6/pi^2

[mik84]

Dimostrare che la probabilità che, scelti a caso due interi, questi siano primi tra loro è 6/pi^2.

[talpuz]

ricorda spaventosamente il reciproco della famosa somma sum[k=1->+inf]1/k²

[Antimateria]

Prafrasando il buon Dario Genovese su una vecchia discussione della ML...
<BR>
<BR>Il problema è mal posto.
<BR>Forse intendevi dire:
<BR>\"Sia P(n) la probabilità che scegliendo 2 numeri tra i primi n, il loro MCD sia 1. Calcolare, se esiste, lim(n-->oo) di P(n) e dire eventualmente se la convergenza è dall\'alto, dal basso o nessuna delle due.\"
<BR>Non si può scegliere \"a caso\" tra un numero infinito di cose, o comunque andrebbe spiegato bene cosa si intende.[addsig]

[mik84]

In effetti, intendo quello...

[khristian]

Detto Teorema di Cesaro(1881):
<BR>
<BR>\"la probabilita\' che due numeri interi positivi \"presi a caso\" siano primi tra loro (mcd = 1) e\' data da 6/(Pi^2)\"
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Cenno di dimostrazione</B><!-- BBCode End -->:
<BR>
<BR>Assumo che esista la probabilita\' del dato evento.
<BR>
<BR>Suppongo che, presi due numeri a,b a caso la probabilita\' che i due numeri siano primi tra loro sia p.
<BR>
<BR> Ci chiediamo ora quanto vale la probabilita\' dell\'evento \"prendo due numeri
<BR> a caso ed il loro mcd sia d -chiaramente intero-\"
<BR>
<BR> Osserviamo che mcd(a,b) = d se d divide a e se d divide b ovvero posso
<BR> scgliere a e b con probabilita\' (1/d) entrambi (!!!).
<BR> La probabilita\' che mcd(a,b) = d e\' allora il prodotto delle seguenti:
<BR>
<BR>Prob{d divide a}*Prob{d divide b}*Prob{mcd(a/d, b/d)}=Prob{mcd(a,b)=d}
<BR>
<BR> Dunque con il nostro ragionamento ho che:
<BR>
<BR>1/d * 1/d * p = p/d^2
<BR>
<BR>Se prendo la somma di tutte le possibili scelte di d ho una probabilita\' uguale ad 1 (la \"certezza\"). Allora comunque scelti a, b
<BR>
<BR> 1 = somma{d=1...+infinito} [ p/d^2 ]
<BR>
<BR>da cui:
<BR>
<BR> 1 = p*(Pi^2)/6
<BR>
<BR>ovvero
<BR>
<BR> p = 6/Pi^2!!!!
<BR>
<BR>Chiedete pure ulteriori delucidazioni!!!
<BR>