3 problemi \"normali\"

tmart · Messaggio da **tmart** » 01 gen 1970, 01:33

A questo punto non mi posso trattenere...
 : il prossim\'anno quindi... saresti fra i possibili candidati alla sns?
 perché la tua prontezza nel rispondere al quesito mi ha lasciato di... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [addsig]

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

La soluzione dell\'IMO la si trova su kalvaa... ma che bello, forse usando un po\' di teoria dei gruppi viene in poco tempo

tmart · Messaggio da **tmart** » 01 gen 1970, 01:33

ah che vergogna ora sì che mi sento piccolo e inesperto...
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
 
 beh, è anche più comodo... Ho ancora qualcuno che mi spieghi quel che non capisco... Se solo l\'avessi incontrata prima [la vergine Matematica]!!!
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 Ma ormai non mi sfugge più (almeno per qualche mese)! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 Sono curioso di vedere la dimostrazione dell\'ultimo problema... mi pare geniale [non la dimostrazione: la formula][addsig]

tmart · Messaggio da **tmart** » 01 gen 1970, 01:33

Sinceramente invidiate l\'organizzazione didattica giapponese dove (per quello che ho capito) chi vuole può fare esclusivamente matematica [mi sembra ci siano dei corsi di vari anni apposta per chi vuol vincere le IMO]?
 
 Sicuramente vengono fuori degli ottimi \"problem solvers\", ma... Vanno oltre la tecnica superba?
 
 ---
 ashikarazu[addsig]

tmart · Messaggio da **tmart** » 01 gen 1970, 01:33

Ma ho ancora troppo da imparare.
 Quindi penso che staccherò la presa del modem e tornerò nel faro.
 
 Disperso e sicuro.
 
 DOBRE NOCIE
 
 P.S. dimostrare che k^2!=2 (mod 3) per qualsiasi k <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> [addsig]

zucco · Messaggio da **zucco** » 01 gen 1970, 01:33

Oddio, leggendo i precedenti post mi viene da dire \"scusate la banalità della domanda\", ma non ho la più pallida idea di come fare l\'esercizio 12 del giornalino 10?
 
 f(x) = f(x^2+x+1)
 
 Come faccio a trovare le funzioni suddette? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

qualche prova suggerisce la via, poi basta l\'induzione

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-02-16 18:30, tmart wrote:
 Dati x, y, z numeri qualsiasi dimostrare che
 x+y+z=sqrt(zx+(y+z)^2+x*sqrt(z(x+y)+(y+z)^2+(x+y)*sqrt(z(x+2y)+(y+z)^2+(x+2y)*sqrt(...))))
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Uhm... mmmh... bah... moh... davvero non saprei... ché d\'altro canto doverci pensare mi dà noia, mi scoccia e per di più m\'indispettisce, e pertanto... poiché nutro qualche riserva sul merito della formulazione originale del problema proposto da questo simpaticissimo ragazzotto della classe \'87, facciamo così...
 
 Supponiamo che siano x, y, z dei numeri reali positivi e assumiamo corrispondentemente, per ogni n€N ed ogni m = 0, 1, ..., n:
 
 fn(m)(x,y,z) := sqrt[z(x+my)+(y+z)2+(x+my)*sqrt[z(x+(m+1)y)+(y+z)2+(x+(m+1)y)*sqrt[z(x+(m+2)y)+...+(x+(n-1)y)*sqrt[z(x+ny)+(y+z)2+(x+ny)]...]]]
 
 Poniamo quindi fn(x,y,z) := fn(0)(x,y,z). Faccio osservare che la successione di funzioni {fn(x,y,z)} così introdotta, limitatamente ad un opportuno sottoinsieme X non vuoto dei reali, è stata definita (in verità) con un certo grado d\'arbitrio, nel tentativo di dare (se non una soluzione....) una formulazione comunque Matematica (= rigorosa?!?) ad un problema che, per quanto io ne capisca... mi si perdoni la pochezza..., continua a non piacermi, dacché pessimamente \"inquadrato\"...
 
 Si vorrebbe... dimostrare che: limn-->+inf fn(x,y,z) = x+y+z, ovvero che:
 
 p.o. ε > 0, esiste v(ε)€N t.c. p.o. n > v(ε): |x+y+z - fn(x,y,z)| < ε
 
 In tal senso, si cominci con l\'osservare che, per ogni n€N:
 <center>...incrociando gli alluci nella speranza di non aver cannato qualche conto...</center>
 x+y+z - fn(x,y,z) = [x+(n+2)y+z-1]*(prod[k=0...n] (x+ky))/
 /(prod[k=0...n] (x+(k+1)y+z+fn(k)(x,y,z)))
 
 Ora, operando opportune maggiorazioni, si dovrebbe determinare (uso il condizionale perché sto procedendo più che altro a senso, per non togliere al nostro amico tmart il piacere di verificare la correttezza delle mie asserzioni... siccome mi è parso di capire, piiiiccolo, che ci avresti taaanta voglia d\'imparare, beh son certo me ne sarai grato, visto che te ne sto offrendo il modo...):
 
 ~([x+(n+2)y+z-1]*(prod[k=0...n] (x+ky))) ≤ ~((x+y)n+1(n+1)!)
 
 ove \"~\" indica la relazione di equivalenza sulla classe delle successioni numeriche reali divergenti ad infinito per n --> +inf e \"≤\" significa (qui) che il membro di sinistra nella relazione precedente è un infinito d\'ordine non maggiore del membro di destra! Orbene, non mi stupirei, a questo punto, se una stima asintotica e piuttosto grossolana, ottenuta per via d\'opportune minorazioni o a mezzo di iterate espansioni in serie..., riuscisse a dimostrare che:
 
 ~(prod[k=0...n] (x+(k+1)y+z+fn(k)(x,y,z)))) > ~((x+y)n+1(n+1)!)
 
 completando a questo modo la dimostrazione dell\'asserto... che tuttavia non è generalizzabile (per tutta una serie di problemi che ho omesso di evidenziare dacché m\'incresco...) al caso in cui x,y,z non siano dei numeri reali positivi!!! Speranzoso di non aver scritto troppe cazzate, per il momento... ti saluto cordialmente, tmart... o chiunque tu sia...
 
