Triangolo ortico

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Prendete un traingolo ABC e tracciate le altezze AH, BJ, CK. Il triangolo HJK viene detto triangolo ortico.
 Quanto vale l\'area di HJK?

jack_202 · Messaggio da **jack_202** » 01 gen 1970, 01:33

Va bene, avete ragione.
 Vedrò di essere meno oscuro.
 
 Step1) Sen(^HOK)=Sen(^HBK), Sen(^HOJ)=Sen(^HCJ), Sen(^KOJ)=Sen(^KAJ)
 
 Step2) Tan(^A)Tan(^B)Tan(^C) = Tan(^A)+Tan(^B)+Tan(^C)
 come recentemente dimostrato da Talpuz <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 Step3)AK:KB = Tan(^B)/Tan(^A), BH:HC = Tan(^C)/Tan(^B), CJ:JA = Tan(^A)/Tan(^C)
 
 2[HKJ] = OH*OK*Sen(^B)+OH*OJ*Sen(^C)+OJ*OK*Sen(^A)
 [HKJ]=[ABC]*( OH*OK/(ac) + OH*OJ/(ab) +OJ*OK/(bc) ) =
 [ABC]*((OJ*OK*OH)/(abc))*(a/OH + b/OJ + c/OK) =
 2[ABC]*((OJ*OK*OH)/(abc))*(Tan(^A)+Tan(^B)+Tan(^C)) =
 2[ABC]*((OJ*OK*OH)/(abc))*(Tan(^A)Tan(^B)Tan(^C)) =
 2[ABC]*((BH*CJ*KB)/(abc)) =
 2[ABC]*Cos(^A)Cos(^B)Cos(^C) [Formulazione 1]
 = AK*KB*sen(2 ^C) = BH*HC*sen(2 ^A) = CJ*JA*sen(2 ^B) [Formulazione 2]
 
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: jack_202 il 30-12-2003 12:11 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: jack_202 il 30-12-2003 15:12 ]

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Ti dirò se credi giusto non appena scriverai \"qualcosa=qualcosa=...=soluzione\" sostituendo qualcosa e soluzione con i dovuti passaggi. Non è pignoleria, è indolenza: ci sono decine di formulazioni possibili per la soluzione e non ho voglia di controllare se la tua corrisponde a quella che conosco io... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> Inoltre credo che ad altri non farebbe dispiacere almeno un passaggio... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

germania2002 · Messaggio da **germania2002** » 01 gen 1970, 01:33

dai jack te lo chiedo pure io, in un\'altro topic ho scritto che questo forum dovrebbe diventare un piccolo (ma il più grande d\'italia su internet) di divulgazione di scienze matematiche........... se tu mi scrivi solo il risultato, andiamo bene.
 
 Spero che tu mi capisca, e per il bene mio e degli altri
 
 PS: noi che siamo ignoranti vorremmo vedere qualcosa di \"sapiente\"[addsig]

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-29 21:30, jack_202 wrote:
 Va bene, avete ragione.
 Vedrò di essere meno oscuro.
 
 2[ABC]*Cos(^A)Cos(^B)Cos(^C) [Formulazione 1]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Oh bene...questo è lo spirito e questa è anche la formulazione più carina...cmq ce n\'è molte altre...e (guarda un po\') c\'è anche una dimostrazione quasi completamente euclidea della proporzione tra le due aree.. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 Tanto per gradire, ecco qualcosa d\'altro sul simpaticissimo triangolo ortico:
 
 Dimostrare che AH, BJ, CK (altezze di ABC) sono le bisettrici di HJK.

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-30 15:51, EvaristeG wrote:
 
 Tanto per gradire, ecco qualcosa d\'altro sul simpaticissimo triangolo ortico:
 
 Dimostrare che AH, BJ, CK (altezze di ABC) sono le bisettrici di HJK.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 E visto che ci siamo...provate anche a trovare il rapporto tra il raggio del cerchio circoscritto a ABC e il raggio del cerchio circoscritto a JHK.
 
