i) Data l\'equazione
<BR> x^3-px^2+qx+r = 0
<BR>sapendo che p, q, r sono reali e che le tre radici sono strettamente positive.
<BR>Quale condizione su p, q, r garantisce l\'esistenza di un triangolo con per lati le tre radici?
<BR><BR>
<BR><font color=white>Non so che metodi utilizzare per risolvere questo problema; dato che
<BR>p=x1+x2+x3
<BR>q=x1x2+x1x3+x2x3
<BR>r=-x1x2x3
<BR>per massimi e minimi di p, q r le condizioni mi vengono:<BR>
<BR>0 < -r <= (p/3)^3
<BR>(p/2)^2 < q <= (p^2)/3
<BR> </font>
<BR>
<BR>Scusate ne volevo postare altri, ma è l\'ora della... PAPPA! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [addsig]
3 problemi \"normali\"
Moderatore: tutor
Un altro:
<BR>
<BR>a^3+2b^3+4c^3=8abc
<BR>dimostrare che, con a, b, c razionali a=b=c=0 è l\'unica soluzione.
<BR>
<BR><font color=white>
<BR>L\'ho risolto più o meno come si risolve a^2=2b^2, solo che è più lungo perché ci sono 6 variabili qui anche se la parità di una implica la disparità dell\'altra [parlo di numeratori e denumeratori corrispondenti]... Quindi non mi è sembrata una soluzione molto elegante né breve; ma non sono riuscito a trovarne altre...
<BR></font>
<BR>
<BR>Nonostante questi problemi non richiedano una particolare intuizione, mi sono sembrati utili per consolidare/conoscere alcune importanti tecniche di risoluzione... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
<BR>
<BR>Let my looks be the eloquence...
<BR>
<BR>Comunque ne ho altri da chiarire...[addsig]
<BR>
<BR>a^3+2b^3+4c^3=8abc
<BR>dimostrare che, con a, b, c razionali a=b=c=0 è l\'unica soluzione.
<BR>
<BR><font color=white>
<BR>L\'ho risolto più o meno come si risolve a^2=2b^2, solo che è più lungo perché ci sono 6 variabili qui anche se la parità di una implica la disparità dell\'altra [parlo di numeratori e denumeratori corrispondenti]... Quindi non mi è sembrata una soluzione molto elegante né breve; ma non sono riuscito a trovarne altre...
<BR></font>
<BR>
<BR>Nonostante questi problemi non richiedano una particolare intuizione, mi sono sembrati utili per consolidare/conoscere alcune importanti tecniche di risoluzione... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
<BR>
<BR>Let my looks be the eloquence...
<BR>
<BR>Comunque ne ho altri da chiarire...[addsig]
[tex]\Im^\heartsuit_\TeX[/tex]
-
Simo_the_wolf
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- Messaggi: 1053
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- Località: Pescara
Il 2° mi sa di discesa infinita....
<BR>
<BR>sostituisci a con 2a<sub>1</sub>, b con 2b<sub>1</sub>, c con 2c<sub>1</sub> e viene:
<BR>8a<sub>1</sub>³+16b<sub>1</sub>³+32c<sub>1</sub>³=64a<sub>1</sub>b<sub>1</sub>c<sub>1</sub>
<BR>
<BR>quindi (dividendo per 8 quindi) a<sub>1</sub>³+2b<sub>1</sub>³+4c<sub>1</sub>³=8a<sub>1</sub>b<sub>1</sub>c<sub>1</sub>
<BR>
<BR>noi quindi, sapendo che se (a,b,c) è una soluzione anche(a/2,b/2,c/2) è una soluzione allora per la discesa infinita sappiamo che prima o poi dovremmo arrivare ad un punto dove ci fermiamo ed è unico. Quello è la sol. (0,0,0) che, avendo immagine in se stesso nella trasformazione a-->2a b-->2b c-->2c è unica sol dell\'equazione. Non ho scritto molto bene ma spero il concetto si sia capito...
