Biliardo

Mag · Messaggio da **Mag** » 01 gen 1970, 01:33

Voglio proporre questo problema per vedere se qualcuno riesce a risolverlo in maniera elegante:
 
 Dato un bilardo di forma circolare e posta una pallina in un punto P, trovare la/e direzione/i che permette/ono alla palla in due sponde di ripassare per il punto P.
 
 il problema è banale è puo essere risolto in via analitica facilmente ma la soluzione appare artificiosa; io penso di avere trovato una soluzione alternativa, ma volgio vedere se ce ne si migliori.
 inoltre il problema può subire generalizzazioni:
 - la figura del biliardo può essere cambiata in una qualunque altra figura
 - il numero di sponde può essere generaliozzato ad n
 
 vediamo chi risolve!

Inor · Messaggio da **Inor** » 01 gen 1970, 01:33

secondo me si può fare anche con una sponda, in quanto se si colpisce la palla perfettamente dritta e la si fa rimbalzare sulla sponda in maniera perfettamente dritta la palla ripasserà al punto P.

Mag · Messaggio da **Mag** » 01 gen 1970, 01:33

Che significa colpire la palla perfettamente diritta?
 ...
 comunque se ti riferisci al tiro che passa per il centro del biliardo è ovvio che quelle sia una soluzione...io mi riferisco agli altri tiri!

J4Ck202 · Messaggio da **J4Ck202** » 01 gen 1970, 01:33

Devo avere interpretato male qualcosa, perché nel caso con 2 sponde la
 soluzione mi viene dipendente da una cubica, nel caso con 3 sponde c\'è
 una soluzione banale (triangolo equilatero inscritto opportunamente ruotato)
 solo se la pallina inizialmente dista dal centro più di R/2, in caso contrario
 c\'è un florilegio di conti. Situazione pressochè analoga con 4 sponde.
 Per un numero di sponde superiore a 4 i poligoni
 stellati (opportunamente ruotati) risolvono agevolmente il problema...
 Restano aperti un po\' di casi..
 
 Dimenticavo.. mi riferisco al caso in cui il biliardo abbia forma circolare.
 Dubito fortemente che si possa generalizzare a \"biliardi di forma qualsiasi\",
 dato che c\'è un\'intera branca della geometria (teoria ergodica) che studia
 queste amenità..
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: J4Ck202 il 01-04-2004 15:35 ]

MaMo · Messaggio da **MaMo** » 01 gen 1970, 01:33

Analiticamente ho trovato la seguente soluzione.
 Indicando con d la distanza tra la pallina e il centro del biliardo di raggio r, le due direzioni (simmetriche) che permettono alla pallina di ripassare per il punto di partenza formano un angolo
 x = arcsin[2r/(r + sqrt(r^2 + 8d^2))]
 con il segmento che unisce il centro del biliardo con il punto di partenza della pallina.

MaMo · Messaggio da **MaMo** » 01 gen 1970, 01:33

Penso di aver trovato la soluzione analitica nel caso che la pallina tocchi tre sponde. L\'angolo diventa:
 x = arcsin[(r/2)*sqrt((3d - r)/d^3)].
 Comunque, la soluzione analitica del problema non mi sembra poi così semplice... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

Mag · Messaggio da **Mag** » 01 gen 1970, 01:33

Io non ho detto che il problema è semplice: però dovete ammettere che basta trovare l\'equazione di riferimento e poi - per quanto astrusi siano i calcoli - la soluzione comunque è la vicino.
 
 io avevo pensato ad un tipo di soluzione diversa: più di tipo geometrico forse... solo che non so se è la migliore... di certo funziona
 
 vi lascio ancora un po\' di tempo per pensarci e per evitare di influenzarvi

Mag · Messaggio da **Mag** » 01 gen 1970, 01:33

Ho capito che non vi sono altre strade immadiate.
 Il prossimo messaggio conterrà l\'immagine della mia soluzione
 (spero che si veda)!

MaMo · Messaggio da **MaMo** » 01 gen 1970, 01:33

Sono riuscito a trovare una soluzione analitica generale del problema.
 L\'ampiezza dell\'angolo x si trova risolvendo l\'equazione:
 d*sinx - r*cos[(90° + x)/n] = 0
 dove n è il numero di sponde necessario per ripassare per il punto P.
 Mag, sono curioso di conoscere la tua soluzione geometrica. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

Mag · Messaggio da **Mag** » 01 gen 1970, 01:33

Io ho scannerizzato le immagini dal mio quadeno, ma non riesco a inserirle nè come allegato (sono troppo grandi), nè nel messaggio.
 
 ora faccio qualche altro tentativo.

Mag · Messaggio da **Mag** » 01 gen 1970, 01:33

Comunque in attesa che qualcuno mi aiuti ad inserire le immagini spiego un po\' il procedimento.
 
 se qualcuno ha fatto ottica capirà prima quanto sto per dire;
 
 quando la palla sbatte sul bordo l\'angolo incidente e l\'angolo riflesso saranno uguali e la normalle sarà il raggio condotto dal centro al punto dell\'urto.
 
 I) si disegni la circonferenza simmetrica a quella di partenza rispetto alla tangente nel punto dell\'urto, e si noti come trasformanto l\'intera figura (e quindi anche la direzione del tiro) la retta incidente e la retta riflessa giaciono sullo stesso piano.
 
 II) si applici il punto I) al secondo urto e al terzo e al quarto e...
 
 III) affinche il tiro passi per il punto P occorre che il punto trasformato
 P-ennesimo giacia sulla retta del rito che si va delineando.
 
 una volta fatto quasto raginamento si pone semplicemente la retta del tiro come coincidente in un piano cartesiano con il semiasse positivo delle ascisse e di pone il punto p come coincidente con l\'origine. la condizione affinche il tiro passi per p e che il P-ennesino abbia ordinata pari a zero.
 
 so che appare complicato ma con una figura sarebbe semplicissimo
 (soprattutto nei calcoli)

Mag · Messaggio da **Mag** » 01 gen 1970, 01:33

Mi spiace ma non riesco ad allegare i file: ci deve essere qualche problema.