1 quanto è il valore n*(phi(n)) per essere sicuri di avere un numero divisibile per n.

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-04-28 21:38, Boll wrote:
 Innanzitutto grazie ad Antimateria, che ha avuto la pazienza e il coraggio di leggere la mia dimostrazione. Sto lavorandoci ancora, ma credo che quella via sia arida, sto provando con le congruenze e forse viene meglio.  Nel frattempo se qualcuno vuole correggermi questa è molto, ma molto ben accetto!!!
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Non c\'è di che, è stato un piacere! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 Anche questa volta hai tirato fuori una bella idea, ma non l\'hai usata in modo del tutto giusto. Un modo per usarla è quello spiegato di Biagio per il punto B. Nota che, dimostrato il punto B, il punto A segue facilmente.
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Tmart aveva già dato una soluzione, ma non capendo io il Pigeonhole ne ho cercat un\'altra
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Se posso darti un umile consiglio, dovresti vederti il pigeonhole, prima della teoria dei gruppi (visto che parli di moltiplicatori...).[addsig]

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Come mi fate notare, non sono stato molto esauriente nel messaggio precedente.
 
 Dunque, poniamoci nel caso in cui n e 10 sono coprimi. Sappiamo per il teorema di Fermat che la successione delle potenze di 10 modulo n ha un certo periodo k (dipendente da n) e non ha antiperiodo. Ora, il fatto di prendere la stringa 100000... (n-1 volte 0) e ripeterla n volte non garantisce che il numero ottenuto sia multiplo di n. Ad esempio, per n=7, i moduli sono 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, ... . Quindi il periodo è k=6, ed il numero di 49 cifre costruito in questo modo è congruo a 1+3+2-1-3-2+1=1 (mod 7). La stessa cosa succede anche se, al posto di 1000000, prendi una qualunque stringa fatta da sei 0 e un 1.
 Per avere un multiplo di 7 dovresti, ad esempio, prendere una stringa di 6 cifre anzichè 7, oppure ripeterla 6 volte. In generale, come ha fatto Biagio, si può prendere la stringa di k volte 1 e ripeterla n volte, in modo che le cifre corrispondenti negli n blocchi abbiano lo stesso resto modulo n, e che quindi prendendole n volte si ottenga un multiplo di n.