un pò di tutto

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

eccovi alcuni esercizi di diversi argomenti:
 
 1)trovare le sol. intere dell\'equazione
 x3+y3+z3=(x+y+z)3
 
 2)dimostrare che per ogni x reale e per qualsuiasi scelta di + o -
 x2n +- x2n-1 + x2n-2 +-.......+-x3+ x2 +- x + 1>1/2
 
 3)classico(ma molto bello): dimostrare che in un qualsiasi insieme di n numeri interi esiste un sottoinsieme la cui somma dei suoi elementi sia divisibile per n.
 
 4)dimostrare che l\'eq. x2 + y2=zn ammette soluzioni per ogni scelta di n
 con x,y,z,n naturali.
 
 buon lavoro. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 30-12-2003 12:02 ]

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao Biagio!
 
 Faccio il primo, sperando di non dire troppe c*****e.
 Dunque.. riscriviamo l\'equazione di partenza come:
 
 x^3+y^3=(x+y+z)^3-z^3
 
 scomponendo la somma e la differenza di cubi otteniamo:
 
 (x+y)(z^2+xy+xz+yz)=0
 
 o anche:
 (x+y)(x+z)(y+z)=0
 quindi le soluzioni sono:
 
 1°
 x=-y e z qualunque
 
 2°
 x=-z e y qualunque
 
 3°
 
 y=-z e x qualunque
 
 giusto?
 
 Ciao alla prossima
 
 Andrea 84 alias Brend

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Provo anche il secondo..
 
 Consideriamo inizialmente il caso x>=0
 dunque si vede subito che x^2n +- x^(2n-1) + x^(2n-2) +-.......+-x^3+ x^2 +- x + 1>x^2n-x^(2n-1)+x^(2n-2)-...-x^3+x^2-x+1 (1)
 infatti tutti i termini quadratici si elidono e con essi tutti i termini negativi della parte sinistra della disuguaglianza, quindi quello che rimane è una somma di termini tutti positivi e quindi anche la loro somma lo è.
 quindi ci basta dimostrare che:
 x^2n-x^(2n-1)+x^(2n-2)-...-x^3+x^2-x>-1/2 ora raccogliendo (x-1) e sommando la progressione geometrica di ragione x che salta fuori otteniamo che la disuguaglianza di partenza è analoga a :
 (x-1)((x^(2n+1)-x)/x^2-1)>-1/2 da cui :
 (x^(2n+1)-x)/(x+1)>-1/2
 
 cioè basta verificare che 2x^(2n+1)-x+1>0 per x>=0 (che è vero, perdonatemi la pigrizia, magari la dimostrazione la posta doma)
 per x<0 la cosa è analoga questa volta a patto di considerare il polinomio :
 x^2n+x^(2n-1)+x^(2n-2)+...+x^3+x^2+x+1 nel secondo membro della disuguaglianza (1)
 
 Può andare? ah perdonatemi il disordine e le eventuali fesserie, la scusante è l\'ora <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 Ciao alla prossima
 
 Andrea 84 alias Brend

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

ok tutti e due <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 (almeno, io li ho fatti così...)

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

su, fate anche gli altri.
 Ciao biagio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

oscar · Messaggio da **oscar** » 01 gen 1970, 01:33

il quarto
 se x2 + y2=zn ammette soluzioni naturali
 allora x2z2+y2z2=zn+2,
 come dire che anche x2+y2=zn+2 ammette almeno una soluzione
 per n=1 e n=2 l´eq ammette soluzioni
 quindi le ammette per ogni n
 
 per il terzo al momento non saprei
 
 giá che ci sono buon anno <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

bella. <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif">
 
 ps. quando ho voglia ti rispondo, oscar <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Mi associo ai complimenti fatti ad oscar, la sua dimostrazione è veramente brillante.
 
 Per quanto riguarda il problema rimanente, ecco la soluzione, tanto per non farlo cadere nel dimenticatoio.
 
 3)classico(ma molto bello): dimostrare che in un qualsiasi insieme di n numeri interi esiste un sottoinsieme la cui somma dei suoi elementi sia divisibile per n.
 
 Siano a1,a2,...,aN gli elementi dell\'insieme
 Si considerino le somme SI definite come SI = a1+a2+...+aI
 Tali somme sono n; in modulo n, o ne esiste una pari a 0, nel qual caso abbiamo trovato il sottoinsieme cercato, oppure esistono K,J (K>J) tali che SK == SJ (n). Allora SK-SJ = aK+a[K-1]+...+a[J+1] == 0 (n), ed anche in questo caso la tesi è dimostrata.

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

non riesco a capire la dimostrazione di oscar c\'è qualcuno che la spiega in maniera più estesa e chiara?

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-31 16:54, oscar wrote:
 il quarto
 se x2 + y2=zn ammette soluzioni naturali
 allora x2z2+y2z2=zn+2,
 come dire che anche x2+y2=zn+2 ammette almeno una soluzione
 per n=1 e n=2 l´eq ammette soluzioni
 quindi le ammette per ogni n
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
 direi che non c\'è spiegazione più immediata... supponendo che l\'eq ammetta soluzione per un certo n esistono due interi (xz) e (yz) per cui è verificata l\'equazione di esponente n+2
 controlli che per n=1 ci siano soluzioni, e così vedi che per tutti gli n dispari hai soluzioni
 idem per n=2 (pari) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 02-01-2004 18:47 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

visto che siamo in tema di numeri naturali, provate questa
 
 (n!)2>=nn

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

geniale la soluzione di oscar [ Questo Messaggio è stato Modificato da: psion_metacreativo il 02-01-2004 18:50 ]

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Per Talpuz:
 
 Procediamo per induzione su n:
 
 verifichiamo(per una questione che sarà chiara dopo) i casi n=1 e n=2, dove otteniamo, sostituendo:
 
 1=1
 4=4
 palesemente vere.
 supponiamo quindi che la proposizione sia vera per un dato n>2 per cui
 (n!)^2>=n^n
 moltiplichiamo ambo i membri per (n+1)^2 e otteniamo:
 ((n+1)!)^2>=(n+1)^2 *n^n
 dimostriamo quindi che vale:
 (n+1)^2 *(n^n)>=(n+1)^(n+1) cioè:
 
 (1+1/n)^n<=(n+1)
 per un noto limite abbiamo che
 (1+1/n)^n<3 (1)
 e poichè n>2 n+1>3 (2)
 cioè mettendo insieme la (1) e la (2) :
 (1+1/n)^n<3<(n+1) che è la tesi
 e quindi:
 ((n+1)!)^2>=(n+1)^(n+1) che è effettivamente quello che volevamo provare per induzione.
 
 
 Ciao

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Posso sapere se è corretta la mia soluzione? Talpuz [ Questo Messaggio è stato Modificato da: andrea84 il 03-01-2004 15:39 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

beh, certo che è corretta! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 sarebbe bello trovare una dimostrazione che non utilizzi l\'induzione, comunque va + che bene anche la tua!!