Integrazione

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao, Barozz! Ho letto il tuo commento alla soluzione da me proposta al tuo quesito e ci ho pensato... per quel che posso dirti, la strada da te indicata, sebbene (così mi è parso di capire!) ti abbia condotto (credo, accidentalmente!) alla soluzione corretta del problema, nel senso che il calcolo conseguente alla tua impostazione ti avrebbe effettivamente fornito (correggimi se sbaglio!) il valore esatto dell\'integrale di cui si discute, tuttavia non mi sembra praticabile, poiché (come tu stesso dichiari nel testo del tuo ultimo post) si fonda in buona sostanza sulla possibilità di eseguire un\'operazione di derivazione sotto il segno di integrale relativamente ad una certa funzione da te opportunamente introdotta. Bene, a questo proposito, vorrei dimostrarti che una siffatta operazione non è attuabile, o meglio non lo è in riferimento alla funzione derivanda che tu hai indicato! Per provartelo, mi permetto innanzitutto di ricordare a te e agli altri, qui poco oltre, la formulazione più generale del teorema di derivazione sotto il segno di integrale, che (come del resto non è difficile prevedere) trova la sua collocazione naturale nell\'ambito della teoria generale della misura e dell\'integrazione secondo Lebesgue (putroppo è così... mi tocca nuovamente tirare in ballo questa nostra vecchia conoscenza!). Adattato specificatamente al nostro caso, il teorema a cui mi riferisco si può enunciare così come di seguito riporto:
 
 Teorema: (di derivazione sotto il segno di integrale)
 Sia f(x,t) una funzione definita per quasi ogni x€X, essendo X un sottoinsieme di R non vuoto ed L-misurabile (eventualmente anche di misura infinita), e per ogni t€T, essendo T un aperto di R. Supponiamo che:
 i) la funzione x ---> f(x,t) sia integrabile in X secondo Lebesgue, per ogni t€T;
 ii) la funzione t ---> f(x,t) sia di classe C¹(T), ovvero continua e derivabile al primo ordine con continuità in T, per quasi ogni x€X.
 iii) esistano 2 funzioni g0(x), g1(x) integrabili in X secondo Lebesgue tali che, per ogni t€T e per quasi ogni x€X:
 a) |f(x,t)| ≤ |g0(x)|;
 b) |∂f(x,t)/∂t| ≤ |g1(x)|.
 Sotto queste ipotesi:
 1) la funzione t ---> int_{X} f(x,t) dx è di classe C¹(T);
 2) d(int_{X} f(x,t) dx)/dt = int_{X} ∂f(x,t)/∂t dx
 
 Ora, nel nostro caso, tu suggerisci di assumere f(x,t) := e^(-x^2 - t^2/x^2); inoltre, alla luce del calcolo che si vuole eseguire: X := [0,+∞], mentre T può porsi eguale all\'intervallo aperto ]0;2[, o anche ad ogni altro aperto di R contenente il punto t0 = 1. Ora, f(x,t) è definita quasi per ogni x€X e nondimeno per ogni t€T. Inoltre, X è un sottoinsieme non vuoto di R misurabile secondo Lebesgue (in particolare, di misura monodimensionale infinita); infine, T è un aperto di R. Dunque, nel nostro caso, le condizioni generali per poter applicare il teorema di derivazione sotto il segno di integrale sono certamente garantite. Ma andiamo avanti!
 La funzione x ---> f(x,t) è integrabile secondo Lebesgue in X, per ogni t€T, poiché f(x,t) è una funzione quasi ovunque positiva dei suoi argomenti (sono esclusi al più i punti ove essa non risulta, a priori, definita), e inoltre:
 
 p.o. t€T: f(x,t) ≤ e^(-x^2) (£)
 
 ove la funzione g0(x) := e^(-x^2) si riconosce immediata-mente essere integrabile in X secondo Lebesgue. Dunque, la funzione
 x---> f(x,t) verifica l\'ipotesi (i) del teorema di derivazione. Ma procediamo ancora oltre!
 La funzione t ---> f(x,t) è di classe C¹(T) per quasi ogni x€X, in quanto, supposto x€X\\{0}, essa è composizione di funzioni definite, continue e derivabili con continuità infinite volte per ogni t€T. Dunque, pure l\'ipotesi
 (ii) del teorema di derivazione è soddisfatta, come del resto anche l\'ulteriore ipotesi (iii.a), coerentemente con la condizione espressa dalla (£) e le osservazioni promosse in precedenza sul conto della funzione g0(x) := e^(-x^2). Dunque, tutto sembrerebbe fin qui garantire l\'applicabilità del teorema di derivazione, se soltanto non fosse per il fatto di non potersi in alcun modo determinare una funzione g1(x) integrabile in X secondo Lebesgue tale che, per quasi ogni x€X e per ogni t€T, sia:
 
 |∂f(x,t)/∂t| = [2t*f(x,t)]/(x^2) ≤ |g1(x)|.
 
