Divisibilita\' di polinomi
Moderatore: tutor
Da un sito francese:
<BR>1)Dans quel cas x^(2m)+x^(m)+1 est-il divisibile par x^2+x+1 ?
<BR>
<BR>2) Démontrer que si f(x^n) est divisible par x-1 il l\'est divisible
<BR>aussi par x^(n)-1. (f(x) =polynome)
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 13-02-2004 17:41 ]
<BR>1)Dans quel cas x^(2m)+x^(m)+1 est-il divisibile par x^2+x+1 ?
<BR>
<BR>2) Démontrer que si f(x^n) est divisible par x-1 il l\'est divisible
<BR>aussi par x^(n)-1. (f(x) =polynome)
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 13-02-2004 17:41 ]
non ci crederai ma e` praticamente uno dei problemi che mi hanno
<BR>chiesto 20 minuti fa durante l`orale di aritmetica.
<BR>
<BR>Lemma utile (anzi direi fondamentale)
<BR>Affinche` un polinomio ne divida sempre un altro
<BR>e` necessario che le radici del primo siano anche
<BR>radici del secondo.
<BR>
<BR>Lemma altrettanto utile
<BR>Se un polinomio ammette una certa radice nei complessi
<BR>allora ne ammette anche il coniugato
<BR>
<BR>Ora, visto che x²+x+1=(x³-1)/(x-1), un polinomio nella
<BR>forma x^m + x^n + 1 e` divisibile per x²+x+1 se e solo
<BR>se w^m + w^n + 1 = 0, dove w e` la radice terza dell`unita`.
<BR>Ora, visto che x²+x+1 e` il polinomio minimo di w su Q,
<BR>w^m + w^n + 1 = 0 se e solo se m=1 mod 3 e n=2 mod 3, oppure
<BR>il contrario. La dimostrazione del tuo problema e` un
<BR>corollario di questo fatto interessante:
<BR>
<BR>x²+x+1 divide x^2m + x^m + 1 se e solo se 3 non divide m.
<BR>
<BR>
<BR>chiesto 20 minuti fa durante l`orale di aritmetica.
<BR>
<BR>Lemma utile (anzi direi fondamentale)
<BR>Affinche` un polinomio ne divida sempre un altro
<BR>e` necessario che le radici del primo siano anche
<BR>radici del secondo.
<BR>
<BR>Lemma altrettanto utile
<BR>Se un polinomio ammette una certa radice nei complessi
<BR>allora ne ammette anche il coniugato
<BR>
<BR>Ora, visto che x²+x+1=(x³-1)/(x-1), un polinomio nella
<BR>forma x^m + x^n + 1 e` divisibile per x²+x+1 se e solo
<BR>se w^m + w^n + 1 = 0, dove w e` la radice terza dell`unita`.
<BR>Ora, visto che x²+x+1 e` il polinomio minimo di w su Q,
<BR>w^m + w^n + 1 = 0 se e solo se m=1 mod 3 e n=2 mod 3, oppure
<BR>il contrario. La dimostrazione del tuo problema e` un
<BR>corollario di questo fatto interessante:
<BR>
<BR>x²+x+1 divide x^2m + x^m + 1 se e solo se 3 non divide m.
<BR>
<BR>
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Se un polinomio ammette una certa radice nei complessi
<BR>allora ne ammette anche il coniugato
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Posto che abbia coefficienti reali.
<BR>
<BR>Se un polinomio ammette una certa radice nei complessi
<BR>allora ne ammette anche il coniugato
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Posto che abbia coefficienti reali.
<BR>
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-02-13 18:30, andrea84 wrote:
<BR>Propongo qui un altro problema!
<BR>
<BR>Determinare tutte le soluzioni intere di a^2-3ab-a+b=0
<BR>
<BR>Ciao
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>a²-3ab-a+b=0
<BR>
<BR>a|b=ka
<BR>
<BR>a-3ka+k-1=0
<BR>a=(1-k)/(1-3k)=(1-3k+2k)/(1-3k)= 1+2k/(1-3k)
<BR>
<BR>2k/(1-3k) deve essere intero, quindi
<BR>
<BR>|2k|>=|1-3k|
<BR>
<BR>k<0 --> -2k>=1-3k k>=1 mai
<BR>
<BR>k>=0 --> 2k>=3k-1 k<=1
<BR>k=1 --> a=0 b=0
<BR>k=0 --> a=1 b=0
<BR>
<BR>On 2004-02-13 18:30, andrea84 wrote:
<BR>Propongo qui un altro problema!