 (io continuo a mettere carne al fuoco...prima o poi qualcuno farà qlc esercizio di geometria...spero)

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

Sia D l’ortocentro di ABC. Il quadrilatero CHDJ è inscrittibile, in quanto ha due angoli opposti retti, quindi DCJ=JHD perché insistono sullo stesso arco. Considerando il triangolo rettangolo CKA notiamo inoltre che JHC=CAK. Facendo lo stesso ragionamento per BHDK si deduce che anche BHK=BAC(=CAK) e quindi BHK=CHJ. Per differenza di angoli congruenti si ha quindi KHA=JHA, che vuol dire che l’altezza AH è bisettrice di KHJ. Stesso ragionamento per gli altri angoli.
 
 agginugo qualcosa anch\'io: chi dimostra che se ABC è acutangolo il triangolo delle altezze è quello di minimo perimetro inscritto?
 (triangolo inscritto in un altro = con un vertice su ogni lato)
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 01-01-2004 14:20 ]

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

...E dimostrate anche che il tiangolo ortico è il triangolo di perimetro minimo tra quelli che hanno un vertice su ogni lato di ABC.

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-31 12:26, talpuz wrote:
 agginugo qualcosa anch\'io: chi dimostra che se ABC è acutangolo il triangolo delle altezze è quello di minimo perimetro inscritto?
 (triangolo inscritto in un altro = con un vertice su ogni lato)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Acc... per 2 minuti!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Up!...dai che non è difficile

WindowListener · Messaggio da **WindowListener** » 01 gen 1970, 01:33

Il rapporto tra il raggio del cerchio circoscritto al triangolo di partenza e il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ortico dovrebbe essere 2 .......
 cmq nn posto la soluzione in quanto ho utilizzato per una parte di essa un teorema che nn avevo mai visto prima e volevo provare a dimostrarlo da me ... se nn ce la faccio stasera posto comunque la soluzione sempre che il risultato sia corretto..... EvaristeG sono con te W la geometria!!!!!!!!
 
 
 wl

edony · Messaggio da **edony** » 01 gen 1970, 01:33

Se volete la soluzione R.Courant, H.Robbins -Che cos\'è la matematica?
 pagg.425-430

WindowListener · Messaggio da **WindowListener** » 01 gen 1970, 01:33

ecco la soluzione dettagliata.....
 
 siano a,b,c le lunghezze dei tre lati e A l\'angolo opposto al lato a , B l\'angolo opposto al lato b e C l\'angolo opposto al lato c .
 
 per il teorema della corda d ( diametro del cerchio circoscritto )
 
 b = dSin(B)
 quindi d = b/Sin(B)
 
 calcoliamo l\'area del triangolo 2S = ac*Sin(B)
 
 sostituendo otteniamo d = abc/2S
 
 ora dobbiamo trovare il diametro del cerchio circoscritto al triangolo ortico , per farlo utilizziamo il teorema di Feuerbach sulla circonferenza dei nove punti(mi riferivo a questo teorema nel post precedente...) :
 ma ci serve solamente una parte del teorema cioè che la circonferenza che passa per i piedi delle altezze di un triangolo passa anche per i punti medi deli lati dello stesso ... quindi per trovare il diametro del cerchio circoscritto al triangolo ortico basta trovare il raggio del cerchio circoscritto al triangolo costituito dai punti medi , da cui si ricava d\' = abc/4S da cui d/d\'=2 .........
 
 wl...

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Esatto!!!
 
 Bravo, WL, e grazie per l\'appoggio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 (btw. esiste una dimostrazione più calcolosa e trigonometrica del fatto che R_abc/R_hjk=2, ma la tua è molto più simpatica!!)
 
 Ora però, è quasi automatico chiedere di dimostrare il T di Feuerbach, nelle sue due formulazioni:
 
 Sia ABC un triangolo, siano AH, BJ, CK le sue altezze concorrenti in O (l\'ortocentro) e siano L, M, N i punti medi di AB, BC, CA. Allora:
 1)la circonferenza passante per H,J,K passa anche per L,M,N e per i punti medi di AO, BO, CO;
 2)detta circonferenza è tangente al cerchio inscritto (internamente) e ai tre exscritti (esternamente).
 
 E non andatevi a cercare la dimostrazione già bell\'e pronta, che non serve a nulla.