 il che si può anche dimostrare formalmente ragionando per assurdo o intuire sulla base di considerazioni puramente euristiche verificando che ogni sforzo di invenire una siffatta funzione alla fine si rivela (immancabilmente) un tentativo fallito! Conclusione: l\'ipotesi (iii.b) del teorema di derivazione non è mai verificata, e di conseguenza il medesimo teorema non può essere giustificatamente applicato! Sorry...
 
 P.S.: aspetto impaziente tuoi commenti sul merito di queste mie osservazioni o di sapere se 6 riuscito a escogitare un qualche escamotage per aggirare l\'ostacolo che qui ho inteso evidenziarti. Non escludo difatti la possibilità che tu possa trovare, o abbia già trovato, una strada alternativa e magari più breve di quella ch\'io ho proposto: soltanto non è pensabile che essa si fondi sulle considerazioni di cui hai riferito nel tuo ultimo post sull\'argomento! Ciao, dunque... e a presto!
 
 Salvo Tr. alias euler_25
 
 P.P.S.: sono cosciente dell\'eventualità che, a molti, il senso dei discorsi che ho sviluppato in questo mio intervento possa risultare per lo più oscuro. In tal caso, vi pregherei di sottolinearmi gli aspetti che, anche a un livello meramente intuitivo, non siete comunque riusciti ad afferrare: come già altrove ho avuto modo di ribadire, non può esservi vergogna nel riconoscere d\'ignorar qualcosa, soprattutto quando si tratti di questioni complesse che solo un corso di studi di livello avanzato potrebbe eventualmente chiarire! Ve lo chiedo come favore personale, poiché in questo modo mi eviterete di dover controbattere a chi (eventualmente) dovesse ripropormi le solite obiezioni sul fatto che questo sito non è la sede più adatta per far uso di concetti o strumenti così raffinati come, oggettivamente, l\'integrale di Lebesgue non manca d\'essere! Grazie! [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 23-12-2003 00:40 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Agli appassionati di integrali (e mi rivolgo in particolare a Barozz, Jack_202 e Francesco Veneziano): ho lasciato per voi un simpatico pensierino all\'interno forum \"Una cosuccia su Mersenne e Fermat\". Sono certo che gradirete!
 
 P.S.: non vi bisogno alcuno di dirmi grazie... a me basta sapere di rendervi felici! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 Salvo Tr.
 
 \"Il mondo è stato costruito su certe frasi, composte di parole, formate da lettere. Dietro queste ultime sono nascosti dei numeri, rappresentazione di una struttura, di una costruzione ove appaiono senza dubbio degli altri mondi! Ed io voglio analizzarli e capirli e carpirne il senso, perché l\'importante non è comprendere questo o quel fenomeno, bensì il cuore della verità ossia l\'essenza dell\'universo.\"
 
 Albert Einstein

germania2002 · Messaggio da **germania2002** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-18 00:34, euler_25 wrote:
 
 
 \"Il mondo è stato costruito su certe frasi, composte di parole, formate da lettere. Dietro queste ultime sono nascosti dei numeri, rappresentazione di una struttura, di una costruzione ove appaiono senza dubbio degli altri mondi! Ed io voglio analizzarli e capirli e carpirne il senso, perché l\'importante non è comprendere questo o quel fenomeno, bensì il cuore della verità ossia l\'essenza dell\'universo.\"
 
 Albert Einstein
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Bellissima!!! Concordo![addsig]

