Un problema di inseguimento

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Un motoscafo di contrabbandieri naviga in tutta fretta per raggiungere un punto ben preciso della costa, distante 100 Km in linea d\'aria, dove la banda intende scaricare il malloppo. I \'\'buoni\'\', rappresentati in questo caso da un
 guardiacoste della Marina, tentano di raggiungerli e bloccarli. Il guardiacoste si trova esattamente a metà strada tra il motoscafo dei contrabbandieri e la destinazione di quest\'ultimo. Inoltre, la velocità dei \'\'cattivi\'\' è pari a 3 volte quella dei \"buoni\".
 
 Per non arenarsi nelle secche della zona, il mezzo dei contrabbandieri modifica la rotta rettilinea che sta percorrendo, dirigendosi inizialmente verso un faro e successivamente verso la meta finale. Si muove così lungo i due lati di un quadrato, del quale il segmento tra il motoscafo e il punto di attracco
 rappresenta la diagonale; il mezzo della Marina si trova precisamente al centro di questo quadrato.
 
 Agendo nei termini così descritti, c\'è un tratto di mare molto rischioso, nel quale il guardiacoste può intercettare i \"cattivi\", se riesce a prevederne la rotta, ed è risaputo che i \'\'buoni\'\' (almeno nei problemi) sono sempre spudoratamente fortunati! Si chiede innanzitutto di determinare quanto è lungo questo tratto di mare..
 
 Sennonché, avvedutosi per tempo del pericolo, il mozzo della nave contrabbandiera (matematico eccellente, mi pare ovvio!) suggerisce al comandante di seguire una rotta alternativa, percorrendo ancora i lati di un triangolo rettangolo per raggiungere la meta, ma iniziando con un\'angolazione diversa da 45°, com\'è invece nelle intenzioni del comandante. In questo modo, il motoscafo avrà la certezza assoluta di evitare la cattura da parte dei \'\'buoni\'\'... inutile aggiungere che il mozzo alla fine sarà degnamente ricompensato per il suo preziosissimo suggerimento.
 
 Quale dovrà essere l\'inclinazione della barra del timone per avere la certezza categorica della salvezza? O meglio, poiché trattasi di un intervallo di valori limitato ad una ventina di gradi, quali sono le angolazioni di rotta, minima e massima, per cui i malviventi hanno la sicurezza matematica di poter sfuggire alla legge?
 
 P.S.: forse ho mancato di aggiungere per maggior chiarezza (quantunque nel testo originale che mi è pervenuto non si dicesse alcunché in proposito) che il guardicoste lascia effettivamente la sua posizione iniziale in un tempo t >= t0, essendo t0 l\'istante in cui i contrabbandieri iniziano la loro folle corsa per le vie del mare! Beh, poco male... ho provveduto adesso! Dopo tutto... meglio tardi che mai! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 17-12-2003 00:30 ]

Fede_HistPop · Messaggio da **Fede_HistPop** » 01 gen 1970, 01:33

Il problema sopra scritto altro non è che una modificazione dei problemi 91 e 92 di \"Cento problemi di matematica elementare\" di Hugo Steinhaus.
 
 Per la precisione è un restiling del problema 91 in \"Lungo... mare.\" e del problema 92 in \"Senonché... legge?\"
 (Visto che ci sono... senonché si può scrivere anche con due \"n\"?)
 
