angoli di poligoni regolari

[CassanodiGaeta2000]

Si considerino due poligoni regolari di n ed n+1 lati.Sia A l\' ampiezza in gradi di ciascun angolo del poligono regolare di n lati e B l\' ampieza in gradi di ogni angolo del poligono di n+1 lati.
<BR>1. - Dimostrare che per qualsiasi n valgono le seguenti relazioni:
<BR>B-A diverso da 1 da 2 e anche da 3.
<BR>2. - Dimostrare che con n strettamente maggiore di 9, B-A non appartiene all\' insieme dei numeri naturali.
<BR>3. - Trovare, infine, la regola per calcolare
<BR>B-A con B angolo del poligono regolare ad n+k lati ed A angolo del poligono di n lati.

[Ero]

La differenza tra B ed A è 360/(n(n+1))
<BR>
<BR>Il primo quesito l\'ho risolto così: Si imposta l\'equazione B-A=1 si risolve rispetto ad n e si verifica che le soluzioni trovate non sono intere!! Lo stesso procedimento si applica per 2 e 3.
<BR>
<BR>Il secondo quesito lo risolvo un\'altra volta!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>Il terzo quesito è semplice: La formula per gli angoli di un poligono regolare è 180(x-2)/x. Si sostituisce ad x n+k, ed infine si sottrae 180(n-2)/n. Così si ottiene la formula B-A=360k/(n(n+k))
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: Ero on 2001-05-23 20:17 ]</font>

[N3o]

Un metodo non troppo elegante per dimostrare il secondo punto è questo:
<BR>
<BR>poiché 360 = 2^3 * 3^2 * 5, provando tutti i possibili valori > 9 che n può assumere: (2*5, 2*3*5, 3*5, 2^2 * 5, ecc...), e calcolandosi per ognuno di questi il corrispondente n+1, si vede che n+1 contiene almeno un fattore estraneo a 360, e dunque B-A non appartiene a N.
<BR>
<BR>Per adesso non mi viene in mente nient\'altro...
<BR>
<BR>Ciao.

[lordgauss]

Ecco una mia risoluzione del secondo quesito.
<BR>Sappiamo che B-A=360/(n(n+1)) e n>9.
<BR>Se B-A appartenesse a N allora per la prima tesi B-A>3.
<BR>Quindi si avrebbe 360 = (B-A)(n+1)n >= 440, il che è assurdo. Dunque la 2) è dimostrata.
<BR>Ci vediamo a Gaeta!

[sergio_vanni]

Attenzione: per discutere i punti 1 e 2 non servono due dimostrazioni, ma ne basta una sola. Infatti:
<BR>a) la grandezza B – A è positiva e decrescente al crescere di n;
<BR>b) per n = 9 si ottiene B – A = 4;
<BR>c) pertanto per ogni n < 9 sarà vero che B – A > 4 e per ogni n > 9 sarà vero che B – A < 4.
<BR>Quanto precede prova che la dimostrazione del punto 2 include la dimostrazione del punto 1 (infatti, se B – A < 4 non è un numero naturale esso deve essere un numero diverso da 1, da 2 e da 3) ovvero che la dimostrazione del punto 1 include la dimostrazione del punto 2 (se B – A < 4 è un numero diverso da 1, da 2 e da 3, allora B – A < 4 non può essere un numero naturale).
<BR>Personalmente trovo più elegante dimostrare prima la validità del punto 2. L’esito è comunque il medesimo.
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

[lordgauss]

sigh...