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 16-02-2004 17:02 ]
<BR>
<BR>sostituisci a con 2a<sub>1</sub>, b con 2b<sub>1</sub>, c con 2c<sub>1</sub> e viene:
<BR>8a<sub>1</sub>³+16b<sub>1</sub>³+32c<sub>1</sub>³=64a<sub>1</sub>b<sub>1</sub>c<sub>1</sub>
<BR>
<BR>quindi (dividendo per 8 quindi) a<sub>1</sub>³+2b<sub>1</sub>³+4c<sub>1</sub>³=8a<sub>1</sub>b<sub>1</sub>c<sub>1</sub>
<BR>
<BR>noi quindi, sapendo che se (a,b,c) è una soluzione anche(a/2,b/2,c/2) è una soluzione allora per la discesa infinita sappiamo che prima o poi dovremmo arrivare ad un punto dove ci fermiamo ed è unico. Quello è la sol. (0,0,0) che, avendo immagine in se stesso nella trasformazione a-->2a b-->2b c-->2c è unica sol dell\'equazione. Non ho scritto molto bene ma spero il concetto si sia capito...
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 16-02-2004 17:02 ]
Fiuu...
<BR>Allora la mia soluzione non era sballata!
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>Però a b c non sono interi ma <!-- BBCode Start --><B>razionali</B><!-- BBCode End --> anche se in realtà è solo più lungo
<BR>
<BR>Solo che non capisco: per essere rigorosi bisognerebbe elencare tutti i casi possibili (comincio da: a, b1 o c1 devono essere pari ==> a1, b, c dispari; osservo cosa avviene in ognuno di questi casi... In alcuni \"rami\" di quest\'albero trovo delle \"dead end\" mentre altri rami sono \"spiralizzanti\"... Come posso tradurlo in un linguaggio rigoroso [sempre che il rigore sia richiesto in questo tipo di test]? basta indicare che a/2^n->0 con n->+inf ?)
<BR>
<BR>Quindi ne posto un altro che ho letto ora:
<BR>Jack lancia n+1 monete e ne sceglie n in modo da massimizzare il punteggio.
<BR>Gauss ne lancia n; se Jack e Gauss ottengono lo stesso punteggio vince Gauss.
<BR>Qual\'è la probabilità di Jack di vincere?
<BR><font color=white>A prima vista mi verrebbe da sfruttare la combinatoria: guardo tutte le possibilità di Jack di totalizzare n, n-1, ..., 1, 0 punti ognuno di questi sarà uguale a (n+1)!/(b!(n+1-b)!) con b il punteggio ottenuto, solo che con b=n bisogna aggiungere 1 (quello in cui ha totalizzato n+1 punti dei queli ne prende n), Gauss per vincere dovrà avere c>=b... Ora provo a risolvere queste somme e guardo cosa vien fuori...</font>
<BR>
<BR>
<BR>Ci deve essere un metodo più veloce!
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> [addsig]
<BR>Allora la mia soluzione non era sballata!
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>Però a b c non sono interi ma <!-- BBCode Start --><B>razionali</B><!-- BBCode End --> anche se in realtà è solo più lungo
<BR>
<BR>Solo che non capisco: per essere rigorosi bisognerebbe elencare tutti i casi possibili (comincio da: a, b1 o c1 devono essere pari ==> a1, b, c dispari; osservo cosa avviene in ognuno di questi casi... In alcuni \"rami\" di quest\'albero trovo delle \"dead end\" mentre altri rami sono \"spiralizzanti\"... Come posso tradurlo in un linguaggio rigoroso [sempre che il rigore sia richiesto in questo tipo di test]? basta indicare che a/2^n->0 con n->+inf ?)
<BR>
<BR>Quindi ne posto un altro che ho letto ora:
<BR>Jack lancia n+1 monete e ne sceglie n in modo da massimizzare il punteggio.