 Saresti pregato di citare le fonti, euler. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Fede, scusami tanto ma questo bel problemino io me lo son visto recapitare per posta un po\' di tempo addietro da un tizio di mia conoscenza, per cui come cakkio faccio a conoscere le fonti da cui è tratto, me lo spieghi? Non sono mica Mandrake... e che diamine, tutti lì a incombere come delle dannatissime spade di Damocle sulla mia testa! E poi qualcuno avrebbe pure la pretesa ch\'io me ne stessi zitto ad ascoltar le vostre critiche dissennate e i vostri gratuiti sproloqui, ritenendomi dal difendere la mia dignità di Matematico pria che d\'uomo, e di uomo ancor pria che Matematico, come invece posso e intendo fare? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">

edony · Messaggio da **edony** » 01 gen 1970, 01:33

Premettendo che nn ho mai letto quel libro e che quindi questa è la prima volta che leggo questo problema devo dire che mi sembra abbastanza interessante...la soluzione della prima parte dovrebbe essere dai 3/4 del percorso che intendono inizialmente fare alla meta, alla seconda parte ci voglio pensare bene,purtroppo fra un pò devo andare,quindi ci proverò stasera

bobby_fischer · Messaggio da **bobby_fischer** » 01 gen 1970, 01:33

Dopo aver fatto i calcoli con l\'inclinazione a 45°, trovo che i buoni incrocerebbero i cattivi con precisione direi matematica <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> esattamente alla metà del secondo lato del triangolo.
 Per ora non ho voglia di andare più avanti...
 
 Ma perchè i buoni devono essere così sfigati da andare 3 volte più lenti? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 ciao
 nick

Fede_HistPop · Messaggio da **Fede_HistPop** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>On 2003-12-15 15:14, euler_25 wrote:
 Fede, scusami tanto ma questo bel problemino io me lo son visto recapitare per posta un po\' di tempo addietro da un tizio di mia conoscenza, per cui come cakkio faccio a conoscere le fonti da cui è tratto, me lo spieghi? Non sono mica Mandrake... e che diamine, tutti lì a incombere come delle dannatissime spade di Damocle sulla mia testa!</BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Non è colpa mia se tu leggi i miei post in maniera offensiva. A me non interessa sapere con chi ho a che fare, e se quel problema l\'avesse postato qualcun\'altro, la mia risposta sarebbe stata identica, ergo la spada di Damocle sulla tua testa non c\'è, o comunque se c\'è non ce l\'ho messa io.
 
 Inoltre, non credo di avere fatto nulla di male dicendo dove si trovava un problema molto simile... a me non risulta di avere detto chel\'hai copiato, scusami se ciò poteva sembrare; credevo ti ci fossi solo ispirato un po\', cosa che non negativa, dato che su quel libro ci sono molti bellissimi problemi.
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>On 2003-12-15 15:14, euler_25 wrote:
 E poi qualcuno avrebbe pure la pretesa ch\'io me ne stessi zitto ad ascoltar le vostre critiche dissennate e i vostri gratuiti sproloqui, ritenendomi dal difendere la mia dignità di Matematico pria che d\'uomo, e di uomo ancor pria che Matematico, come invece posso e intendo fare? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"></BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Se ti pare ch\'io t\'abbia insultato, dillo apertamente! A me non risulta proprio per niente!!
 Inoltre, se ti senti strassato, non venire a sfogarti con me. Per favore modera il linguaggio.
 
 Off topic: Spero di poter saggiare le tue qualità scacchistiche a breve.
 
 Federico

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Fede, Fede! Se tu sol mi conoscessi... non avresti pensato neppure per un istante che i miei toni intendesser d\'essere concretamente minacciosi o accusatori! Credimi se ti dico che a me piace molto scherzare sugli equivoci e insinuar maliziosamente nell\'altrui \'ngegno impressioni che non rispondono assolutamente a verità; perché, da discreto modesto matematico qual mi reputo e persino son stimato, quantunque il mio percorso di studi ufficiale m\'abbia portato a frequentar l\'ingegneria piuttosto che gli spazi d\'un tempio del sapere ben più acconcio a coltivar la fede di sì sublime Scienza, prediligo il paradosso e la contraddizione e mi piace usar con gli altri nei rapporti ch\'intrattengo (amici e Amici inclusi!) la tecnica collaudata della reductio ad absurdum! Inoltre, adoro l\'ironia, né disdegno d\'altra parte la sua versione in auto... Mi piace costruir discorsi ritorti e arzigogolati, tutto lì, onde osservar semplicemente come di regola essi vengono fraintesi... vedi qui ad esempio il nostro caso!
 