<BR>
<BR>Determinare tutte le soluzioni intere di a^2-3ab-a+b=0
<BR>
<BR>Ciao
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>a²-3ab-a+b=0
<BR>
<BR>a|b=ka
<BR>
<BR>a-3ka+k-1=0
<BR>a=(1-k)/(1-3k)=(1-3k+2k)/(1-3k)= 1+2k/(1-3k)
<BR>
<BR>2k/(1-3k) deve essere intero, quindi
<BR>
<BR>|2k|>=|1-3k|
<BR>
<BR>k<0 --> -2k>=1-3k k>=1 mai
<BR>
<BR>k>=0 --> 2k>=3k-1 k<=1
<BR>k=1 --> a=0 b=0
<BR>k=0 --> a=1 b=0
<BR>
_k_
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-02-13 17:25, karl wrote:
<BR>Da un sito francese:
<BR>1)Dans quel cas x^(2m)+x^(m)+1 est-il divisibile par x^2+x+1 ?
<BR>
<BR>2) Démontrer que si f(x^n) est divisible par x-1 il l\'est divisible
<BR>aussi par x^(n)-1. (f(x) =polynome)
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Grazie per la traduzione comunque!
<BR>On 2004-02-13 17:25, karl wrote:
<BR>Da un sito francese:
<BR>1)Dans quel cas x^(2m)+x^(m)+1 est-il divisibile par x^2+x+1 ?
<BR>
<BR>2) Démontrer que si f(x^n) est divisible par x-1 il l\'est divisible
<BR>aussi par x^(n)-1. (f(x) =polynome)
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Grazie per la traduzione comunque!
In the break of new dawn
My hope is forlorn
Shadows they will fade
But I'm always in the shade
Without you...
My Selene - Sonata Arctica
My hope is forlorn
Shadows they will fade
But I'm always in the shade
Without you...
My Selene - Sonata Arctica
con un metodo un po\' meno creativo e tutt\'altro che elegante
<BR>
<BR>si considera la relazione come un\'eq di II grado in a, e si ricava a con la solita formula. poi si impone che il polinomio sotto radice sia un quadrato perfetto
<BR>
<BR>9b<sup>2</sup>+2b+1=k<sup>2</sup>
<BR>
<BR>poi si esprime b nuovamente con la formula risolutiva, si impone che sotto radice ci sia un quadrato perfetto, ecc... finchè non si arriva a
<BR>
<BR>h<sup>2</sup>+8=j<sup>2</sup> ==>
<BR>
<BR>8=(j+h)(j-h) da cui j=3, h=1 oppure j=9/2, h=7/2
<BR>
<BR>sostituendo nelle equazioni trovate lungo la strada si ricava b=0, e quindi la relazione iniziale diventa a<sup>2</sup>-a=0, da cui a=0 o a=1
<BR>
<BR>si considera la relazione come un\'eq di II grado in a, e si ricava a con la solita formula. poi si impone che il polinomio sotto radice sia un quadrato perfetto
<BR>
<BR>9b<sup>2</sup>+2b+1=k<sup>2</sup>
<BR>
<BR>poi si esprime b nuovamente con la formula risolutiva, si impone che sotto radice ci sia un quadrato perfetto, ecc... finchè non si arriva a
<BR>
<BR>h<sup>2</sup>+8=j<sup>2</sup> ==>
<BR>
<BR>8=(j+h)(j-h) da cui j=3, h=1 oppure j=9/2, h=7/2
<BR>
<BR>sostituendo nelle equazioni trovate lungo la strada si ricava b=0, e quindi la relazione iniziale diventa a<sup>2</sup>-a=0, da cui a=0 o a=1
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