Barozz · Messaggio da **Barozz** » 01 gen 1970, 01:33

Per euler:
 Io ho preso in prestito una uguaglianza derivata dal teorema di Leibeniz sulla derivazione di un integrale definito rispetto ad un parametro noto:
 
 null∂/∂y int[a...b]M(x,y)dx = int[a...b](∂M/∂y)dx
 
 L\'ho presa per buona senza provare a verificarla ma lo farò certamente. devo solo cercare la sua dimostrazione. comunque ti assicuro che sono arrivato alla soluzione con passaggi corretti e non per caso. Ritengo comunque che sarebbe difficile arrivare alla soluzione di quell\'integrale senza usare strumenti leciti. Prova ad andare avanti seguendo la mia strada per vedere se ti porta alla soluzione esatta.[addsig]

Barozz · Messaggio da **Barozz** » 01 gen 1970, 01:33

∂/∂y int[a...b]M(x,y)dx = int[a...b](∂M/∂y)dx
 L\'equazione giusta è questa!!! quel NULL è un errore dovuto alla mia scarsa praticità con questo tipo di editor...[addsig]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-13 16:31, jack_202 wrote:
 \"la serie sum[j=0...+inf] e^(-2jx) non è convergente, anzi
 (ti dirò di più) è indeterminata\"
 
 Se x è maggiore di zero quella è una serie geometrica
 sicuramente convergente.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 direi che concordo appieno con il saggio jack... euler chiede una dimostrazione? beh, per induzione, direi...
 e^(-2x) = q, intanto, (e poiché x>0 per ipotesi, q<1) per cui la serie diventa
 sum[j=0...+inf] q^j.
 ora, dimostriamo che sum[j=0...n-1] q^j = (1-q^n)/(1-q): la tesi è valida per n=1. supponiamo che valga poi per un certo n.
 sum[j=0...n-1] q^j = (1-q^n)/(1-q), ma allora sum[j=0...n] q^j = sum[j=0...n-1] q^j + q^n = (1-q^n)/(1-q) + q^n = (1-q^(n+1))/(1-q). quindi la formula è dimostrata.
 ora, lim [n->+inf] sum[j=0...n] q^j = lim [n->+inf] (1-q^(n+1))/(1-q) = 1/(1-q).
 direi che questa cosa è finita ed esiste... ora, poi, se vogliamo anche sostituire... ma non serve <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 marco aka ma_go aka quark_up

Barozz · Messaggio da **Barozz** » 01 gen 1970, 01:33

Per Euler e tutti gli appassionati di integrazione
 Visto che la soluzione da me trovata forse non è valida, la riporto interamente in modo che possiate trovare gli eventuali errori:
 
 ∫[0...+∞]e^((-x²)-1/(x²)) dx
 
 Poniamo
 
 F(t) = ∫[0...+∞]e^((-x²)-(t²)/(x²)) dx.
 
 Usando il teorema di Leibeniz deriviamo rispetto a t ottenendo:
 
 F\'(t) = -2 ∫[0...+∞] e^((-x²)-(t²)/(x²)) (t /x²) dx.
 
 Introduciamo una nuova variabile y = -t/x il cui differenziale vale:
 
 dy = (t / x²) dx
 
 sostituendo all\' equazione di prima otteniamo:
 
 F\'(t) = -2 ∫[0...+∞] e^((-y²)-(t²)/(y²)) dy
 
 come possiamo notare abbiamo ottenuto sotto il segno integrale la stessa funzione F(t) cioè:
 
 F\'(t) = -2F(t)
 
 risolvendo quest\' equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili otteniamo:
 
 F(t) = Ce^(-2x)
 
 Per calcolare il valore di C calcoliamo la funzione nel punto 0:
 
 F(0) = C
 
 ricordando che avevamo posto F(t) = ∫[0...+∞]e^((-x²)-(t²)/(x²)) dx otteniamo:
 
 F(0) = ∫[0...+∞] e^(-x²) dx = radq(pi)/2 = C
 
 quindi:
 
 F(t) = radq(pi)/2 e^(-2x)
 
 Infine troviamo la soluzione del nostro integrale ponendo t = 1
 
 F(1) = ∫[0...+∞]e^((-x²)-1/(x²)) dx = radq(pi)/2 e^(-2)
 
 Eccovi la soluzione in dieci passaggi<IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 Vi prego di esaminarla e di dirmi se vi pare corretta o sbagliata e se sbagliata indicarmi l\'errore.
 