 P.S.: se comunque ti sono sembrato gratuitamente aggressivo, e a quanto leggo dal tuo ultimo post così è stato... beh, ti chiedo scusa per l\'equivoco! E\' il minimo, visto che (dopotutto) quello che non si fa capire sono io! Non è mia intenzione infatti insinuare che sia tu a non comprendere! Spero soltanto per il futuro che, alla luce del discorso che t\'ho fatto, leggerai in chiave differente i miei interventi e rivaluterai di conseguenza il tuo giudizio sul mio conto! Ciao... allla prossima! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 17-12-2003 00:05 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-15 16:30, edony wrote:
 ...la soluzione della prima parte dovrebbe essere dai 3/4 del percorso che intendono inizialmente fare alla meta...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Mi dispiace, Edony, ma ti debbo contraddire! Un rapido calcolo può infatti dimostrarti che il guardicosta, anche impostando la propria rotta secondo un angolo iniziale theta pari a 0°, giunge comunque al punto di approdo della traiettoria seguita dai contrabbandieri nella loro malcapitata fuga con un ritardo > 0. E cio\', per continuità, suggerisce parimenti che questa stessa condizione si realizza altresì per un theta \"sufficientemente piccolo\" ma non necessariamente nullo! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-15 16:39, bobby_fischer wrote:
 Dopo aver fatto i calcoli con l\'inclinazione a 45°, trovo che i buoni incrocerebbero i cattivi con precisione direi matematica <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> esattamente alla metà del secondo lato del triangolo...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 E questo è già qualcosa, Nick! Adesso, però, vai avanti! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

bobby_fischer · Messaggio da **bobby_fischer** » 01 gen 1970, 01:33

Dunque, credo di aver trovato la soluzione:
 consideriamo il luogo dove si svolge la nostra vicenda come una circonferenza di centro O e diametro AB.
 All\'inizio in O vi sono i buoni, in B i cattivi e in A il punto da raggiungere.
 Possiamo considerarla come circonferenza poichè i cattivi devono attraversare i due cateti di un triangolo rettangolo, e l\'angolo retto è quello alla circonferenza che insiste sulla semicirconferenza AB.
 Chiamo X il punto in cui i cattivi cambieranno direzione, a il segemento BX e b il segmento AX (non chiedetemi perchè ho invertito le lettere, ma mi è venuto così <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">)
 
 E\' evidente che i buoni hanno tre chanches:
 1-possono provare a raggiungere i cattivi percorrendo l\'altezza relativa al primo cateto
 2-possono provare a reggiungere i cattivi percorrendo l\'altezza relativa al secondo cateto
 3-possono provare ad anticipare i cattivi e a giungere prima di loro a A.
 
 I cattivi per salvarsi devono impedire i tre precedenti punti:
 1- i buoni percorrono b/2, i cattivi a/2 in un terzo del tempo, dunque 3b/2>a/2.
 2- i buoni percorrono a/2, i cattivi a+b/2 in un terzo del tempo, dunque 3a/2>a+(b/2).
 3-Si deduce che i cattivi devono percorrere meno di 150 km, dunque a+b<150. La somma dei cateti deve essere maggiore dell\'ipotenusa.
 