<BR>Gauss ne lancia n; se Jack e Gauss ottengono lo stesso punteggio vince Gauss.
<BR>Qual\'è la probabilità di Jack di vincere?
<BR><font color=white>A prima vista mi verrebbe da sfruttare la combinatoria: guardo tutte le possibilità di Jack di totalizzare n, n-1, ..., 1, 0 punti ognuno di questi sarà uguale a (n+1)!/(b!(n+1-b)!) con b il punteggio ottenuto, solo che con b=n bisogna aggiungere 1 (quello in cui ha totalizzato n+1 punti dei queli ne prende n), Gauss per vincere dovrà avere c>=b... Ora provo a risolvere queste somme e guardo cosa vien fuori...</font>
<BR>
<BR>
<BR>Ci deve essere un metodo più veloce!
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> [addsig]
[tex]\Im^\heartsuit_\TeX[/tex]
prendi i primi lanci di Jack e Gauss,
<BR>se jack fa + teste di gauss==> ha vinto
<BR>se jack fa - teste di gauss==> ha perso
<BR>se jack fa tante teste quanto gauss==> serve l\'n+1-esimo tiro
<BR>in questo caso se a Jack viene croce perde, se gli viene testa vince a meno che guass non abbia fatto n teste e lui n+1.
<BR>la probabilità sarà quindi
<BR>1/2 - (1/(2<sup>2n+1</sup>))...meglio essere Gauss.
<BR>se jack fa + teste di gauss==> ha vinto
<BR>se jack fa - teste di gauss==> ha perso
<BR>se jack fa tante teste quanto gauss==> serve l\'n+1-esimo tiro
<BR>in questo caso se a Jack viene croce perde, se gli viene testa vince a meno che guass non abbia fatto n teste e lui n+1.
<BR>la probabilità sarà quindi
<BR>1/2 - (1/(2<sup>2n+1</sup>))...meglio essere Gauss.
Questo è più intrigante, devo ancora pensarci su, ma lo posto ugualmente:
<BR><font color=white>A qualcuno di voi ricorderà la torrida estate 2003...</font>
<BR>Sia p un numero primo. Dimostrare che esiste un numero primo q tale
<BR>che, per ogni intero n, il numero n^p−p non è divisibile per q.
<BR>
<BR>
<BR>Ma ho appena trovato un articolo moooolto interessante(un pochino...)...
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> [addsig]
<BR><font color=white>A qualcuno di voi ricorderà la torrida estate 2003...</font>
<BR>Sia p un numero primo. Dimostrare che esiste un numero primo q tale
<BR>che, per ogni intero n, il numero n^p−p non è divisibile per q.
<BR>
<BR>
<BR>Ma ho appena trovato un articolo moooolto interessante(un pochino...)...
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> [addsig]
[tex]\Im^\heartsuit_\TeX[/tex]
wow!
<BR>Questa sì che è una soluzione! trovata in 5 minuti...
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>wow...
<BR>
<BR>Dati x, y, z numeri qualsiasi dimostrare che
<BR>x+y+z=sqrt(zx+(y+z)^2+x*sqrt(z(x+y)+(y+z)^2+(x+y)*sqrt(z(x+2y)+(y+z)^2+(x+2y)*sqrt(...))))
<BR>
<BR>Non vorrei aver toccato un argomento più grande di me, ma mi sembra tròpo bélo per nò lo\' mèto io!
<BR><font color=white>preferisco non contraddirmi per il momento (vedi sotto)</font>
<BR>P.S. xBiagio - visto come hai risolto l\'ultimo esercizio, forse sai come dimostrare i due prec. in un flash! <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
<BR>
<BR>Selihuth Muessel Keil Mihn
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 16-02-2004 18:34 ]
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 16-02-2004 18:37 ]
<BR><font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: tmart il 16-02-2004 18:38 ]
<BR>Questa sì che è una soluzione! trovata in 5 minuti...