 P.S. Euler, mi hai fatto venire dei dubbi sulla veridicità della derivazione che ho fatto sotto il segno di integrale. Non sono ancora riuscito a verificarla completamente ma sono abbastanza sicuro che sia giusta. Scusa se nel post che avevo inviato in precedenza c\'erano degli errori, ma mi sono dimenticato due segni -. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 
 Barozz
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Barozz il 18-12-2003 18:40 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Barozz il 18-12-2003 18:41 ]

Barozz · Messaggio da **Barozz** » 01 gen 1970, 01:33

Vi prego rispondete!

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-18 15:24, ma_go wrote:
 lim [n->+inf] sum[j=0...n] q^j = lim [n->+inf] (1-q^(n+1))/(1-q) = 1/(1-q).
 direi che questa cosa è finita ed esiste... ora, poi, se vogliamo anche sostituire...
 marco aka ma_go aka quark_up
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Dunque, ma_go, tu affermi (posto che mi trovi perfettamente d\'accordo su tutto il resto del tuo intervento) che:
 
 lim [n->+inf] (1-q^(n+1))/(1-q) = 1/(1-q)
 
 Beh, ragazzo mio, questa è una bestemmia in pieno stile Ciccio Condemi! Ora, infatti, dai tanti teoremi pertinenti l\'algebra dei limiti (supposto q arbitariamente variabile in C\\{1}):
 
 lim [n->+inf] (1-q^(n+1))/(1-q) = {1 - lim [n->+inf] q^(n+1)}/(q-1)
 
 quando ovviamente esista finito il limite a secondo membro. Dunque, tutto il problema si riduce in definitiva nel saper stabilire sotto quali condizioni esiste finito il limite: lim [n->+inf] q^(n+1), e calcolarlo di conseguenza! Lascio a te il piacere di dimostrare che questo limite esiste finito e pari a zero se e soltanto se |q| < 1; non esiste allorché |q| = 1 e tuttavia q != 1; esiste finito e pari ad 1 per q = 1; ed è infine divergente ad infinito quando |q| > 1!
 Ora, nel caso di Jack: q = q(x) := e^(-2jx) := cos(2x) - j*sin(2x), ove
 j := sqrt(-1) indica l\'unità immaginaria ed x varia liberamente entro l\'intervallo reale (0,Pi/2]. Ergo, ancora nel caso di Jack:
 
 |q| = sqrt[Re(q)2 + Im(q)2] =
 
 = sqrt[cos2(2x) + sin2(2x)] = 1
 
 e dunque, essendo x€(0,Pi/2], il limite: lim [n->+inf] q^(n+1) non esiste, a conferma di quanto ho più volte ribadito nei miei precedenti interventi su questo topic! Ciao... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> ... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 Salvo Tr.
 
 -
 
 Per Barozz: ti prometto che esaminerò domani stesso la tua soluzione, e ti farò sapere al più tardi in serata ciò che riesco a concluderne! D\'accordo?
 Ciao, genietto degli integrali! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 20-12-2003 00:42 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 20-12-2003 22:08 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Barozz, prima di esprimere il mio giudizio definitivo sul conto della tua soluzione, ti spiacerebbe postare l\'enunciato del teorema di Leibniz cui hai fatto riferimento nel tuo ultimo articolo attinente questo topic? Te lo chiedo essenzialmente per via del fatto che, di tutti i teoremi che conosco riguardanti la derivazione sotto il segno di integrale (e sono fondamentalmente tre), non me ne risulta alcuno che sia classificato sotto questo stesso nome! D\'altro canto, in Matematica più che in ogni altro ambito scientifico, stabilire le paternità di alcuni risultati (per così dire) \"storici\" non è certo impresa di poco conto; ragion per cui molti autori, nella stesura delle lor proprie pubblicazioni, e particolarmente a livello didattico, usano talora denominazioni differenti in riferimento ai medesimi teoremi! Ecco spiegata la motivazione che sta alla base della mia richiesta!
 