 Ora semplicemente sviluppo le disequazioni:
 1- 3b/2>a/2 da cui 3b>a
 2- 3a/2>a+(b/2) da cui a/2>b/2 da cui a>b.
 3- 100<a+b<150
 Dall\'unione di 1 e 2- b<a<3b
 
 Considerando a come sqrt(100^2-b^2) trovo
 b<sqrt(10000-b^2)<3b
 Posso elevare al quadrato senza preoccuparmi dei segni perchè b è sicuramente positivo
 b^2<10000-b^2<9(b^2)
 Ora divido in due disequazioni.
 1- b^2<10000-b^2
 2(b^2)<10000
 b^2<5000
 b<sqrt(5000)
 2- 10000-b^2<9(b^2)
 10000<10(b^2)
 1000<b^2
 b>sqrt(1000)
 
 Dunque sqrt(1000)<AX<sqrt(5000).
 Non conoscendo la trigonometria, non posso tuttavia specificare gli angoli, tranne che devono essere minori di 45°. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 E\' giusto? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 ciao
 nick

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Bobby, la tua affermazione finale è certamente corretta... soltanto vorrei mi fornissi i valori angolari esatti! Dopotutto, anche se la trigonometria non la conosci, puoi sempre prenderti un libro e studiarti quelle due o tre nozioni basilari che sono necessarie per determinarli, non credi? In ogni caso, nella tua soluzione c\'è qualcosa che non mi convince fino in fondo: mi riservo tuttavia di esprimere un giudizio definitivo sul suo conto soltanto dopo averla esaminata con la dovuta attenzione... questo però non avverrà prima di venerdì notte, perché fra due giorni mi tocca sostenere un esame e di conseguenza domani sera non sarò in rete, levandomi così giusto per poco dai maroni... posso chiederti che classe fai e quale scuola frequenti (scientifico, tecnico, ragioneria, etc...)?
 
 Salvo Tr.
 
 P.S.: in ogni caso, ti faccio notare che le domande a cui rispondere erano due... quindi, cerca di essere più completo quando dai le tue risposte. Non lo dico per farti un torto, ma soltanto per ricordarti che una risposta parziale, fondamentalmente, è una risposta mancata! Pensaci... Ciao, comunque, campione! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 17-12-2003 23:55 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Come promesso, ho esaminato con attenzione (com\'è mio solito, del resto...) la soluzione che hai proposto al problema discusso in questa sezione del forum! E mi spiace doverti comunicare che, purtroppo, ancora non ci siamo! Anzi, siccome devo essere obiettivo (dacché la mia bigotta deontologia questo m\'impone, per principio), mi tocca pure aggiungere che, in verità, siamo effettivamente un tantino lontani dall\'aver trovato la risposta esatta al quesito! Questo, comunque, non deve e non vuole significare un bel ciuffolo! Difatti, per quel che può valere (come sempre ripeto, non foss\'altro che pel fatto ch\'io lo stimo fin in fondo), ho molto apprezzato il tuo \"tentativo\" di risoluzione, e ti dirò che (seppur fondato su un piccolo sofisma...) suggerisce di te l\'idea d\'un ragazzo dotato di buone capacità analitiche (in senso lato), quantunque (visto il tipaccio malevolo e superbo ch\'io inconfutabilmente sono...) dovrei obiettivamente essere un pizzico più prudente nel formulare giudizi tanto positivi sul conto d\'un simil sciagurato, che ha pubblicamente ardito ammettere di disconoscere... rullino i tamburi e sfiatino i culi... l\'abc(d) della trigonometria! Ciò nonostante, siccome confido fermamente nel fatto che una qualche giustificazione a questa tua lacuna debba pur esservi (ti prego, dimmi che c\'è?), ho ritenuto comunque non troppo azzardato potermi sbilanciare sul giudizio! Spero soltanto di averti fatto cosa grata, e ancor più mi auguro che il mio apprezzamento da una parte e dall\'altra l\'incompreso mio ironico sarcasmo possano servirti l\'uno da stimolo a coltivare le tue già manifeste qualità e l\'altro ad allargare i confini (al momento, un po\' ristretti...) delle tue conoscenze! Capisco che mettersi sopra un libro e studiare dozzine di definizioni e decine di teoremi possa compromettere seriamente l\'igiene mentale di chi si risolve nel farlo, ma del resto è una condizione irrinunciabile là dove s\'intenda concretamente crescere e migliorarsi in quanto matematici e Matematici! Ciò premesso, veniamo finalmente a dibattere della tua soluzione.
 
