L\'es(o)rcizio

Humpty_Dumpty · Messaggio da **Humpty_Dumpty** » 01 gen 1970, 01:33

Salve a tutti!
 Vi propongo un bell\'esercizietto che non dubito vi divertirà! <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
 
 Risolvere il sistema per x,y € R:
 (x-1)(y^2+6) = y(x^2+1)
 (y-1)(x^6+6) = x(y^2+1)
 
 Concettualmente non è difficile. Ma la bellezza di questo esercizio sta proprio nel confronto che può essere fatto fra le diverse soluzioni, cercando quella che richieda meno calcoli.

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

nella seconda equazione x^6 è giusto?

Humpty_Dumpty · Messaggio da **Humpty_Dumpty** » 01 gen 1970, 01:33

Hai ragione Andrea! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> Ho fatto un grave errore di battitura. Mi scuso con te e con gli altri. In realtà, la seconda equazione è:
 (y-1)(x^2+6)=x(y^2+1)

mario86x · Messaggio da **mario86x** » 01 gen 1970, 01:33

Sommando i membri delle equazioni si ottiene facilmente che:
 x^2+y^2-5x-5y+12=0
 lavorandoci un po\' si ha
 (x+y)^2-2xy-5(x+y)+12=0
 Sottraendo i membri abbiamo poi:
 2x^y+2xy^2+7x-7y+x^2-y^2=0
 lavorandoci ancora si ha:
 (x-y)(x+y+7-2xy)=0
 che è verificata se x-y=0 o se x+y+7-2xy=0
 ponendo x=y si ha:
 (x-1)(x^2+6)=x(X^2+1)
 x^3-x^2+6x-6=x^3+x
 x^2-5x+6=0 ovvero x=y=2 o x=y=3
 ponendo x+y+7-2xy=0 abbiamo un sistema simmetrico formato da:
 (x+y)^2-2xy-5(x+y)+12=0
 x+y+7-2xy=0
 ovvero, se s=x+y e p=xy
 s^2-2p-5s+12=0
 s-2p+7=0
 risolvendo si ha:
 s=1 p=4
 s=5 p=6
 x e y si ottengono risolvendo l\'equazione t^2-st+p=0:
 t^2-t+4=0 non dà soluzioni reali
 t^2-5t+6=0 dà:
 x=2 y=3
 x=3 y=2
 ---fine---
 P.S.:tnx to lordgauss
 P.P.S.:dite che la sol è un po\' troppo lunga?

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

il sistema proposto è simmetrico in x e y, pertanto le uniche funizioni che vengono trasformate in se stesse dalla simmetria rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante sono l\'asse stesso y=x e le perpendicolari a tale retta della forma y=-x+k, nel nostro caso k=-7 perchè i termini di primo grado delle equazioni hanno come coefficente 7.
 
 Una soluzione forse ancora più carina sarebbe disegnare la curva individuata dalla 1°equazione simmetrizzarla rispetto a y=x e vedere i punti in comune. a proposito di questa soluzione qualcuno ha un\'idea di come poter disegnare quella roba (x-1)(y^2+6)=y(x^2+1) ? [ Questo Messaggio è stato Modificato da: psion_metacreativo il 29-01-2004 22:08 ]

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

è evidente che i punti in comune sono le due rette che ho scritto prima, ma volevo sapere se esistono metodi e strumenti per disegnare quella curva

khristian · Messaggio da **khristian** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-01-29 22:17, psion_metacreativo wrote:
 è evidente che i punti in comune sono le due rette che ho scritto prima, ma volevo sapere se esistono metodi e strumenti per disegnare quella curva
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Questa equazione rappresenta una cubica nel piano Oxy. Disegnarla e\' un po\' lunghino ma si puo\' fare. Non credo sia una curva nota, comunque me ne occupo immediatamente e poi ti dico come farla.
 
 K.