 Salvo alias euler_25
 
 EDIT: ah, quasi dimenticavo... che sbadato... ghghgh... se non sbaglio, quest\'era uno dei k problemi irrisolti su cui tmart si stava concentrando... chi sa se vi ha trovato soluzione, piiiiccolo... ghghgh... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 02-03-2004 01:07 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-02-16 20:01, tmart wrote:
 P.S. dimostrare che k^2!=2 (mod 3) per qualsiasi k <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Oh dio... ma questo è un vero strazio... boh, chi ci capisce più niente... pensavo che fosse... e invece... bah... ghghgh...
 
 Ora, dalla teoria delle congruenze quadratiche, è noto che l\'equazione modulare: k^2 ≡ 2 (mod 3) è risolvibile (in interi) se: Jacobi(2, 3) = 1, ove Jacobi(2, 3) indica il simboli di Jacok Jacobi di numeratore 2 e denominatore 3 (porca paletta, che nome fighissimo ci aveva sto tizio!). E tuttavia, da un celeberrimo lemma dovuto al sommo Karl Friedrich Gauss (quello autentico, s\'intende...), si scopre che il carattere quadratico di 2 modulo p, quando p è un numero primo di valenza dispari, è pari a: (-1)(p2-1)/8, sicché (per p = 3): Jacobi(2, 3) = -1, e l\'equazione modulare: k2 ≡ 2 (mod 3) non ammette alcuna soluzione (sugli interi). [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 17-02-2004 23:56 ]

tmart · Messaggio da **tmart** » 01 gen 1970, 01:33

Non ho capito bene cosa tu intenda con \"pessima inquadratura\"...
 Comunque...Ecco la strada che sto seguendo:
 Dato che n^2=(n-1)(n+1)+1, ponendo n+1 al posto di n avremo
 (n+1)^2=n(n+2)+1
 e continuando
 (n+2)^2=(n+1)(n+3)+1
 e chi ci vieta di sostituire a (n+2) della seconda espressione la radice di (n+1)(n+3)+1? E chi ci vieta di farlo con n+3? Così mi esprimo perché non ho altri mezzi.
 
 (n+2)^2=(n+1)(n+3)+1=n(n+3)+n+3+1=n(n+3)+(n+4);
 (n+3)^2=(n+2)(n+4)+1=n(n+4)+2n+8+1=n(n+4)+(2n+9);
 (n+4)^2=(n+3)(n+5)+1=n(n+5)+3n+15+1=n(n+5)+(3n+16)...
 Questo mi fa venire in mente...
 (n+3+1)^2=n(n+3+1+1)+3n+(3+1)^2 ovvero
 (n+m+1)^2=n(n+m+1+1)+mn+(m+1)^2 o anche
 (n+m+h)^2=n(n+m+2h)+nh+(m+h)^2
 
 ---PAUSA[continuo domani dopo le Oli---[addsig]

tmart · Messaggio da **tmart** » 01 gen 1970, 01:33

Ho due problemi, come al solito le mie soluzioni non mi sembrano eleganti quindi... eccomi qui.
 
 I - Se a, b sono interi mostrare che
 (a+1/2)^n + (b+1/2)^n
 è intero solo per finiti n
 
 II - Per n intero positivo, r(n) indica la somma dei resti di n diviso 1, 2, 3,..., n
 Dimostrare che r(k) = r(k-1) per infiniti k positivi[addsig]

tmart · Messaggio da **tmart** » 01 gen 1970, 01:33

Informazione Gratuita: se lo desiderate ho \"Disquisitiones Arithmeticae\" di Gauss, visto che Euler (ah, vedo che hai apprezzato il TAG aperto <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">)...ne parlava <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 Poi ho Synopsis of pure mathematics di Brooke... 1820 circa. ma questo non credo interessi... Chiaramente sono PDF, quindi they\'re free e ho anche Theory of Numbers di Hardy [ Questo Messaggio è stato Modificato da: tmart il 07-03-2004 11:59 ]

livingbooks · Messaggio da **livingbooks** » 01 gen 1970, 01:33

<IMG SRC="http://tmath.altervista.org/costruzione1a.jpg">

tmart · Messaggio da **tmart** » 01 gen 1970, 01:33

E te livingbooks conoscevi questo?
 
 <IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... s/q386.jpg">
 
 Divertitici... ghghgh[addsig]

tmart · Messaggio da **tmart** » 01 gen 1970, 01:33

Ecco i soliti trucchetti:
 
 <IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... /q1076.jpg">
 
 <IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... /q1070.jpg">
 
 Questo è più tipo Cortona:
 <IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... s/q464.jpg">
 <IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... s/q469.jpg">
 
 <IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... s/q605.jpg">
 
 <IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... s/q681.jpg">
 
 Questi sono un regalo per J4Ck202:
 <IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... s/q463.jpg">
 <IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... s/q295.jpg">
 
 <IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... s/q308.jpg">
 <IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... s/q353.jpg">
 <IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... q353-b.jpg">
 
 
 
 Selihuth Muessel Keil Mihn<DIV style=\"font-size:1pt;color:white\"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: tmart il 13-04-2004 14:12 ]