 -----------
 
 Ragioniamo innanzitutto sui risultati che hai suggerito. Sulla base dei calcoli da te sviluppati, i quali (ci tengo a precisarlo!) sono assolutamente ineccepibili, fintanto di accettare per valide le considerazioni preposte alla tua discussione del problema, si giunge infine a stabilire (come tu stesso hai indicato) che, posto a := |BX| e b := |AX| (ove |BX| ed |AX| indicano, rispettivamente, le lunghezze dei segmenti BX ed AX), dev\'essere: 10*sqrt(10) < b < 50*sqrt(2), affinché gli scaltri furfantoni non vengano intercettati da quel fricchettone del guardiacoste! Ora, ricordando che in ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è pari al prodotto dell\'ipotenusa per il coseno dell\'angolo adiacente ovvero per il seno dell\'angolo opposto, detto θ l\'angolo corrispondente al vertice B del triangolo rettangolo BAX, risulta: b = |AB|*cos(&#952<IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> = 100*cos(&#952<IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">, cosicché:
 
 10*sqrt(10) 
 
 ===> sqrt(10)/10 < cos(&#952<IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> < sqrt(2)/2 ===>
 
 ===> [Approssimativamente] ===> 45° < θ < 71.5°
 
 Ti invito adesso a verificare euristicamente che, per θ = 60°, il guardiacoste riesce ad acciuffare i contrabbandieri impostando la propria rotta secondo un qualunque angolo φ compreso (a tua discrezione) fra 6° e 84° (estremi inclusi), ove φ denota l\'angolo descritto dal segmento OB quando ruota in senso antiorario attorno al punto O per sovrapporsi alla semiretta lungo cui si svolge il moto del guardiacoste. Questa constatazione mostra chiaramente che il risultato da te indicato non può essere corretto! E mi preme precisare ulteriormente che l\'incongruenza che qui ho inteso evidenziarti non è vincolata alla scelta da me operata sul parametro θ, tanto più (ti assicuro!) che esistono infiniti altri valori di questo medesimo angolo, distinti da 60°, per i quali i malviventi risultano potenzialmente esposti all\'intercettazione da parte dei buoni, e di questi un ampio sottoinsieme appartiene proprio all\'intervallo [45°, 71.5°] che tu (con un mio piccolo aiuto...) hai determinato essere soluzione del problema che ho proposto!
 
 ------
 
 A questo punto, nasce spontanea una domanda: se i calcoli eseguiti da Nick sono corretti, ed io effettivamente ho dichiarato che lo sono, sebbene aggiungedovi una piccola chiosa..., com\'è possibile, alla fine, che la soluzione non sia anch\'essa corretta? Beh, direi che la risposta è piuttosto semplice, e deve ritrovarsi nella seguente affermazione di Nick:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-17 19:19, bobby_fischer wrote:
 ...
 E\' evidente che i buoni hanno tre chanches:
 1-possono provare a raggiungere i cattivi percorrendo l\'altezza relativa al primo cateto
 2-possono provare a reggiungere i cattivi percorrendo l\'altezza relativa al secondo cateto
 ...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Caro Nick, siccome reputi la condizione di cui sopra tanto evidente da assumerla a fondamento di tutto il pur lodevole ragionamento che vi consegue, potresti (di grazia) darne prova inconfutabile e certa a noi che di tanta evidenza non siamo, ohibò!, parimenti avvisi? Sto cazzeggiando... come al solito, d\'altro canto! E tuttavia, nel riconoscerlo, mi piace rammentarti che a confondere il serio ed il faceto si realizza il miglior modo onde agli altri palesar la propria opinio! Orazio insegna... per ludica seria! Ciao... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 19-12-2003 22:59 ]