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>wow...
<BR>
<BR>Dati x, y, z numeri qualsiasi dimostrare che
<BR>x+y+z=sqrt(zx+(y+z)^2+x*sqrt(z(x+y)+(y+z)^2+(x+y)*sqrt(z(x+2y)+(y+z)^2+(x+2y)*sqrt(...))))
<BR>
<BR>Non vorrei aver toccato un argomento più grande di me, ma mi sembra tròpo bélo per nò lo\' mèto io!
<BR><font color=white>preferisco non contraddirmi per il momento (vedi sotto)</font>
<BR>P.S. xBiagio - visto come hai risolto l\'ultimo esercizio, forse sai come dimostrare i due prec. in un flash! <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
<BR>
<BR>Selihuth Muessel Keil Mihn
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 16-02-2004 18:34 ]
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 16-02-2004 18:37 ]
<BR><font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: tmart il 16-02-2004 18:38 ]
[tex]\Im^\heartsuit_\TeX[/tex]
Eh eh...
<BR>
<BR>Biagio dall\'occhio lungo (spero non abbia doppi sensi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> )...
<BR>
<BR>P.S. Domanda maybe indiscreta... Di che anno sei? Nel senso: hai partecipato a quelle IMO?
<BR>
<BR>P.P.S. Ehm... Forse ho dimenticato di dire che in bianco ho scritto qualcosa in ogni <font color=white>messaggio</font>
<BR>
<BR>P.P.S. ... A questa domanda mi risponderai di no? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> [addsig]
<BR>
<BR>Biagio dall\'occhio lungo (spero non abbia doppi sensi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> )...
<BR>
<BR>P.S. Domanda maybe indiscreta... Di che anno sei? Nel senso: hai partecipato a quelle IMO?
<BR>
<BR>P.P.S. Ehm... Forse ho dimenticato di dire che in bianco ho scritto qualcosa in ogni <font color=white>messaggio</font>
<BR>
<BR>P.P.S. ... A questa domanda mi risponderai di no? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> [addsig]
[tex]\Im^\heartsuit_\TeX[/tex]
Mi aspetto un intervento almeno di Euler25 sul quesito precedente: lui sicuramente sa...
<BR>
<BR>ghghgh
<BR>
<BR><font color=white>Bene... Ora vedrò la reazione che provoca ghghgh nei lettori e finalmente comprenderò l\'ultimo dei k misteri di questa eterea vita cibernetica...ghghgh comincio a prenderci gusto... </font>
<BR>E mantengo la promessa fatta
<BR>P.S. Non badate a livingbooks, ho visto che ha fatto una tragedia su degli altri forum... Ma risolveremo la questione in privato...
<BR>
<BR>ghghgh----
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [addsig]
<BR>
<BR>ghghgh
<BR>
<BR><font color=white>Bene... Ora vedrò la reazione che provoca ghghgh nei lettori e finalmente comprenderò l\'ultimo dei k misteri di questa eterea vita cibernetica...ghghgh comincio a prenderci gusto... </font>
<BR>E mantengo la promessa fatta
<BR>P.S. Non badate a livingbooks, ho visto che ha fatto una tragedia su degli altri forum... Ma risolveremo la questione in privato...
<BR>
<BR>ghghgh----
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [addsig]
[tex]\Im^\heartsuit_\TeX[/tex]
Mmmmmmh
<BR>Biagio è ancora in linea: questo significa che sta postando una dimostrazione...
<BR>....
<BR>
<BR>CI SCUSIAMO CON I LETTORI PER L\'ATTESA ESTENUANTE.
<BR>P.S. mi riconnetto fra 16 minuti<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: tmart il 16-02-2004 18:53 ]
<BR>Biagio è ancora in linea: questo significa che sta postando una dimostrazione...
<BR>....