 Salvo Tr. alias euler_25
 
 P.S.: in ogni caso, resta che, qualunque sia il teorema in questione, esso è certamente meno generale dell\'altro (di Lebesgue) che già ho avuto cura di ricordare nel corso di un mio precedente intervento su questo medesimo topic! E ciò è di per sé sufficiente a garantire l\'impossibilità di utilizzare la derivazione sotto il segno di integrale prescindendo da ulteriori argomentazioni (lasciami dire) ad hoc, ovvero messe appositamente a punto per il problema di cui qui si discute! Comunque, ti darò ulteriori delucidazioni in proposito solo dopo aver ricevuto la tua risposta! Ti anticipo soltanto che la tua soluzione, al di là del problema di fondo che qui e nel precedente mio post ho inteso evidenziarti, è davvero apprezzabile... direi anzi ch\'è degna di una menzione particolare, tanto più considerato che è stata concepita dall\'ingegno d\'un ragazzo della V classe superiore, se ho ben compreso (ti prego di correggere le mie informazioni in caso contrario!). Sia come sia, molto bravo! I miei complimenti! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 20-12-2003 22:39 ]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

ehm... sono idiota io o la j della sommatoria è l\'indice muto, e x va inteso variabile reale??
 e, sono arretrato io o l\'unità immaginaria si indica solitamente con \"i\"?

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-20 00:39, euler_25 wrote:
 Lascio a te il piacere di dimostrare che questo limite esiste finito e pari a zero se e soltanto se |q| < 1; non esiste allorché |q| = 1 e tuttavia q != 1; esiste finito e pari ad 1 per q = 1; ed è infine divergente ad infinito quando |q| > 1!
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 ma...proprio per questo risulta
 
 lim [n->+inf] (1-q(n+1))/(1-q) = 1/(1-q)
 
 infatti nel nostro caso
 
 q=e-2x
 
 che è compreso tra 0 e 1 per ogni x>0!!!!!
 
 quindi lim[n->inf]q(n+1)=0, e per questo vale il limite sopra!!

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Ragazzi, io non so proprio più cosa dirvi! Se andate a riguardare il tanto discusso post di Jack, noterete che, ad un certo passo della sua soluzione, egli sfrutta le formule di Eulero (una mia vecchia conoscenza...) per scrivere:
 
 1/sin(x) = (2i*e-ix)/(1 - e-2ix)
 
 e subito dopo egli pone:
 
 (2i*e-ix)/(1 - e-2ix) = [Ed è proprio qui l\'errore] =
 
 = 2i*e-ix * sum[k = 0...+inf] e-2ikx
 
 ove (adattandomi alle convenzioni di cui diceva ma_go) ho posto i = sqrt(-1), anziché j = sqrt(-1), come invece ho fatto nel mio ultimo post su questo topic e come, d\'altro canto, è abitudine non meno diffusa in Matematica che la prima! Siamo d\'accordo, fin qui? Ora, nel suggerire l\'uguaglianza che sopra ho riportato, Jack lascia intendere (commettendo un grave errore!) che la serie geometrica:
 
 sum[k = 0...+inf] e-2ikx = sum[k = 0...+inf] (e-2ix)k
 
 di ragione q(x) = e-2ix sia convergente, per x€(0,pi/2], con somma pari a
 s(x) := 1/(1 - e-2ix). La qual cosa è inopinabilmente falsa, per le ragioni che ho già provveduto a spiegar diffusamente nel mio precedente intervento su questo tema. E\' chiaro adesso a tutti, o ancora vi ostinate a stravolgere una realtà così evidente? Siete proprio degli zucconi, non c\'è che dire... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 Salvo Tr. alias euler_25 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 21-12-2003 19:20 ]

Barozz · Messaggio da **Barozz** » 01 gen 1970, 01:33

Mi dispiace deluderti Euler ma come ti ho già detto di quel teorema conosco solamente l\'enunciato e non so assolutamente da che parte arrivi. Proverò a cercare nella biblioteca della mia scuola che è fornita di un mirabile libro di analisi (che forse mi regalerò per natale).
 
 P.s. forse mi ucciderai per questo ma ho provato su derive (non so se lo conosci come programma) a derivare la funzione F(t) e anche lui mi da lo stesso risultato integrando sotto il segno di integrale. Questa non è una cosa che ne assicura la validità ma per lo meno aumenta la possibilità che esso sia vero.[addsig]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

oh..
 in effetti hai ragione <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 io mi rifacevo a questo post qui
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-13 16:31, jack_202 wrote:
 \"la serie sum[j=0...+inf] e^(-2jx) non è convergente, anzi
 (ti dirò di più) è indeterminata\"
 
 Se x è maggiore di zero quella è una serie geometrica
 sicuramente convergente.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>