bobby_fischer · Messaggio da **bobby_fischer** » 01 gen 1970, 01:33

Dunque,
 non conosco la trigonometria perchè sono in seconda. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 Ho provato a informarmi, ma mi sono perso fra seni <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> e coseni...
 E comunque non ho capito una volta che conosco il coseno di ABX come faccio a trovare ABX stesso ??!!
 Effettivamente nel mio ultimo messaggio ho dimenticato di specificare la condizione finale, cioè sqrt(1000)<b<sqrt(5000).
 ma forse è sbagliata anche questa (anche se intuitivamente credo di no, a meno di non aver confuso delle lettere a un certo punto del ragionamento).
 A proposito, sqrt(5000) è esattamente il valore che si ottiene con l\'angolo di 45° gradi, quello col quale i cattivi e i buoni si incorciavano, dunque questo dovrebbe essere per forza un estremo dei valori di b.
 Dici dunque che forse ho posto ipotesi sbagliate... non lo so... devo pensare dov\'è l\'errore... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
 ciao
 nick

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-20 14:30, bobby_fischer wrote:
 Dunque,
 non conosco la trigonometria perchè sono in seconda.

</BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Ero certo dovesse esserci una spiegazione di questo tipo! Bene, saperlo ti fa tanto più onore! Comunque vatti a studiare la trigonometria, dopotutto... che ce vo\'? A parte un po\' di buona lena, intendo?
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-20 14:30, bobby_fischer wrote:
 E comunque non ho capito una volta che conosco il coseno di ABX come faccio a trovare ABX stesso ??!!
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Partendo dalla relazione: sqrt(10)/10 < cos(θ) < sqrt(2)/2, si applica ai tre membri la funzione inversa del coseno (nominalmente, l\'arcocoseno, che qui di seguito indicherò notazionalmente con arccos(•)); tenendo conto del fatto che, relativamente all\'intervallo (0,pi/2), il coseno trigonometrico è una funzione monotona decrescente, la qual condizione implica (sotto il profilo meramente computazionale) che:
 
 sqrt(10)/10 < cos(θ) < sqrt(2)/2 ===>
 
 ===> arccos[sqrt(2)/2] < θ < arccos[sqrt(10)/10]
 
 NOTA: se mi è concessa la dicitura, è come se il primo e il terzo membro della relazione: sqrt(10)/10 < cos(θ) < sqrt(2)/2 si scambiassero di posizione a seguito dell\'applicazione della funzione arccos(•).
 
 Da qui, utilizzando una banalissima calcolatrice scientifica, puoi dedurre (generalmente, in valore approssimato) gli estremi del range di variabilità del parametro θ conseguenti al calcolo da te impostato!
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-20 14:30, bobby_fischer wrote:
 A proposito, sqrt(5000) è esattamente il valore che si ottiene con l\'angolo di 45° gradi, quello col quale i cattivi e i buoni si incorciavano, dunque questo dovrebbe essere per forza un estremo dei valori di b.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Mi dispiace, ma anche questa affermazione non è corretta! Come spesso mi accade di ripetere, siam tutti d\'accordo sul fatto che in Matematica l\'intuito gioca un ruolo primario, direi quasi essenziale, soprattutto là dove si affrontano problemi di una certa consistenza teorica; ora, tuttavia, l\'intuito non è infallibile, e l\'unico modo di provare o smentire le verità che questo talor ci suggerisce è quello di sottoporle, irrinunciabilmente, al vaglio intransigente della ragion logica! Volendo banalizzare, l\'unico modo per avere la certezza che ciò che dici sia corrispondente al vero è di darne puntualmente una dimostrazione, impostando delle argomentazioni adeguate allo scopo, senza dare mai nulla per scontato, anche là dove certune considerazioni (come appunto le ipotesi che hai adottato a fondamento della tua soluzione) possano apparire pressoché autoevidenti... ciao!!!
 
 Salvo Tr. alias euler_25 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 01-01-2004 17:01 ]