<BR>
<BR>CI SCUSIAMO CON I LETTORI PER L\'ATTESA ESTENUANTE.
<BR>P.S. mi riconnetto fra 16 minuti<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: tmart il 16-02-2004 18:53 ]
[tex]\Im^\heartsuit_\TeX[/tex]
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-02-16 13:58, tmart wrote:
<BR>i) Data l\'equazione
<BR> x^3-px^2+qx+r = 0
<BR>sapendo che p, q, r sono reali e che le tre radici sono strettamente positive.
<BR>Quale condizione su p, q, r garantisce l\'esistenza di un triangolo con per lati le tre radici?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>se a,b,c sono le radici, devono essere soddisfatte
<BR>
<BR>a+b>c, a+c>b, c+b>a
<BR>
<BR>o le equivalenti
<BR>
<BR>a+b-c>0, a+c-b>0, b+c-a>0
<BR>
<BR>inoltre, se una delle disug sopra non è soddisfatta, allora le altre due lo sono sicuramente.
<BR>
<BR>quindi se il prodotto (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) è positivo, le tre disug sono soddisfatte, e il triangolo c\'è, se è negativo ce n\'è una che non è soddisfatta, e il triangolo non c\'è
<BR>
<BR>imponendo (p-2a)(p-2b)(p-2c)>0, svolgendo i conti, e esprimendo il risultato in funzione di p,q,r (l\'espressione è simmetrica quindi questo è sicuramente possibile) hai la relzione cercata
<BR>On 2004-02-16 13:58, tmart wrote:
<BR>i) Data l\'equazione
<BR> x^3-px^2+qx+r = 0
<BR>sapendo che p, q, r sono reali e che le tre radici sono strettamente positive.
<BR>Quale condizione su p, q, r garantisce l\'esistenza di un triangolo con per lati le tre radici?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>se a,b,c sono le radici, devono essere soddisfatte
<BR>
<BR>a+b>c, a+c>b, c+b>a
<BR>
<BR>o le equivalenti
<BR>
<BR>a+b-c>0, a+c-b>0, b+c-a>0
<BR>
<BR>inoltre, se una delle disug sopra non è soddisfatta, allora le altre due lo sono sicuramente.
<BR>
<BR>quindi se il prodotto (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) è positivo, le tre disug sono soddisfatte, e il triangolo c\'è, se è negativo ce n\'è una che non è soddisfatta, e il triangolo non c\'è
<BR>
<BR>imponendo (p-2a)(p-2b)(p-2c)>0, svolgendo i conti, e esprimendo il risultato in funzione di p,q,r (l\'espressione è simmetrica quindi questo è sicuramente possibile) hai la relzione cercata
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]
Forse ho sbagliato i conti o forse ho malinteso: mi viene
<BR>
<BR>p^3<4pq+8r
<BR>
<BR>...E\' giusto? ... Se è giusto... Sbaglio sempre strada! <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
<BR>Ma in compenso era meno articolata di quello che pensavo...
<BR>
<BR>Grazie a tutti i colleghi pazienti!
<BR><font color=white>qualcosa</font>[addsig]
<BR>
<BR>p^3<4pq+8r
<BR>
<BR>...E\' giusto? ... Se è giusto... Sbaglio sempre strada! <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
<BR>Ma in compenso era meno articolata di quello che pensavo...
<BR>
<BR>Grazie a tutti i colleghi pazienti!
<BR><font color=white>qualcosa</font>[addsig]
[tex]\Im^\heartsuit_\TeX[/tex]
tmart, mi spiace deluderti ma non ho ancora provato seriamente a risolvere il tuo es., magari lo faccio adesso <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>beh, l\'esercizio IMO, lo conosco, ma non certo per esperienza personale <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>comunque sono un \'85, te?
<BR>beh, l\'esercizio IMO, lo conosco, ma non certo per esperienza personale <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>comunque sono un \'85, te?